例談廣義一元二次方程的求解

福建省廈門雙十中學漳州校區 余望鴻

類型一：高次方程化為一元二次方程

例1 解方程

解析：此方程次數較高，且方程左邊比較復雜，如果直接展開，運算量會很大，而且高次方程也很難求出它的根，所以需要對方程變形，轉化為我們熟知的方程進行求解。

既然展開比較困難，則可利用整體思想和換元思想，將括號內整體替換，得到一個關于的一元二次方程。具體解答過程如下：

令，代入原方程，得：化簡得：。

則有

可解得原方程的解為：

例2 解方程

解析：原方程左邊是4個多項式相乘，不適合全部展開，可以考慮將4個式子兩兩合并，得：

觀察這兩項的特點，然后可以令則，原方程可變為：。整理得，解得

（2）當，

解得

即原方程的根為

類型二：分式方程化為一元二次方程

例3 解方程

解析：方程左邊是兩項的平方和，此特點只有在完全平方公式中存在，再觀察方程右邊括號內為如果將其平方，就會出現方程左邊的式子，因此可設移項得那么原方程可變形為解得

所以，

可解得原方程的解為

例4 解方程

解析：方程左邊兩個分式比較復雜，且為異分母，如果利用通分來求解，則運算量很大。將第二個分式的分子提取因數2后，發現其恰好為第一個因式的倒數，因此可利用整體換元思想，將方程大大簡化。

解析：此根式方程比較復雜，必須先對根式里面的因式進行處理，然后再根據式子特點進行適當的換元，求解步驟如下：

解析：本題是一道含有絕對值的二次方程，可以根據分類討論思想將絕對值符號去掉，然后再分別求出方程的解，也可以不去掉絕對值符號，把它當成一元二次方程來求解。由于所以可將方程變形為很顯然，這是一個關于的一元二次方程，可利用分解因式法得

解得

原方程的解為

對于以上四類廣義一元二次方程的分析使我們明白，很多常見的方程，如果用常規的方法來求解，會很困難或求不出，但是通過適當變換轉化成一元二次方程，則可以比較容易求出。這其中滲透了某些數學思想，也體現了一元二次方程的一種重要應用。