在結構中感受數學整體性*
——以“一元二次方程（一）”教學為例

一、問題的提出

在常規的初中數學教學中，人們對每個知識點，采用的是按課時進行教學，最后通過復習課對前面的一個學習過程進行統整，即遵循“個體—部分—整體”的邏輯。例如，學習人教版數學九年級上冊“一元二次方程”時，按照常規的教學設計，一般會將一元二次方程的各種基本解法依次進行學、練，最后是各種基本解法的綜合。這是先讓學生學習“個體”，而后到“部分”，最后到“整體”的方法。

這種教學的優點是將教學難點分解，利于學生逐個掌握、逐步提高。但是這種教學的弊端是顯而易見的，即學生難以自主地打通這些“孤立”的知識點之間的聯系，每一個知識點都是碎片化狀態，難于理解、掌握和運用。

二、在結構中感受數學的整體性

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。這就要求學生把數學學習視為一個整體，從知識、能力、思維等方面進行整體把握，從而促使學生得以整體提高、全面發展。

例如，在教學“一元二次方程（一）”時，許多教師設立的學習目標是這樣的：（1）理解并掌握一元二次方程的定義；（2）理解并掌握一元二次方程的一般表達式。學習重點是一元二次方程的定義，學習難點是一元二次方程的各項及其系數的區別。顯然這樣的學習目標是不確切、不全面的，而且將“一元二次方程的定義等相關概念”脫離在“一元二次方程”這個整體之外。

2017年11月，筆者執教了“一元二次方程（一）”的展示課。考慮到“知識的結構和體系”“局部知識與整體知識的關系”“感受數學的整體性”等教學要點，筆者采用了反常規的教學方法：引導學生類比于一次方程（一元一次方程、二元一次方程），自主進行遷移并獲得一元二次方程的定義及一般形式；根據一元二次方程4種解法的基本思想及相互之間的聯系，引領學生自主探究各種解法，并建立各種解法的體系框架（即先形成“整體”知識，后面再讓學生自主而深入地研究知識整體的各個“個體”或“局部”）；采用單元教學的方式，重組教學內容，達到了較好的教學效果。本節課筆者擬定的教學目標為：（1）在具體情境中自主建構一元二次方程的定義、一般表達式等；（2）自主探索解一元二次方程的思想方法和理論依據，建構4種解法的知識基礎及相互聯系。

具體教學設計如下。

環節一：問題解決，自覺遷移。

1.提問：（1）如何用一張長方形硬紙片做成一個沒有蓋的長方體盒子？（2）如果硬紙片長16厘米，寬12厘米，如何做成一個底面積為96平方厘米的沒有蓋的長方體盒子？

全班交流，列方程求解：設截去的小正方形的邊長為x厘米。由題意，得（16-2x）（12-2x）＝96，整理后，得 x2-14x+24＝0。

追問：（1）這是什么方程？（2）你是根據學什么知識的經驗來命名和定義的？

（設計意圖：將方程整理成一般形式，便于學生自覺給新方程命名和定義。事實上，學生都能由學習一次方程的經驗，仿照地將新方程命名為“一元二次方程”。這里也為學生初步了解一元二次方程的4種解法及解決實際問題打下伏筆。）

環節二：類比遷移，自主概括。

1.提問：為什么把方程x2-14x+24=0叫作一元二次方程？什么樣的方程叫作一元二次方程？它的一般形式是怎樣的？

2.練習：（1）下列關于x的方程是不是一元二次方程？說明判斷根據。

（2）將下列方程化成一元二次方程的一般形式后，說出各項及其系數。

教學方式：讓學生先獨立思考，然后在小組里交流（你是怎么判斷的？判斷的依據是什么？），最后全班交流。

（設計意圖：突出一元二次方程的一般形式中的條件“a≠0”，強化學生對一元二次方程的定義的認識。）

環節三：自主探究，自覺生成。

1.思考：根據已有經驗，解一元二次方程的基本思路是怎樣的？

2.研究解法：求方程①x2-4＝0的解。

方法一：由 x2-4＝0 得 x2＝4，∴x＝±2，即 x1＝2，x2＝-2。（解法名稱：直接開平方法）

追問：（1）方程 x2+4＝0怎么求解？方程（x-1）2＝4 呢？（2）可以用直接開平方法來解的一元二次方程有何條件？

說明：所舉的例子旨在向學生說明，能用直接開平方法解的一元二次方程一定能變形為“等號的左邊是完全平方式，等號的右邊是一個非負數”的形式。

方法二：由 x2-4＝0 得（x+2）（x-2）＝0，∴x+2＝0 或 x-2＝0 ∴x1＝-2，x2＝2。（解法名稱：因式分解法）

追問：根據因式分解的知識來解方程的依據是什么？

3.小組研究：求方程②3x2-5x＝0和方程③x2-2x-15＝0的解法。

追問：（1）如何用直接開平方法來解方程x2-2x-15＝0？

（2）類比一元一次方程的一般形式ax+b=0（a≠0）的解的表示，用配方法可以解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），若有解，那么它的解用什么來表示？

（設計意圖：把方程③變形為左邊是一個完全平方式，如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法求出方程的解，由此引出配方法。用配方法來解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），若有解，那么它的解是用含系數a、b、c的式子來表示的，這就是一元二次方程的求根公式，以后直接用這個公式來求一元二次方程的解，由此得到第4種解法——“公式法”。）

4.學生自主求出做無蓋盒子需要在四個角截去的相同的小正方形的邊長。

（設計意圖：根據四種解法的知識基礎和四種解法之間的相互聯系，探討了一元二次方程的四種基本解法。突出了本節課的教學重點——建立解方程的基本思想、具體方法和理論依據的知識體系框架；突破了教學難點——用配方法解一元二次方程。充分地發揮和發展學生的主體創造性。）

環節四：共同回顧，總結提升。

引導學生圍繞問題思考交流：（1）我們是如何得到一元二次方程及其解法的？（2）在學習的過程中體會到哪些重要的學習方法或經驗？

師生共同總結：（1）完善板書如下：

（2）對每個新知，要學會觀察現象，概括本質或規律，善于積極主動猜想、聯想，用已有的知識經驗去自主探究未知，從而把未知轉化為已知。

三、對“學材再建構”的幾點說明和思考

首先，所謂“學材”，簡單地說就是學習材料，或者說是學習資源。狹義的“學材”是學生當前的數學學習所用到的一些直接相關的材料、資源，譬如教科書、教輔資料等；廣義的“學材”是與學生當前的數學學習有關的一切材料（對數學教材文本之外其他學習資源的整合和重構）。課堂教學中，我們尤其要用好那些隱性學材（變化的、動態的、隱蔽的學習材料，如學生的學習態度、學習經驗、師生關系等）。

其次，“學材再建構”由三個部分組成：一是教師獨立地對學材進行建構；二是學生在教師的引導下獨立地對學材進行建構；三是師生共同對學材進行建構。這三者合起來就是一個完整的學材再建構過程。“學材再建構”的本質就是將相關知識點納入一個結構或框架中，使習得的知識結構化、能力結構化（結構性能力是指一種個體或組織的綜合能力、整合能力，并且是結構性的、體系性的綜合能力），其基本形式為一個教學環節的再建構、一課時的再建構、一個知識板塊的再建構、一個單元的再建構、一周時間內學習內容的再建構等（本課例屬于一個單元的再建構，即單元再建構）。不管哪種形式的再建構，都必須是與學生的學習基礎和自學能力同步，與學生的知識體系、認知結構相匹配，與學生思維能力和思維品質的提升相呼應，與學生的學習興趣和價值認同相吻合的。

最后，“學材再建構”必須從四個“順應”入手。一是必須順應知識本身的邏輯關系，如上文環節三中的幾處追問，引導學生自主研究、合作交流，這樣他們不僅掌握了配方法，而且自主建構了配方法與直接開平方法、公式法之間的邏輯聯系。二是必須順應學生原有的認知基礎。學習一元二次方程，必須要知道學生已有的認知基礎，引導學生在具體情境中自主建構一元二次方程的定義和一般形式等；根據學生解二元一次方程組的經驗，幫助學生自主探索解一元二次方程的思想方法和理論依據，建構4種解法的知識基礎及相互聯系。三是必須順應學生的“最近發展區”。根據學生已有的發展水平，引導學生利用知識和方法的遷移，自主猜想解一元二次方程的基本思路是變形轉化為“x＝a”的形式。從而促成了學生自主探究，以舊引新，盡可能達到潛在的發展水平。四是必須順應學生的學習興趣，激發參與、激活思維。當學生對學習發生興趣時，自然會主動想去學，從而逐漸學會，乃至會學；當學生會學時，自然會興趣盎然，學習興趣和積極性得到進一步激發。當然，如果通過努力，問題始終不能得到解決，興趣就不能保持，自主發展就沒有空間。

綜上，“學材再建構”的結果就是引導學生自主接納新認知并融入原有認知結構，在生生之間、師生之間深度交流激發火花，啟迪思維，形成共識，產生創新成果。這就要求教師要從整體上把握和架構教材，合理重組教材內容，關注數學知識內容和知識結構的完整性，考慮數學教學過程中教和學的方法的完整性，引領學生“在結構之中感受數學的整體性”，“讓學生所學的知識能夠實現結構化”，從而真正促進學生的數學氣質、素養和能力的整體提高。

［1］教育部.義務教育初中數學課程標準（2011 年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2011.

［2］李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］李庾南，陳育彬.中學數學新課程教學設計30例：學力是這樣發展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［4］李庾南，祁國斌.自學·議論·引導：涵育學生核心素養的重要范式［J］.課程·教材·教法，2017（09）.

［5］施俊進，徐小建.例談初中數學“學材再建構”的實施策略和原則［J］.數學教學通訊，2017（11）.

［6］施俊進.“學程單”：優化“學”的智慧選擇——以“多邊形的內角和”教學為例［J］.江蘇教育：中學教學，2017（02）.

［7］施俊進.初中數學“學材再建構”研究初探［J］.學校管理，2016（06）.