二元函數不等式的證明方法

朱東海

(云南省蒙自市蒙自一中 661199)

在本刊2016年第34期中，我們談了一元函數不等式的證明方法，本文中我們來看如何證明二元函數不等式.

對于二元函數不等式的證明，首先考慮能不能轉化為一元不等式來證明.

一、變型后轉化為一元不等式的證明問題

1.利用函數的單調性變成同一函數的兩個函數(值)間的大小比較

(1)討論函數f(x)的單調性；

解(1)依題意f(x)的定義域為(0,+∞),

②若a-1<1,而a>1,故1

則當x∈(a-1,1)時，f′(x)<0;

當x∈(0,a-1)或x∈(1,+∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(a-1,1)單調減少，在(0,a-1),(1,+∞)單調增加.

③若a-1>1,即a>2,同理可得f(x)在(1,a-1)單調減少，在(0,1),(a-1,+∞)單調增加.

(2)由于當x1>x2>0時,

只需證明f(x)+x在(0,+∞)上是增函數.令函數

對于冪、指數形式的不等式，可以先取對數，再化為對數不等式來證明

例2 (山東省桓臺第二中學2015屆高三數學理21)設函數f(x)=x-a(x+1)ln(x+1) (a≥0).

(1)如果a=1，求函數f(x)的單調遞減區間；

(2)若函數f(x)在區間(-1,e-1)上單調遞增，求實數a的取值范圍；

(3)證明：當m>n>0時，(1+m)n<(1+n)m.

解(1)依題意f(x)的定義域為(-1,+∞)，f′(x)=1-aln(x+1)-a.

當a=1時，f′(x)=-ln(x+1)，令f′(x)<0得x>0，所以函數f(x)的單調遞減區間是(0,+∞).

由(1)知，當a=1時，函數f(x)=x-(1+x)ln(1+x)在區間(0,+∞)單調遞減，所以當x>0時，f(x)n>0時，g(m)

例1 (廣州市2015屆高三)已知函數f(x)=ax2-blnx在點(1,f(1))處的切線為y=1．

(1)求實數a，b的值；

(2)是否存在實數m，當x∈(0,1]時，函數g(x)=f(x)-x2+m(x-1)的最小值為0，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由；

解(1)f(x)=ax2-blnx，其定義域為(0,+∞)，

解得a=1,b=2.

(2)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2lnx,x∈(0,1]，

①當m≤0時，g′(x)<0，則g(x)在(0,1]上單調遞減，

∴g(x)min=g(1)=0.

∴g(x)min≠0.

綜上所述，存在m滿足題意，其取值范圍為(-∞,2].

(3)證明：

令g(x)=x-1-2lnx，由(2)知，當m=1時，g(x)=x-1-2lnx在(0,1)上單調遞減,

∴x∈(0,1)時，g(x)>g(1)=0, 即x-1>2lnx.

二、借助第三量

例1 (太原五中2014—2015學年度第二學期階段檢測高三數學(理))已知函數f(x)=lnx.

(2)若直線y=ax+b是曲線y=f(x)的切線，求ab的最大值；

(3)設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3，y3)是曲線y=f(x)上相異三點，其中0

三、用端點變量法構造函數

在某一個區間上證明不等式，若不等式涉及的兩變量就是區間的兩個端點，則把其中的一個端點視為自變量來構造函數.

例1 (2009年重慶沙坪壩區校級模擬)已知f(x)=ex-ln(x+1)-1(x≥0)，

(1)求函數f(x)的最小值；

(2)如果求0≤y≤x，求證： ex-y-1>ln(x+1)-ln(y+1).

若不等式涉及的兩個變量不是區間的兩個端點，同樣可以把其中一個視為自變量來構造函數.

(1)求實數a，b的值；

(2)若φ(x)=f(x)-g(x)，求證：當x∈(-1,+∞)時，φ(x)≤0恒成立；

(2)當a=0,b=1時，φ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,

φ(x)max=φ(0)=0，從而φ(x)≤0成立，故當x∈(-1,+∞)時，φ(x)≤0恒成立.

四、轉化為代數不等式來證明

例1 (貴州省八校聯盟2015屆高三第二次聯考數學理21)已知函數f(x)=lnx.

(1)求函數g(x)=f(x+1)-x的最大值；

五、轉化為最值之間的關系

1.|f(x1)-f(x2)|≤M?[f(x)]max-[f(x)]min≤M

(1)若存在x>0，使f(x)≤0成立，求實數m的取值范圍;

(2)設1

x(0,-m)-m(-m,+∞)f ′(x)-0+f(x)↘極小值↗

所以對?x>0，f(x)>0恒成立，則實數m的取值范圍是(-e，0]．

故?x>0，使f(x)≤0成立，實數m的取值范圍是(-∞，-e]∪(0，+∞)．

參考文獻：

[1]朱東海. f(x)≥ag(x)恒成立的一個充要條件[J].語數外學習,2012(06).

[2]朱東海.利用導數證明不等式時怎樣構造函數[J].語數外學習,2013(11).