逆擬變分不等式的擾動Levitin-Polyak適定性

廖夢玲, 夏福全

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

逆變分不等式的研究[8-9]越來越廣泛,它普遍應用于市場均衡問題、交通流量控制問題以及運輸系統(tǒng)和無線電通信中.文獻[9]中定義并討論了逆變分不等式的擾動LP適定性的概念及度量性質.由于逆擬變分不等式包含了一般的逆變分不等式和擬變分不等式，本文的結論就包含了這些問題的相似結論,并且目前沒有對逆擬變分不等式這方面問題的研究,所以對逆擬變分不等式問題適定性的研究是十分有意義的.本文將基于文獻[9]的研究方法，通過定義逆擬變分不等式的近似序列和LP近似序列,然后通過定義逆擬變分不等式的近似解集,討論并得到逆擬變分不等式的擾動LP-α-適定性的度量性質.

1 預備知識

L是一個線性賦范空間,P?L是一個有正半徑的閉球,p*∈P是一個固定點.

本文研究逆擬變分不等式(簡記為IQVI(f,h,K))：求x*∈Rn,使得

h(x*)∈K(x*),

〈f(x*),y-h(x*)〉≥0,

?y∈K(x*).

IQVI(f,h,K)的擾動問題(簡記為IQVIp(f,h,K))：求x*∈Rn,使得

注1當h:Rn→Rn是恒等映射時,IQVI(f,h,K)退化為擬變分不等式QVI(f,K)[16-19].

假設α是非負常數(shù),S為IQVI(f,h,K)的解集.下面將給出一些相關定義.

定義1.1設{pn}?P且pn→p*.稱序列{xn}?Rn是IQVI(f,h,K)對應于{pn}的α-近似序列,如果存在n>0且n→0,使得

定義1.2設{pn}?P且pn→p*.稱序列{xn}?Rn是IQVI(f,h,K)對應于{pn}的LP-α-近似序列,如果存在n>0且n→0以及ωn∈Rn且ωn→0,使得

定義1.3稱IQVI(f,h,K)是擾動α-適定的,如果IQVI(f,h,K)有唯一解,且對任意滿足pn→p*的序列{pn}?P,對應于{pn}的任意α-近似序列均收斂于該解.

注3若α1>α2≥0,則擾動α1-適定必為擾動α2-適定,特別地,當α=0,稱擾動0-適定為擾動適定.當pn≡p*時,擾動α-適定也稱為α-適定.

定義1.4稱IQVI(f,h,K)是廣義擾動α-適定的,如果IQVI(f,h,K)的解集S非空,且對任意滿足pn→p*的序列{pn}?P,IQVI(f,h,K)對應于{pn}的每個α-近似序列都存在子序列收斂于解集中的一個點.

定義1.5稱IQVI(f,h,K)是擾動LP-α-適定的,如果IQVI(f,h,K)有唯一解,且對任意滿足pn→p*的序列{pn}?P,IQVI(f,h,K)對應于{pn}的任意LP-α-近似序列均收斂于該解.

注4若α1>α2≥0,則擾動LP-α1-適定的必為擾動LP-α2-適定的,特別地,當α=0時,稱擾動LP-0-適定為擾動LP適定.當pn≡p*時,擾動LP-α-適定也稱為LP-α-適定.

定義1.6稱IQVI(f,h,K)是廣義擾動LP-α-適定的,如果IQVI(f,h,K)的解集S非空,且對任意滿足pn→p*的序列{pn}?P,IQVI(f,h,K)對應于{pn}的每個LP-α-近似序列都存在子序列收斂于解集中的一個點.

定義1.7令A、B是Rn的2個非空子集.定義e(A,B):2Rn×2Rn→R：

其中

令{An}是由Rn中的非空子集構成的序列,易知

e(An,A)→0,n→∞,

當且僅當對任意an∈An,有

d(an,A)→0,n→∞.

定義1.8令A是Rn的非空子集,定義

2 IQVI(f,h,K)的擾動Levitin-Polyak適定性的度量性質

下面將建立IQVI(f,h,K)的擾動LP-α-適定性和廣義擾動LP-α-適定性的度量性質.

Tα(),

,?

其中,B(p*,)是以p*為球心,以為半徑的閉球.顯然S?Tα().

設x*是IQVI(f,h,K)解集S非空情況下的一個固定解.

θ()=sup{‖x-x*‖:x∈Tα()}.

易知,θ()是以x*為球心且包含Tα()的閉球的最小半徑.

接下來,給出IQVI(f,h,K)的擾動LP-α-適定性的度量性質.

定理2.1令x*是IQVI(f,h,K)的解,則IQVI(f,h,K)是擾動LP-α-適定的,當且僅當→0時,θ()→0.

證明假設IQVI(f,h,K)是擾動LP-α-適定的,則x*是IQVI(f,h,K)的唯一解.顯然,x*∈Tα(),則Tα()非空.

(1)

由Tα()的定義可知,對每個xn∈Tα(n),存在pn∈B(p*,n),使得

(2)

(4)

矛盾.故x*是IQVI(f,h,K)的唯一解.設{xn}是IQVI(f,h,K)對應于{pn}的LP-α-近似序列,其中{pn}?P且pn→p*,則存在0

(5)

因此，IQVI(f,h,K)是擾動LP-α-適定的.

下面給出一個例子說明定理2.1的應用.

顯然,x*=0是IQVI(f,h,K)的解.

Ap()},
Bp()
,?

則

對?x∈Ap(),有

x(1+|p|)≥|p|x-,

當且僅當x≥-,即Ap()=[-,+∞).

對?x∈Bp(),有

〈(1+|p|)x-y,x〉≤

‖(1+|p|)x-y‖2+, ?

從而

-y2+(2|p|+1)xy-(|p|+|p|2)x2≤,

即

Bp()

要使得

即

由上述討論可知

Ap()∩Bp()=([-,0)∩

Bp())∩([0,+∞)∩Bp())=

由Tα()的定義可知

Tα()()∩Bp()]=

θ()=sup{‖x-x*‖:x∈Tα()}=

定理2.2令x∈Rn且h(x)∈K(x),對

?y∈K(x), 〈f(x),y-h(x)〉≥0,

當且僅當

證明假設〈f(x),y-h(x)〉≥0,?y∈K(x),結論顯然成立.

反之,對?g∈K(x)及t∈(0,1],由K(x)的凸性可知

h(x)+t(g-h(x))∈K(x).

t〈f(x),h(x)-g〉=

〈f(x),h(x)-(h(x)+t(g-h(x)))〉≤

則

令t→0,可得

〈h(x)-g,f(x)〉≤0, ?g∈K(x).

結論成立.

證明假設IQVI(f,h,K)是擾動LP-α-適定的,則x*是IQVI(f,h,K)的唯一解.顯然對任意>0,x*∈Tα()≠?.由Tα()的定義,易知

(6)

由定理2.1可知,θ()→0,則易知

diamTα()→0,→0.

反之,假設Tα()≠?,?>0且diamTα()→0(→0).由定理2.1和(6)式,只需證明IQVI(f,h,K)的解集S非空即可.記().由Tα()定義可知,當0≤1≤2時,有Tα(1)?Tα(2),則顯然有

由定理2.2可知

(7)

又因為Tα()?Rn且diamTα()→0,所以S是一個單點集.

diamTα().

diamTα()→0,

由定理2.3可知,IQVI(f,h,K)是擾動LP-2-適定的.

下面給出IQVI(f,h,K)的廣義擾動LP-α-適定性的度量性質.

定理2.4令x*是IQVI(f,h,K)的解,則IQVI(f,h,K)是廣義擾動LP-α-適定的當且僅當IQVI(f,h,K)的解集S是緊集且

e(Tα(),S)→0,→0.

證明假設IQVI(f,h,K)廣義擾動LP-α-適定的,則x*是IQVI(f,h,K)的唯一解.首先證明S是緊集,事實上令{xn}?S及{pn}?P且pn≡p*,顯然{xn}是IQVI(f,h,K)對應于{pn}的LP-α-近似序列,則{xn}必有子序列收斂于S中某點.

xn?S+B(0,l), ?n∈N,

(9)

其中,B(0,l)是指以0為心,l為半徑的閉球.

由xn∈Tα(n),則存在pn∈B(p*,n),使得

由于IQVI(f,h,k)是廣義擾動LP-α-適定的,則序列{xn}存在子序列{xnk}收斂于S中一點,這與xn?S+B(0,l)矛盾.

反之,假設S是緊集且當→0時有

e(Tα(),S)→0.

設{pn}?P且pn→p*,{xn}是IQVI(f,h,K)對應于{pn}的LP-α-近似序列,則存在ωn∈Rn且ωn→0及0

(10)

所以,IQVI(f,h,K)是廣義擾動LP-α-適定的.

下面給出一個例子說明定理2.3的應用.

首先說明S={0}是IQVI(f,h,K)的解集.顯然,0∈S.對?x∈S,有:

(11)

(12)

解(11)式可得-1≤x≤0.

不妨設x≤0.當x=0時,(12)式顯然成立.

Ap()},
Bp()
,?

則

Tα()()∩Bp()].

對?x∈Ap(),有

|p|x-≤1+(1+|p|)x≤1+|p|x+,

當且僅當

-1-≤x≤,

即

Ap()=[-1-,].

對?x∈Bp(),有

〈1+(1+|p|)x-y,x〉≤

‖1+(1+|p|)x-y‖2+, ?

展開可得

-y2+[(2|p|+1)x+2]y-(|p|+|p|2)x2-

(2|p|+1)x-1≤, ?

整理可得

即

Bp()

要使得

當x>0時,有

此時

即

因此

Ap()∩Bp()=([-1-,0)∩Bp())∩

則由Tα()的定義可知

Tα()()∩Bp()]=

e(Tα(),

由定理2.4可知,IQVI(f,h,K)是廣義擾動LP-2-適定的.

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