對偶思想在中學數學的滲透

楊偉達

(廣東省廣州市花都區第二中學 510820)

眾所周知，數學和古詩詞一樣講究對偶.而這種“對偶”常常滲透到中學數學的各個領域，體現了數學的和諧、統一、對稱、簡潔. 它的美極大地吸引無數數學愛好者，去體驗數學的魅力，去感受到數學的樂趣. 因此，在解題教學中有意識滲透這種對偶思想，對培養和發展學生的創造性思維大有幫助.筆者就對偶思想的統一性、和諧性、對稱性逐一舉例說明，以饗讀者.

一、對偶思想的統一性

對偶思想的統一性體現了整個命題的完整性，導出了部分與整體、部分與部分的關系.它滲透到集合與映射、函數、二項式的排列組合、數列的倒序、立體幾何的倒放等.

例1 設(1-x+x2)50=a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100.求下列間隔為3的系數之和：

M1=a0+a4+a8+…+a96+a100；

M2=a1+a5+a9+…+a93+a97；

M3=a2+a6+a10+…+a94+a98；

M4=a3+a7+a11+…+a95+a99.

分析觀察各個系數之和的特點，發現系數很有規律，系數的下標是公差為4的等差數列.其中M1+M2+M3+M4為全部系數之和；M1+M3為偶數系數之和；M2+M4為奇數系數之和.由此可見，求系數之和常常采用賦值法.不妨賦值為1，-1，i，-i即可.

解對上述二項式x的分別為1，-1，i，-i代入得：

a0+a1+a2+a3+…+a99+a100=1 (1)

a0-a1+a2-a3+…-a99+a100=350(2)

a0+a1i-a2-a3i+…-a99i+a100=-1 (3)

a0-a1i-a2+a3i+…+a99i+a100=-1 (4)

根據各系數的特點，聯立(1)，(2)，(3)，(4)方程

a0-a2+a4+…-a98+a100=-1, (7)

a1-a3+a5+…+a97-a99=0. (8)

再分別將方程(5)，(6)，(7)，(8)聯立,

分析在所給數值中發現兩兩互為倒數，故不妨從倒數變換入手.

二、對偶思想的和諧性

對偶思想的和諧性：關鍵在于一個與之對應的有效式子，雙雙參與運算.體現在函數(如：af(x)+bg(x)=?或af(x)-bg(x)=?)、三角函數、解幾、方程、復數的共軛化等.

例3 求x=cos20°cos40°cos80°的值.

分析此題涉及三角化簡求值.觀察題設的條件是以乘積的形式出現，且角度成2倍關系，不難想象到用二倍角公式處理.因此需要“補形還原”即可.

解除常規的積化和差外，還可以用對偶化,

再利用sin2α=2sinαcosα得：

xy=cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80°

分析此題涉及解析幾何的常規題型.因已知出現左右焦點，不難想象用概念定義，通過聯立方程組即可求解.

兩式相減可得(A+B)(A-B)=4cx，

解得A=a+ex，即|MF1|=a+ex.

分析一般情況不妨設Z=a+bi，Z=a+bi(a,b∈R),代入后利用復數相等的條件，可求a,b的值.除常規的代入法外，可采用復數共軛化列出方程組，避開了復數的代數式，直接變為復系數的一元二次方程即可求解.

解將復數方程共軛化：

代入原方程可化為一元二次方程,即

Z2+(2-3i)Z+(1-3i)=0.

Δ=(2-3i)2-4×1×(1-3i)=-9,

所以原方程的解為

三、對偶思想的對稱性

對偶思想的對稱性表現在命題本身具有對稱性，從而使命題簡單化.如函數、立幾、解幾等.形如圓、球，長(正)方形、長(正)方體等圖形都可以通過它們的中心找到其特性(對稱性)，從而快速、巧妙地解決了與之相關的數學問題.

例6 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A1B1、CD的中點，求直線AB與平面AEC1F所成角的正切值.

分析按常規思路，學生總是通過B點作平面AEC1F的垂線BH，H為垂足，然后再證明在正方體的對角線AC1上.我們若注意到正方體中諸多的對稱性，就不難發現面ABB1E與面ABCF是關于面ABC1D1對稱的，E、F是關于AC1對稱的，從而B在面AEC1F內的射影H必須在AC1上，故找到直線AB與平面AEC1F所成角為∠BAC1.

在Rt△BAC1中即可求得∠BAC1的正切值.

例7 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AB的中點為P，若光線從點P出發，依次經三個側面BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1反射后，落到側面ABB1A1內(不包括邊界)，則入射光線PQ與側面BCC1B1所成角的正切值的范圍是____．

分析本題涉及光線鏡面反射問題.解決此問題其實是數學上的對稱問題.可以先從直線的反射說起，然后把面對稱過去，最后成了一條直線.不妨通過補形轉化為求兩點間的距離最小，再利用極限思想即可將問題解決.

在解題教學中，筆者認為能夠有意識地提及對偶思想，對激發學生的思維，選用合理簡捷的解法，可以節省時間和精力，還可以化難為易，化繁為簡,對提高學生的興趣，培養和發展的創造性思維，從而實現素質教育.

參考文獻：

[1]李成友.感悟對偶思想拓展教學空間[J].數學通訊,2012(05).

[2]韓毅.對偶思想在解題中的應用[J].數學教學通訊,1993(03).