基于數學核心素養培養的課堂教學實施
——以“二次函數的最值問題”教學設計為例

江蘇省常州外國語學校 宋子君

六大數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析。發展學生的核心素養既需要宏觀的頂層設計描繪藍圖，也需要微觀的課堂教學使之落地推進，抓好課堂教學也就把握住了培養學生核心素養的關鍵。教師若不能精心設計教學環節，打造優質高效的課堂教學，就難以發揮發展學生核心素養的功能。本文以“二次函數的最值問題”的教學設計為例，談談如何在數學課堂教學中培養數學核心素養。

二次函數的最值問題不僅與實際應用、圖形性質、圖形變化等知識有關，具有一定的學科綜合性，而且蘊含了分類討論、數形結合、數學建模等諸多數學思想。所以教師需要帶領學生研究具有代表性的二次函數最值問題，以期提高其解決二次函數最值問題的能力，培養符號感、幾何直觀、推理能力和模型思想。

一、在確定范圍內的二次函數最值問題

給定自變量范圍，求二次函數的最值是常見的基礎題型，這類問題的考查方式有兩種：1.頂點橫坐標在自變量范圍內；2.頂點橫坐標不在自變量范圍內。因此設計了如下問題：

問題一：在二次函數y=x2-2x-3中，

【設計意圖】 通過上述問題，學生認識到判斷二次函數頂點橫坐標是否在自變量范圍內是處理問題的關鍵，理解掌握了解決這類問題的知識技能，也體會了借助直觀、形象的函數圖象處理此類問題的便捷性，體現了數形結合的數學思想在函數問題中的重要作用。核心素養是基于基礎知識、基本技能的習得而逐步形成的，并且常常體現在運用基礎知識、基本技能解決問題的過程中，而這個過程又往往蘊含著數學思想，受數學思想指引。

二、含參數的二次函數的最值問題

這類問題又分為定自變量范圍、對稱軸不定和對稱軸確定、自變量范圍不定兩類問題，出于對課堂時間和這兩類問題處理方法的相似性的考慮，課堂上研究其中一類問題，另一類問題留給學生課后研究。

問題二：當-2≤x≤1時，二次函數y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，求實數m的值。

【設計意圖】 學生的數學核心素養基于數學基礎知識、基本技能，又高于基礎知識、基本技能。數學核心素養是學生在學習數學的過程中逐步形成的思維品質和關鍵能力。在解決數學問題時，不僅需要學生理解掌握基礎知識、基本技能，還需要學生運用不同的思想方法、技能技巧。比如在上述問題的解決中，學生需要運用分類討論的思想方法明晰頂點橫坐標和自變量范圍的關系，找到解決問題的思路，還需要數形結合，借助圖象直觀形象地得出每種前提下最大值在何處取得，以提高解題效率。

三、建立二次函數模型解決問題

問題三：大潤發超市進了一批成本為8元/個的文具盒。調查發現：這種文具盒每個星期的銷售量y（個）與它的定價x（元/個）的關系如圖所示，如果該超市每星期這種文具盒的銷售量不少于115個，且單件利潤不低于4元（x為整數），當每個文具盒定價多少元時，超市每星期利潤最高？最高利潤是多少？

【設計意圖】 數學并不脫離生活實際，數學教學實踐應當鼓勵學生用數學的眼光看待問題，從具體的情境和問題中抽象出數量關系和變化規律，并將其符號化，建立恰當的數學模型，引導學生不僅用數學模型刻畫現實世界，而且用數學工具對模型進行推理演算，求出相應的數學結果，并將其放回問題實際進行解釋。在這個過程中培養學生的符號感、推理能力和數學建模思想，樹立學生的應用意識。

問題四：已知實數滿足的最小值。

【設計意圖】 模型思想不僅用于解決與生活實際緊密聯系的具體情境，而且也適用于一些單純的數學問題。數學教學實踐是基于基礎知識、基本技能的教育，更是數學思想、數學方法的滲透，通過知識技能的掌握和思想方法的體會，讓學生認識到數學的廣泛應用，使學生在今后的個人發展中和面對社會實際時，能嘗試從數學角度運用數學思維和數學工具尋求解決問題的方法。

問題五：已知點D與點A（8，0），B（0，4），C（m，-m）是一個平行四邊形的四個頂點，求CD長的最小值。

師生活動：學生先獨立思考并畫出圖形，然后全班交流，先借助畫出的圖形，由平行四邊形對角線互相平分的性質分析出CD=2CE，再應用數學建模的思想，用函數的方法建立二次函數模型，最后利用二次函數的性質求出最值。C點在直線上運動，所以當直線時，CE取最小值，進而解決問題。或者利用直線軸正半軸夾角為45°，構造等腰直角三角形求CE的最小值，這種方法充分利用了圖形的性質，用幾何方法解決問題直觀形象，而且能避免一些煩瑣的計算。

【設計意圖】 在實際應用中往往沒有那么明顯和直接的模型可以直接套用，而具備數學核心素養的學生也就具有用數學的眼光看待問題、用數學的思維分析問題、用數學的工具解決問題的思維和能力。在數學課堂教學實踐中，教學生數學的工具是相對淺層次的“教”，更重要的是讓學生用數學的眼光看待問題，用數學的思維分析問題。

變式：如果在剛才的問題中再加一個的條件，會發生什么變化嗎？

【設計意圖】 加了限制條件后，垂直的特殊位置無法取得，但可以利用自變量范圍和函數關系求最值。進一步感受建立數學模型是解決問題的有效方法和重要思想。

【教學反思】

在本節課的設計中并沒有過多地糾結于利用二次函數的圖象和性質求二次函數的最值的教學，而是緊扣數形結合、數學建模等體現數學本質的核心素養，創設多樣化的情境，讓學生在生活情境和數學情境中尋找數量關系，用函數模型進行刻畫，體會模型思想，建立符號意識；讓學生在借助圖形分析思考問題的過程中，感受幾何直觀；讓學生在思考與交流的過程中，養成獨立思考、合作交流的學習習慣，并能勇于表達自己的想法，理解他人的思考方法，能針對他人的發言進行反思，初步形成評價與反思的意識和嚴謹求實的科學態度。推理能力的發展又貫穿于整個數學學習過程中，推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。而這些正是學生為了適應將來的社會生活和個人發展所需要具備的思維品質和關鍵能力。

學生數學核心素養的發展是個綜合性的過程，而課堂教學是發展學生核心素養的重要渠道，一線教師應當深化對數學核心素養的研究，樹立基于核心素養的教育理念，注重數學學科的本質特征，提高課堂教學的有效性，以此提升課堂教學對發展學生數學核心素養的推動作用，完善數學的育人功能。