初探數形結合方法在高中數學教學中的運用

江蘇省泰興市第四高級中學 孫建新

高中的所有數學思想方法中，數形結合思想是一種始終貫穿高中數學的數學思想方法。它的關鍵在于用代數的方法解決一些復雜的幾何問題，用簡便的幾何方法解決一些復雜的代數問題，這樣可以將代數和幾何這兩個完全不搭邊的名詞及其所代表的范疇進行了有效的連接，可以讓學生在大腦意識形態里面建立起代數與圖形互相轉換的概念，重點培養解決問題方法的多樣性、簡便性、發散性。

一、用具體的圖形輔助復雜的代數問題

數形結合的思想方法的重要作用之一就是用具體的圖形輔助復雜的代數問題。用幾何的本質來反映、解決復雜的代數問題是數形結合思想的重要運用。我們用具體的數學例子來進行說明。

例1 已知，若的最小值記作寫出g（t）的表達式。

解析：由于，所以拋物線的

對稱軸為開口是向上的。

1.當時，（fx）在[t,t+1]上單調遞增，如圖1所示。

所以當x=t時，f（x）最小，即

2.當上遞減，

在上遞增，如圖2所示。

所以當

3.當在[t,t+1]上單調遞減，如圖3所示。

所以當x=t+1時，f（x）最小，即f（x）

綜合①②③可知：

圖 1

圖 2

圖 3

例題總結：通過二次函數的圖象我們可以確定解題的思路，我們可以更加直觀、明確、清楚、清晰地體現數形結合的優越性。但是需要我們特別注意的是，對于二次函數在閉區間上的最大值、最小值問題，最重要的是應該抓住對稱軸和所給定區間的相對位置關系進行分類討論和仔細解決。第一步要確定的是對稱軸與對稱區間的位置關系，結合函數圖象確定在封閉區間的單調情況，然后再確定是在什么位置取得最值。

方法總結：對含有參數的問題利用數形結合思想。第一，解決這類問題時要準確畫出大致的函數圖象，注意函數的定義域（非常重要）。第二，用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種非常有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數式看作兩個函數的表達式（有時可能先做適當調整，這樣以便于畫圖），然后作出兩個函數的圖象，根據圖然后求解。第三，在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：首先，要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；其次，要恰當設定參數，合理利用參數，建立相互之間的關系，然后做好轉化；再者，正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏，思路一定要清晰；最后，“數”與“形”緊密聯系起來，使一些較難解決的代數問題幾何化、困難的幾何問題代數化，便于問題得以解決。

二、用代數方法解決復雜的幾何問題

我們經常用到的就是空間向量的代數式子將復雜不容易看見的、不容易解決的幾何問題進行簡便化。

例2 如圖4所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點。證明：（1）AE⊥CD；（2）PD⊥平面ABE。

圖4

證明：AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設PA＝AB＝BC＝1，則P（0,0,1）。

（1） ∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，

∴C（12，32，0），E（14，34，12），

設D（0，y,0），由AC⊥CD，得即y＝ 233，則D（0，233，0），

∴＝（－12，36，0），又＝（14，34，12），

∴·＝－12×14+36×34＝0，

∴⊥，即AE⊥CD。

（2）方法一：

∵P（0,0,1），∴＝（0，233，－1），

又＝34×233+12×（－1）＝0，

∴⊥，即PD⊥AE，

＝（1,0,0），∴·＝0，

∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB。·

方法二：

＝（1,0,0），＝（14，34，12），

設平面ABE的一個法向量為n＝（x，y，z），

則x＝0，14x+34y+12z＝0，

令y＝2，則z＝－3，

∴n＝（0,2，－3），

∵＝（0，233，－1），

顯然＝33n。

∵∥n，

∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE。

三、高考題型涉及數形結合思想的題型

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數軸及直角坐標系的廣泛應用；

（3）函數圖象的應用；

（4）數學概念及數學表達式幾何意義的應用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數形結合。

四、在運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循以下三個原則

①等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應；

②雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，如果僅僅對代數問題進行幾何分析容易出錯，容易漏掉；

③簡單性原則。不要一味地為了“數形結合”而進行數形結合，在具體運用時，首先要考慮方法是否可行；其次是要選擇一個很好的突破口，合理設定參數、運用參數、建立數形結合的關系，做好轉化；最后是要善于挖掘隱含的條件，準確確定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖象時，應設法選擇動直線與固定的二次曲線為最好的方法。

綜上所述，要想真正把數形結合思想徹底弄清楚，那么就需要多去練習這樣的題目，在大腦里面建立自己的做題體系。