基于隨機有限元的農機變速箱體和軸的模態分析

毛丹丹，汪小志

(1.柳州職業技術學院 機電工程學院，廣西 柳州 545006；2.南昌工學院，南昌 330108；3.南昌大學，南昌 330031)

0 引言

利用傳統的方法對機械零部件進行有限元分析時，直接采用設定的參數進行有限元計算，得到固定條件下的應力應變和模態分析數據，對于機械裝置的可靠性分析具有一定的局限性[1-5]。如果通過實驗的方法來研究各種參數的影響，由于變速箱體的結構較為復雜，且不同結構的通用性不強，使得實驗的成本昂貴，而實驗結果還不具有通用性[6-7]。為了提高有限元仿真的可靠性，可以考慮使仿真模型的參數隨機變化，這就需要借助于隨機有限元方法。在ANSYS軟件分析中，Monte Carlo 是典型和常用的隨機有限元方法，將其使用在變速箱有限元模態分析中，可有效提高仿真的效率和計算的可靠性[8-11]。

1 農機變速箱和軸隨機有限元方法分析

大型農機的變速箱在使用過程中經常會在空腔連接區域發生斷裂，這是由于軸的變形和振蕩會引起箱體的疲勞破壞，因此對變速箱和軸展開模態分析是非常有必要的[12-16]。有限元分析是當前主要的機械零部件模態和可靠性分析軟件，但由于在虛擬仿真過程中，存在載荷、幾何變形和材料等數據參數的隨機性，于是引入了隨機有限元方法，其流程如圖1所示。

圖1 基于隨機有限元的變速箱模態分析Fig.1 Modal analysis of Gearbox Based on stochastic finite element method

由于在有限元仿真時，其計算的控制方程的荷載矩陣[F]、彈性矩陣[D]和幾何矩陣[D]等參數都可以是隨機變化的，這便使計算方程擁有了隨機性參數，也為有限元模態分析提供了更加可靠的基礎數據。在進行有限元仿真過程中，可以將矩陣變量的平均值和隨機波動值引入計算過程中，其表達式為

(1)

對于隨機系統，其分析方法有兩種：一種是統計學方法，一種是非統計學方法[17-20]。隨機有限元方法也可以分為基于統計學方法的有限元分析和基于非統計方法的有限元分析，為了充分保證材料、載荷和幾何變形等仿真參數的隨機性，本次選用基于非統計學方法的有限元分析方法[21]。

2 變速箱和軸類零件有限元網格劃分和分析原理

變速箱屬于復雜機械零部件結構，采用有限元分析方法，劃分網格時可以采用四面體網格；軸類零件屬于桿件零件[22-23]。有限元分析時，可以將其分為n個有限段，各段之間使用節點連接。每個四面體和每個有限段被稱作有限單元，組成的網格模型被稱作有限元模型，假設模型中的第i個有限單元的長度為i，包含了的節點為第i、i+1個，則單元的位移為

(2)

其中，ui為第i節點的位移；xi為第i節點的坐標。第i個單元的應變為εi，應力為σi，內力為Ni，則

(3)

(4)

(5)

圖2 有限元集中質量單元Fig.2 The lumped mass unit in finite element

對于第i+1節點，由力的平衡方程可得

(6)

(7)

根據約束條件，u1=0，對于第n+1個節點有

(8)

(9)

建立所有節點的力平衡方程，可以得到由n+1個方程構成的方程組，可解出n+1個未知的節點位移。

由于變速箱體的結構往往比較復雜，因此一般采用四面體網格對其進行網格劃分，如圖3所示。四面體單元是由4個節點組成的[24-25]。在進行實際模型計算時，需要將節點關聯，通過網格劃分最終得到的變速箱四面體網格如圖4所示。

圖3 有限元四面體單元Fig.3 The tetrahedron element in finite element

圖4 變速箱三維實體網格劃分Fig.4 Three dimensional solid meshing of gearbox

對于模型有限元模態分析可以采用彈性力學原理，建立變速箱節點之間的關系，從而確定有限元分析的一個近似的計算表達式。其中，最常用的是建立節點力和節點位移之間的關系，即

{F}e=[K]e{δ}e

(10)

由于實際計算是需要對整體的模型進行有限元分析，因此建立好各個單元之間的節點聯系后，通過建立外載荷和節點的關系，實現模型的整體分析，如圖5所示。

圖5 模型整體分析實例Fig.5 The model example of the whole analysis

在模型整體分析時，在模型的邊界處i節點上施加了集中力載荷，該節點和3個單元相關聯，采用隨機有限元方法可以在3個單元上隨機分配集中力載荷；以此類推，將集中力合理的分配給整體的每個單元體。

3 農機變速箱和軸有限元仿真模態分析

大型農機的變速箱結構一般采用鑄件結構，其材料為脆性材料，當外界荷載或者疲勞荷載超過最大的強度極限時，變速箱體會發送斷裂或者疲勞破壞[26-27]。因此，在有限元分析時，可以通過分析變速箱的應力分布，得到變速箱脆弱的部位。

圖6所示為變速箱體的應力分析結果。由圖6可以看出：變速箱體的應力主要集中在與軸的接觸部位，且其應力的大小同接觸軸的不同模態的大小有關，進一步對軸的模態分析展開研究，更有利于探索變速箱的整體力學性能。

圖7為正常變速箱軸的網格。為了提高有限元分析的準確性，采用了結構化六面體網格。為了驗證軸破壞后模態響應的變化對變速箱體的力學性能影響，人為設置了軸類的破壞形式，如圖8所示。

圖6 變速箱體應力分析結果Fig.6 The stress analysis results of gearbox

圖7 正常變速箱軸Fig.7 The axis of normal gear-box

圖8 破壞后的模型和網格Fig.8 The model and grid after the destruction

為了簡化分析，將破壞后的軸上增加了幾個小孔，增加孔后增加了軸的形狀復雜性，因此將結構的網格劃分為四面體結構，通過有限元仿真計算，得到了如表1所示的分析結果。

表1 破壞前后軸的模態分析

續表1

通過有限元分析對比了軸發生破壞前后的模態分析結果，通過對比發現：在不同階數時，軸發生破壞后其振幅明顯增大，而箱體的振幅也有所增大，因此在實際作業時，需要做好軸的監測工作，以避免對箱體產生破壞。

4 結論

為了實現重型農機變速箱的振動特性優化，將有限元方法引入到了變速箱的模態分析過程中，考慮材料、荷載和幾何變形的隨機性，引入了隨機有限元方法，從而提高了有限元仿真的可靠性。建立了變速箱和軸有限元分析的簡化力學模型，并由力和力矩的平衡方程推導了有限元分析的微分方程，利用UG建模和網格劃分軟件，分別建立了變速箱體和軸的三維模型，并劃分了網格。其中，變速箱體采用四面體網格，軸破壞前采用六面體網格，破壞后采用四面體網格。將有限元網格代入到ANSYS中，通過隨機有限元方法分析，最終得到了變速箱體和軸破壞前后的振動模態分析數據，為重型農機變速箱體的優化提供了數據參考。

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