一種面向點云制造自由曲面的CMM自適應采樣方法*

喻明讓 張志剛 陳 云

(①中北大學機電工程學院，山西 太原 030051; ②北方通用動力集團有限公司，山西 大同 037036；③北方自動控制技術研究所， 山西 太原 030051)

逆向工程通過對已有產品的測量數據進行一系列處理從而實現產品的再設計、再創新與再制造，廣泛應用于汽車、航空航天、生物醫學等領域相關產品的設計與制造[1]。傳統逆向工程首先對測量數據進行預處理如去噪、精簡、光順等，進而通過曲面重構的方式得到產品的CAD模型并以該模型為依據進行后續的設計與制造。然而，曲面重構是一個費時費力且容易產生累計誤差的過程。因此，通過對點云數據的直接處理得到數控加工的刀具軌跡日漸成為逆向工程中的一個重要研究方向，這類方法一般被稱作點云制造[2](point cloud machining)。Lin[3]在1998年首次提出了點云制造的概念，通過對點云數據進行切片處理實現數控加工刀具軌跡的生成。隨后，各種各樣的點云數據直接生成刀具軌跡的方法被提出。針對規則點云數據，Park等[4]在刀具位置點構成的曲面上定義了一系列的曲線，進而生成三軸數控加工的刀具軌跡。Feng等[5]考慮了球頭銑刀加工誤差的影響，提出了一種由點云數據直接生成等平面分段線形擬合的三軸數控加工刀具軌跡的方法。隨著測量技術及計算機技術的發展，近年來點云制造技術的發展更加迅速，由點云數據直接生成無干涉的五軸數控加工刀具軌跡等方法也逐漸被提出[6-10]。由于避免了繁瑣的曲面重構過程，點云制造相對于傳統逆向工程具有獨特的優勢，勢必會受到越來越多的關注。

值得一提的是，無論采用何種方法，所加工的產品或工件必須要經過檢測才能確定其是否合格。也就是說需要對加工后的工件進行測量，并將測量數據與理論正確數據進行對比。對于逆向工程來說，其理論正確數據一般為經過預處理之后的點云數據，即用于曲面重構的點云數據或用于生成數控加工刀具軌跡的點云數據。三坐標測量機(coordinate measurement machine, CMM)由于其高精度的特點而廣泛用于工件的測量及檢測。CMM采樣策略一直是CMM測量相關研究中的熱點問題，因為采樣點的數量及布局是影響CMM測量效率、精度以及成本的主要因素。一般來說，采樣策略可以分為兩大類：(1)不考慮被測曲面的形狀特征，均勻或隨機的分布采樣點，常見的等參數采樣和隨機采樣等方法均屬于第一類。等參數采樣[11]是以曲面的u、v參數方向劃分均勻分布的網格，網格節點就是采樣點；隨機采樣則是在曲面上隨機選擇采樣點。這類方法原理簡單且便于實施，但是由于沒有考慮曲面的幾何特征，容易造成采樣點的冗余或缺失。(2)依據被測曲面的形狀特征如曲率變化等自適應的布置采樣點。直觀地看，應該在曲面形狀復雜的區域布置較多的采樣點，而在曲面形狀簡單的區域布置較少的采樣點，這也是自適應采樣方法的出發點。其關鍵是找到合適的曲面復雜程度的度量，常用的有平均曲率、高斯曲率等[12]。

在大多數關于CMM采樣策略的研究中，都是依據被測曲面的解析表達式或CAD模型來進行采樣點的選取[13]。因此，對于自由曲面這種無法用解析式表達的曲面來說，CAD模型是其采樣的唯一依據。如前所述，由點云數據直接生成數控加工刀具軌跡也即點云制造正成為逆向工程領域一種應用越來越廣泛的方法，而該類方法的突出優勢則是避免了曲面重構的繁瑣過程，也就是說在該類方法中，不存在被加工曲面的CAD模型，這就使得后續的CMM采樣難以進行。而事實上，為達到某些數學特征、特定功能需求或美學效果的外觀形態，自由曲面已越來越多地應用于航空航天、汽車工業、模具和生物醫用植入等領域。因此，研究一種面向點云制造自由曲面的CMM自適應采樣方法顯然非常必要。此外，大多數自適應采樣策略中仍然是采用“曲面→曲線→點”的模式，即首先從曲面上提取出一系列的曲線，然后在曲線上依據一定的規則布置采樣點，從某種程度上來說這類方法只能保證采樣點沿某一個方向是自適應分布的，而不能保證在整個曲面上實現真正自適應的分布。綜上所述，本文提出了一種面向點云制造自由曲面的CMM自適應采樣方法，該方法以初始點云為依據，首先在邊界選取一定數量的初始采樣點，然后以這些采樣點擬合形成一個中間曲面，計算初始點云與該中間曲面的誤差，在誤差最大的地方增加一個采樣點，采用循環的方式不斷地增加采樣點，直至達到迭代終止條件。

2 自適應采樣策略

本文所提出的自適應采樣策略結合圖1介紹如下：

(1)本文所說的初始點云，指的是經過預處理(精簡、去噪、光順等)之后的點云數據，該點云數據也是用于點云制造的初始點云。

(2)提取點云邊界，在邊界上隨機選擇一些點作為初始采樣點集P。

(3)用采樣點集P中的點擬合一個中間曲面，并計算該曲面與初始點云之間的最大誤差d；

(4)比較d與預先設定的誤差極限ε以及迭代次數i與最大迭代次數N，如果d>ε并且i

(5)選擇步驟(3)中誤差最大值對應的點并將其加入到采樣點集P中，轉到步驟(3)。

(6)迭代終止并輸出點集P作為最終的采樣點集。

(7)依據采樣點集P進行測量路徑規劃以完成測量。

需要說明的是，在上述流程中，每一步增加的采樣點是依據計算得到的誤差值從初始點云中選擇的，而不是來自于中間曲面，因此對中間曲面的重構精度要求不高。此外，流程中的點云邊界提取以及點云與曲面之間的偏差計算所涉及的技術問題將在后文提到。

3 點云數據邊界提取

點云邊界提取方法結合圖2介紹如下：

(1)首先將原始三維點云投影到某一坐標平面上得到二維點云數據。

(2)用均勻分布的柵格對二維點云數據進行劃分，柵格的大小可以調整。

(3)從柵格的4個方向(上下左右)分別向內查詢，并隨機保留查詢過程中該列的第一個非空柵格內的一個點形成二維的邊界點。

(4)由二維邊界點映射到對應的三維邊界點。

很顯然該方法提取邊界的精度不高，如柵格劃分以及隨機保留的方式都會影響到邊界提取的精度。但是，通過前述自適應采樣策略的描述可以發現，若某一處邊界漏選的點云較多，則形成的擬合曲面與初始點云在該處的偏差將會顯著增大，從而通過迭代會在該處增加相應的采樣點，因此本文方法對邊界提取的精度依賴性不高，上述方法足以滿足要求。

4 點云與曲面偏差計算

在自適應采樣流程中原始點云與中間曲面之間的偏差計算是為自適應增加采樣點提供依據。考慮到當前流行的三維造型軟件普遍以非均勻有理B樣條(non-uniform rational B-splines, NURBS)的方式來表示曲面，且NURBS在曲面擬合方面應用較為成熟，本方法中擬合中間曲面也采用的是NURBS方式。NURBS曲面的表達方式如下[14]：

(1)

式中：Pi,j為矩形域上的特征網格的控制點；ωi,j為相應控制點的權因子；Ni,p(u)和Nj,q(v)分別為p階和q階的B樣條基函數。

關于NURBS曲面擬合已經有比較成熟的理論和工具，因此此處重點介紹點云與NURBS曲面的偏差計算問題。對于能夠用解析方程表示的曲面，其距離計算可以直接利用數學方程的方法求解。而對于NURBS曲面來說則困難的多。常見的方法是將曲面離散化進而將偏差計算轉化為求點與最近點之間的距離[15-16]。對于NURBS曲面的離散，最簡單的辦法是沿u、v兩個參數方向依據離散精度均勻取值，并依據NURBS曲面表達式計算相應的空間坐標點。需要注意的是由于NUBRS曲面的特性，其坐標位置是由空間的6個控制點來決定的，節點向量的均勻變化并不等于空間離散點也是均勻分布的。考慮到本文提出的方法中偏差計算只是為自適應增加采樣點提供依據，而不是作為最終的檢測評定，因此這種分布不均勻性對計算結果的影響可以忽略。自由曲面離散完成后，偏差計算即轉換為計算點到點云中最近鄰點距離的問題，此處采用K-D樹算法進行最近點搜索。即首先建立點云數據的空間K-D樹，然后利用K-D樹的空間分治結構進行最近點搜索。由于搜索時以最近距離作為判斷的依據，因此當查詢到最近點時其最近距離也可以同時得到[16]。

5 實驗驗證

為了驗證本文所提方法的有效性，以常見的活塞曲面(部分)作為測試對象對本文方法進行驗證。首先利用光學測量的方法獲取該曲面對應的點云數據如圖3a所示，然后利用本文所提的方法進行自適應采樣，得到的采樣點如圖3b所示。為了驗證本文方法相對于其他方法的優越性，分別利用文獻[17]所提的基于高斯曲率的自適應采樣方法以及傳統的等參數采樣方法來進行采樣，得到的采樣數據分別如圖4a和b所示。進而分別以這三種方法得到的采樣點為依據在三坐標測量機CARL-ZEISS上搭配CS100-2828-18的測頭進行測量，如圖5所示。測量完成后利用該坐標測量機自帶的系統進行偏差計算，得到的結果如圖6所示，各種方法的具體數據如表1所示。通過圖6和表1可以發現，本文所提出的采樣方法能夠在減少采樣點數的同時保持較高的采樣精度，從而證明了本文所提方法的優越性。同時，本文所提的采樣方法直接從原始點云數據中獲取采樣點，不需要被測曲面的CAD模型，從而能夠適用于點云制造自由曲面的測量及檢測。

表1 不同采樣方法結果對比

采樣點數量測量時間/s最大偏差/mm本文方法42103.20.085高斯曲率法42103.20.094等參數法100243.30.083

6 結語

針對三坐標測量機測量或檢測點云制造自由曲面的采樣問題，本文提出了一種直接由點云數據自適應獲取采樣點的方法，理論分析及實驗結果表明：

(1)該方法通過自適應的方法減少采樣點數，從而在提高了測量效率的同時保持了較高的測量精度。

(2)該方法通過直接對原始點云數據進行處理得到所需要的采樣點，不依賴于被測曲面的CAD模型，從而能夠應用于點云制造自由曲面的測量及檢測。

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