地震作用下場地有限元建模時底部邊界條件的影響1

白建方 董士欣

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地震作用下場地有限元建模時底部邊界條件的影響1

白建方 董士欣

（石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，石家莊 050043）

用有限元方法對場地進行地震反應(yīng)分析時需將半無限域的場地有限化。本文針對底部人工邊界的設(shè)置，采用滯回阻尼假設(shè)，推導(dǎo)了同時包含輻射阻尼和材料阻尼的均質(zhì)場地地表位移放大系數(shù)解析式，進而研究了材料阻尼和輻射阻尼的變化對放大系數(shù)的影響。有限元建模時相當于忽略了輻射阻尼，計算誤差會隨著所分析場地阻抗的增加而逐漸增大，在共振區(qū)附近，忽略任一種阻尼的影響，都將顯著地高估地表動力反應(yīng)；遠離共振區(qū)，阻尼的影響會迅速衰退。本文提出了通過增加場地材料阻尼來彌補所忽略的輻射阻尼的思路，并給出了有限元建模時考慮輻射阻尼后新的材料阻尼的確定方法。

底部人工邊界條件 場地地震反應(yīng)分析 有限元方法 輻射阻尼 材料阻尼

引言

實際的場地是半無限域空間，在用有限元方法對其進行地震反應(yīng)分析時，首先涉及到的一個問題就是如何將此半無限域空間有限化。通常的做法是在水平向和豎向截取一定范圍的土層進行分析，即人為地引入了一些原本不存在的邊界，也就是所謂的人工邊界（Wolf，1985）。為了減小這種人為的有限化處理可能對計算結(jié)果帶來的影響，我們需要讓人工邊界處的有限元節(jié)點滿足一定的條件，即人工邊界條件。目前關(guān)于人工邊界的研究多集中在側(cè)向人工邊界方面，提出了諸如吸收邊界、透射條件、自由場邊界、遠置側(cè)移邊界等被廣泛應(yīng)用的人工邊界條件（樓夢麟等，2003；陳昌斌等，2006；Bielak等，1984）。底部人工邊界影響方面的研究則相對較少。潘旦光等（2004）將基巖模擬成截面積按指數(shù)函數(shù)隨深度變化的變截面剪切梁模型估計了基巖的彈簧剛度，利用置于彈簧支座上的一維剪切梁模型分析了基巖的彈性剛度對土層地震反應(yīng)的影響，認為土層較厚、基巖剛度較大時，基巖彈性剛度的影響很小。而在有限元分析中更為普遍的做法則是將底部視為固定邊界，即認為下臥基巖為無限剛體，從而忽略了基巖彈性剛度帶來的影響。本文通過對比均質(zhì)場地地震反應(yīng)分析的理論模型和有限元模型，研究了底部邊界問題的實質(zhì)及將其視為固定邊界時可能對計算結(jié)果帶來的影響。在此基礎(chǔ)上提出了一種通過增加場地材料阻尼來彌補所忽略掉的基巖輻射阻尼影響的計算方法，并給出了相應(yīng)的實現(xiàn)步驟。

1 問題的提出

1.1 場地地震反應(yīng)分析的理論模型（波在分層介質(zhì)中的傳播）

對于基巖上覆均勻土層來說，理論波動解的物理模型由兩個界面（土與空氣接觸面和巖石與土接觸面）、一個土層、一個半無限巖石層組成（圖1）。需明確一個問題，就是所謂的巖石與土層的下分界面雖為一個很薄的面，但可以認為其包含了界面上表面和界面下表面。場地地震反應(yīng)分析理論波動解的問題可描述為：垂直入射的P波、SV波或以任意角度入射的SH波入射到下界面的下表面，經(jīng)下表面的反射形成的反射波返回巖石層向無限域傳播不再回來，同時穿過界面由該界面的下表面到達上表面形成折射波經(jīng)土層向上傳播。我們關(guān)注的是土層內(nèi)這一折射波的傳播過程，如果將波到達下界面的上表面時間定為0時刻，則折射波經(jīng)過/（指土層厚度，代表波在土層的傳播速度）之后到達上界面（土與空氣交界面），在其表面只發(fā)生反射，反射系數(shù)為1，地表振幅為2倍入射波振幅。反射波經(jīng)/后到達下界面，一部分經(jīng)折射后向下傳向無限域的巖層，另一部分經(jīng)過反射后又向上傳播，再經(jīng)/后又到達地表。如此反復(fù)，可知，如果時間持續(xù)較久的話，地表實際振動是由一條折射波再加上無數(shù)次該折射波在土層上下界面的反射形成的反射波疊加組成。當然每次在界面的反射需滿足反射條件，反射后的波振幅需乘以反射系數(shù)。這就是分層介質(zhì)中的波動理論解（薩瓦林斯基，1981）。文獻（廖振鵬，2002）中給出了地表任一時刻位移計算公式（式（1））。

圖1 理論模型

1.2 場地地震反應(yīng)分析的有限元模型

1.3 底部邊界的設(shè)置所帶來的兩個問題

與理論模型對比可以發(fā)現(xiàn)，有限元模型在設(shè)置了底部邊界后會引起兩個問題：①有限元模型底部固定邊界無法模擬真實土層中波由上界面（土層與空氣分界面）反射回向下傳播的波到達下界面（土層與基巖交界面）后經(jīng)下界面的折射情況（實際中是存在的）；②通常對于實際工程來說，尤其是土層厚度較大的情況，有限元模型的下邊界很難取到基巖面（模型尺寸會很大，計算量也將非常大），一般選取滿足一定條件的土層界面作為假想基巖面來輸入地震波。

關(guān)于第二個問題，即所取的不再是實際基巖面時會對計算結(jié)果帶來哪些影響，目前已有許多研究成果可資借鑒（沈建文，2004；戴國瑩等，2005；李建亮等，2015）。本文只關(guān)注第一類問題的影響。

2 考慮材料阻尼時地表放大系數(shù)解析解

為考慮材料阻尼的影響，采用滯回阻尼假設(shè)時，僅需用下面的復(fù)波速代替式（1）中的剪切波速即可（廖振鵬，2002）。

采用滯回阻尼后，公式（1）變?yōu)椋?/p>

進一步整理得：

放大系數(shù)為：

公式（6）其實等同于有限元建模時不考慮輻射阻尼影響時的均質(zhì)場地地表放大系數(shù)的計算結(jié)果。

3 參數(shù)分析

3.1 材料阻尼的變化對動力反應(yīng)結(jié)果的影響

由圖2可以看出，當不考慮輻射阻尼，即假設(shè)土層下臥基巖為無限剛體時，土層材料阻尼的大小對地表動力反應(yīng)有顯著的影響。在共振時，阻尼的大小對計算結(jié)果影響最大，阻尼比為0時，地表反應(yīng)無限增大；只要設(shè)置很小的阻尼比，如5%時，其峰值就會迅速降低；遠離共振區(qū)后，材料阻尼的影響幾乎可以忽略不計；僅考慮材料阻尼時地表動力反應(yīng)隨著激振頻率的增加有減小的趨勢，即高階振型衰減更快。

圖2 材料阻尼的影響

3.2 輻射阻尼的變化對動力反應(yīng)結(jié)果的影響

圖3 輻射阻尼的影響

圖4 共振時放大系數(shù)隨α的變化規(guī)律

3.3 不同阻尼類型對動力反應(yīng)的影響

圖5 ＝5%的結(jié)果

圖6 ＝10%的結(jié)果

通過對比圖5和圖6發(fā)現(xiàn)，不管是哪一類阻尼都只在共振時會有明顯影響，遠離共振區(qū)后幾乎沒什么差別；僅考慮輻射阻尼或僅考慮材料阻尼都會高估地表的動力反應(yīng)；尤其是在第1階共振頻率附近，忽略任何一種阻尼都將產(chǎn)生明顯的誤差；僅考慮輻射阻尼時會顯著高估后續(xù)高階振型的反應(yīng)；通過增加材料阻尼可以一定程度上減小由于忽略輻射阻尼帶來的影響。

表1 共振時的地表動力放大系數(shù) Table 1 The amplification under

4 有限元建模時場地阻尼的模擬

上述分析可以發(fā)現(xiàn)，對于軟弱場地，這種做法帶來的誤差一般不會太大。但是對于較硬場地，尤其是共振時，將會明顯高估地表的動力反應(yīng)（如表1所示）。同時從表1還可以看出，隨著材料阻尼的增加，動力反應(yīng)的結(jié)果也會明顯降低。由此我們想到在用有限元建模時，是否可以通過增加材料阻尼的方式來彌補忽略輻射阻尼的影響呢？下面將給出進一步分析。

假設(shè)某場地在動力荷載很小時處于線彈性范圍。地表動力放大系數(shù)可由公式（3）計算。由于有限元分析時無法考慮輻射阻尼的影響，只能采用類似公式（6）的方式進行計算。令兩種情況下動力放大系數(shù)一致，即：

由此解出阻尼比參數(shù)為：

這樣，相當于重新構(gòu)造了一個包含材料阻尼而沒有輻射阻尼的場地，通過令動力反應(yīng)結(jié)果一致來求出其材料阻尼作為有限元分析時阻尼比設(shè)置的依據(jù)。

因此，對于某一處于線彈性范圍的均質(zhì)場地，我們可以先根據(jù)勘探資料確定阻抗之比，然后根據(jù)場地的深度和激振頻率得到，就可以根據(jù)公式（8）求出有限元分析時需要附加的材料阻尼的大小。

圖7 材料阻尼隨α的變化

圖8 材料阻尼隨的變化

在動力荷載較大時，土體進入彈塑性階段，需同時考慮材料阻尼和輻射阻尼的影響，理論上可由公式（5）求其放大系數(shù)。采用有限元分析時，由于無法考慮輻射阻尼，可以通過增加材料阻尼的辦法來減小這一影響。

圖9 新的材料阻尼比隨α的變化

圖10 新材料阻尼隨的變化

綜上，對實際均質(zhì)場地進行有限元分析時，若需要同時考慮輻射阻尼和材料阻尼的影響，可按下述步驟確定有限元分析時新的材料阻尼比參數(shù)：

5 算例分析

利用有限元軟件PLAXIS 2D（劉志祥等，2015）進行該場地的地震反應(yīng)分析，底部采用固定邊界。為消除側(cè)向人工邊界的影響，取水平距離為400m（單側(cè)人工邊界距離為深度的20倍），有限元模型如圖11所示。有限元分析所得地表位移的動力放大系數(shù)為6.57。

圖11 場地有限元模型

利用公式（6）可得忽略輻射阻尼時（即假設(shè)基巖剛度無窮大，相當于底部固定邊界）地表位移動力放大系數(shù)的理論解為6.34。考慮到有限元分析時側(cè)向邊界及單元劃分的影響，該結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致，從而印證了文中公式的正確性。

利用公式（5）可進一步得到，同時考慮基巖輻射阻尼和場地材料阻尼時的地表動力放大系數(shù)為2.78，此時有限元結(jié)果的誤差約為136%。可見，對于該場地來說，當完全忽略掉基巖的彈性剛度時，將高估地表的動力反應(yīng)（約為理論值的2.36倍）。

若按照本文第4節(jié)的方法，利用公式（9）可求出考慮了輻射阻尼后場地新的材料阻尼比為22.46%，以此代替場地原材料阻尼比10%，其他條件保持不變，重新進行有限元分析，可得地表位移的動力放大系數(shù)為3.07。通過與公式（5）的結(jié)果對比，可知此時有限元方法的計算誤差約為10%。由此可見，對于該均質(zhì)場地模型，當采用本文建議的方法重新確定場地材料阻尼比后，有限元計算結(jié)果的精度會得到顯著的提高。

6 結(jié)論

本文通過對比場地地震反應(yīng)分析的理論模型和有限元模型，指出了采用底部固定邊界可能帶來的影響。結(jié)合滯回阻尼假設(shè)，推導(dǎo)了同時包含輻射阻尼和材料阻尼時均質(zhì)場地地表位移動力放大系數(shù)的解析表達式。通過參數(shù)分析，分別研究了各類阻尼的大小對動力反應(yīng)結(jié)果的影響規(guī)律，并提出了通過增設(shè)場地材料阻尼來彌補忽略基巖輻射阻尼的計算方法。主要研究結(jié)論有：

（1）建立了較完整的均質(zhì)場地地表位移放大系數(shù)解析式，能夠同時考慮激振頻率特性、場地材料阻尼特性以及反映基巖彈性剛度的輻射阻尼效應(yīng)的影響。為進行均質(zhì)場地動力反應(yīng)的理論研究奠定了基礎(chǔ)。

（2）在有限元分析中，將底部邊界視為固定，相當于完全不考慮土層內(nèi)的波傳到土層與基巖接觸面時的透射現(xiàn)象，會高估地表動力反應(yīng)結(jié)果，尤其是當場地和下臥基巖之間的阻抗相差不是很大時（例如堅硬場地），會大幅增加土層地震反應(yīng)的計算誤差，從而影響我們對實際場地在地震作用下可能產(chǎn)生的動力反應(yīng)的判斷；對于阻抗較小的深厚軟弱場地，由于此時場地和基巖阻抗之比較小，采用固定邊界，即忽略輻射阻尼帶來的影響一般不大。

（3）不管是材料阻尼，還是輻射阻尼，在共振區(qū)附近，都對動力反應(yīng)結(jié)果影響顯著，遠離共振區(qū)后影響迅速減小；其中材料阻尼對高階振型的影響更加明顯，而輻射阻尼對每一階振型的影響幾乎一樣。

（4）用有限元方法對場地進行地震反應(yīng)分析時，通常底部采用固定邊界，相當于忽略掉了基巖處輻射阻尼的影響。此時可通過增加場地材料阻尼的方式來減小這一影響帶來的誤差。針對均質(zhì)場地模型，給出了考慮輻射阻尼后場地新的材料阻尼比的計算公式和步驟，并通過算例驗證了所提方法的可行性。

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The Effect of the Bottom Boundary Condition on Site Finite Element Modeling under Earthquake Load

Bai Jianfang and Dong Shixin

(Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

The actual site is a semi-infinite space and not only on the horizontal direction, but also on the downward are infinitely. In order to build the numerical model for site through direct finite element method, we have to account the artificial boundary conditions first because it is the foundation of how to consider the scope of soil site. In common used method the interface between overlaying bedrock and soil is assumed to be the fixed bottom boundary. In order to find the effect created from this bottom boundary condition, in this paper we performed the theoretical analysis and numerical tests. On this base, we studied the effect of the radiation damping and material damping on the site dynamic response under earthquake load, and it would be possible to decrease the influence of the bottom boundary condition by increases the material damping.

The bottom boundary condition; Site earthquake response analysis; Finite element method; Radiation damping; Material damping

白建方，董士欣，2018．地震作用下場地有限元建模時底部邊界條件的影響．震災(zāi)防御技術(shù)，13（1）：41—51．

10.11899/zzfy20180104

河北省大型基礎(chǔ)設(shè)施防災(zāi)減災(zāi)協(xié)同創(chuàng)新中心項目和河北省重點學(xué)科建設(shè)項目（橋梁與隧道工程）

2017-03-20

白建方，男，生于1976年。博士，講師。主要從事工程系統(tǒng)抗震方面的研究。E-mail：bjf2004@126.com