層流邊界層的直觀模型

孫澤輝

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層流邊界層的直觀模型

孫澤輝

（安徽大學 電氣工程與自動化學院，安徽 合肥 230601）

在流體力學中，邊界層的概念十分重要。首先用近似方法給出無限長邊界處速度擾動在半空間流體中的一維傳播定性規律，在此基礎上通過引入層流邊界層的直觀模型，僅通過運動學角度的幾何分析，給出了層流邊界層的形成及厚度演化過程的直觀描述，并總結了平板層流邊界層形成的物理及幾何條件。

邊界層；直觀模型；運動學分析

在流體力學中，邊界層不僅是重要的理論概念，其在工程應用中也十分重要[1]。只有深刻理解邊界層概念，才能理解關于邊界層的各種工程計算[2-5]，并能應用邊界層理論進行工程設計[6-7]。在闡述邊界層的概念和尺度特征時，通常教科書的做法是從Navier－Stokes方程出發，通過對方程中各項的無量綱化和量階分析，建立簡化的邊界層方程，然后進行偏微分方程的求解。然而，在進行繁瑣的方程簡化和求解的同時，卻缺乏對邊界層形成和厚度演化過程的直觀描述。

本文首先給出無限長平板板面處速度擾動在半空間流體中的一維傳播定性規律，在此基礎上建立平板層流邊界層的直觀模型，通過對任一流體面運動的討論，從運動學角度描述了平板層流邊界層形成的機制和厚度演化的定性規律，并總結了產生邊界層的物理及幾何條件。

1 無限長平板板面處速度擾動在半空間流體中的一維傳播規律

一塊水平放置的無限大平板，上半空間充滿粘性流體。流體和平板一起，以速度0在平板自身平面內沿軸方向運動，如圖1所示。在＝0時刻，平板突然靜止不動。由于粘性，板面處的流體流動會因平板的突然停止而受到阻滯，從而引起流體速度場的擾動，該速度場擾動將沿著方向傳播。下面分析流體速度場擾動傳播距離隨時間變化的定性規律。

圖1 無限長平板邊界區域流速分布示意圖

這其實是Stokes第一問題，通常作為求Navier－Stokes方程解析解的范例[8]。這里采用近似的反解法來給出問題的定性解答。根據邊界處流體的流動特征，假設在速度擾動傳播距離內，即≤，速度場沿方向的分布呈二次函數的形式，與速度梯度相對應的粘性力則呈線性分布；在速度場擾動傳播范圍的前端，即＝處，速度為自由流速0，粘性力為零；在＝0處，流體速度為零。因此可確定速度函數有以下形式：

式（1）中速度擾動傳播距離為待定參數，可以通過流體運動所遵循的動量定理求得。為此，在任一時刻，取高度范圍為該時刻速度擾動傳播范圍、底面為單位面積流固界面的柱狀流體單元來分析，其動量的大小為：

根據動量定理，有：

式中：、分別為流體密度和動力粘度；τ為流體單元所受到的單位面積板面的摩阻力。

結合式（1）～式（3），得：

這與精確解中所描述的定性規律一致。

2 平板層流速度邊界層的直觀模型

有了無限長平板板面處速度擾動在半空間流體中的一維傳播定性規律后，進一步構建平板層流邊界層的直觀模型。為此，將前面的無限長平板換成半無限長平板。半無限長平板板面與半空間流體的右半邊界接觸，兩者以速度0在平板自身平面內沿軸方向運動。在＝0時刻，板突然靜止不動，由于粘性，界面處的流體流動會受到阻滯，從而引起流體速度場的擾動，該擾動將沿著方向傳播。下面分析半無限長平板對流體速度場的擾動情況，如圖2所示。

圖2 半無限長平板邊界區域流速分布示意圖

在＝0時刻，取板前端處垂直于軸的流體面為研究對象，流體面以初速度0進入平板區域，并受到板面邊界的影響，使得流體面點處流體質點的速度變為零。

如此繼續下去。

通過以上分析可知，對進入平板區域的各流體平面，其上速度場擾動傳播的邊界由曲線12?構成，該曲線的參數方程為：

從式（5）式消去，可得自入口端邊界層厚度的定性演化規律為：

或者：

這里，通過一個流體面運動學的直觀討論，給出了平板層流速度邊界層的形成和邊界層厚度演化的定性規律。

當然，這一直觀模型是初等的、近似的，它沒有精確考慮質量和動量的守恒條件。可通過進一步引入邊界層位移厚度和邊界層動量厚度來進行補充說明。

另外，從直觀模型中還可以概括出平板層流速度邊界層形成的兩個條件為：

（1）物理條件：流體粘性，使得邊界對流速產生擾動，并使速度擾動沿邊界法向傳播；

（2）幾何條件：邊界前端的存在，使得在有限入口段，邊界對來流速度擾動的法向傳播被限制在有限時間/0內，從而其傳播距離被限制在()范圍內。

理論上，假設沒有邊界前端，這將成為有著無限長邊界的Stokes第一問題，在該問題中，無限長板面對流速的擾動將沿板面法向無限傳播下去，因而形成不了邊界層。實際中，所有的邊界都是有限的，存在有限遠的邊界前端。

3 結論

本文在半空間流體無限長邊界處速度擾動的一維傳播定性規律基礎上，建立了平板層流邊界層的直觀模型，通過運動學角度的討論，給出平板層流邊界層形成的原因、條件，以及邊界層厚度演化過程的直觀描述和定性規律。

[1]Schlichting H. Boundary Layer Theory[M]. New York：McGraw- Hill，1960.

[2]陳晗，任鵬，任永泉. 離心式風機邊界層流場計算[J]. 石油化工設備，2008，37（5）：51-52.

[3]吳文平，張曉宏，田嘉寧，李建中. 考慮重力及離心力的溢流壩反弧段紊流邊界層動量積分方程的數值計算[J]. 水動力學研究與進展（A輯），2007，22（1）：9-16.

[4]李建明，譚波，陳文梅. 流動結構對陶瓷管膜濾器過濾性能的影響[J]. 機械，2000，27（3）：14-18.

[5]張曉露，武衛，周章文，楊卓君. 螺旋槽管內傳熱及阻力特性的數值研究[J]. 機械，2014，41（2）：23-26.

[6]馬雷. 邊界層理論在低比轉速離心泵葉片設計中的應用[D]. 蘭州：蘭州理工大學，2005.

[7]韓紅彪，高善群，李濟順，張永振. 基于邊界層理論的盤形轉子流體阻力研究[J]. 機械科學與技術，2015，34（10）：1621-1625.

[8]Batchelor G. K. An introduction to fluid dynamics [M]. New York：Cambridge University Press，1967.

[8]陳輝，黃巧亮. 基于矢量控制的BLDCM新型滑模控制器[J].機電工程，2017，29（06）：79-82.

An Intuitive Model for Laminar Boundary Layer

SUN Zehui

( School of Electrical Engineering and Automation, Anhui University, Hefei 230601, China)

The concept of boundary layer is very important in fluid mechanics. In this paper, we first presented a qualitative solution of one-dimensional propagation of the velocity perturbation introduced at the infinite boundary of half-space fluid by an approximation method. Based on this qualitative solution, an intuitive model of the laminar boundary layer on a flat plate was introduced. In this intuitive model, the formation of the laminar boundary layer and its thickness evolution can be depicted by a simple geometric description of the kinematics of a fluid surface, and the physical and geometric conditions of the formation of the laminar boundary layer is also evident.

boundary layer；intuitive model；kinematic analysis

O35

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.05.005

1006－0316 (2018) 05－0019－03

2017－10－26

孫澤輝（1979－），男，安徽合肥人，博士，講師，主要研究方向為計算力學與計算傳熱學。