數學不等式在物理解題中的應用

繆志興 李德安

(云南省曲靖市第一中學 655000)

物理和數學是在高中階段聯系最為緊密的兩個基礎學科.在物理的教學中，我們不僅常常利益于數學中嚴密推理的邏輯思維力量，而且還需要運用各種數學方法進行分析、推演得出最終的結果.如果在物理學習中，可以根據相關的原理建立方程，卻不能運用數學方法求解，依然于事無補、功虧一簣！物理核心素養的提出也要求老師能夠應用科學思維引導學生進行科學探究，數學工具的引入會讓學生體會到物理的嚴謹、數學的實用、自然學科的互通，有利于學生的終身學習.筆者將結合自身教學中遇到的物理問題與數學不等式知識的結合作例舉.

一、利用基本不等式分析物理量的變化

例1 (全國競賽)圖1中M1和M2是絕熱氣缸中的兩個活塞，用輕質剛性細桿連結，活塞與氣缸壁的接觸是光滑的、不漏氣的，M1是導熱的，M2是絕熱的，且M2的橫截面積是M1的2倍.M1、M2把一定質量的氣體封閉在氣缸的L1、L2兩部分.M2的右側為大氣，大氣的壓強P0是恒定的.K是加熱L2中氣體用的電熱絲.初始時，兩個活塞和氣體都處在平衡狀態.現通過K對氣體緩慢加熱一段時間后停止加熱，讓氣體重新達到平衡態，這時，活塞未被氣缸壁擋住.加熱后與加熱前比，L1和L2中氣體的壓強是增大了、減小了還是未變?要求進行定量論證.

解析用n1和n2分別表示L1和L2中氣體的摩爾數，P1、P2和V1、V2分別表示L1和L2中氣體處在平衡態時的壓強和體積，T表示氣體的溫度(因為M1是導熱的，兩部分氣體的溫度相等，由理想氣體狀態方程得:P1V1=nRT①P2V2=nRT②

式中R為普適氣體常量；設M1的橫截面積S，若以兩個活塞和輕桿構成的系統為研究對象，處在平衡狀態時有:

P1S-P2S+P22S-P02S=0 ③

由③計算得出:P1+P2=2P0④

設加熱后，L1中氣體體積的增加量為ΔV1，L2中氣體體積的增加量為ΔV2，因連結兩活塞的桿是剛性的，活塞M1的橫截面積是M2的2倍，故有:ΔV1=ΔV2=ΔV加熱后，L1和L2中氣體的體積都是增大的，即ΔV>0.

至此，標準答案給出的解析是類比⑤式，求出末態L1中的壓強，通過作差的方法比較出L1中的壓強變化，這樣的方法計算量大，計算過程中易出錯.此題其實可以借鑒數學中不等式的想法，輕松得到結論.

利用不等式比較兩個物理量的大小，是物理學中非常普遍的問題.這是不等式最基本的應用，也是不等式在物理學中的典型表現，對于這樣的比較往往不需要定量的計算，只需要通過定性或者半定量的分析就可以確定了，所以解題方法比較靈活，很值得體會.

二、利用一元二次方程判別式判斷物理量的條件

例2 火車甲以速度v1勻速行駛，司機發現前方同軌道上相距s處有另一火車乙沿同方向以速度v2(對地且v1>v2) 做勻速直線運動.司機立即以加速度a緊急剎車.要使兩車不相撞，a應滿足什么條件？

三、利用均值不等式求物理量的極值

例3 (云南省統測改編)兩個等量同號電荷+Q相距2r，其連線中點為O，連線的中垂線從點延伸至處，設一個異號檢驗電荷-q，從遠處沿該中垂線向O點靠攏，問這個電荷-q在什么位置所受庫侖力最大?最大值為多少?

解析如圖2所示，以夾角x為自變量，設-q電荷在某位置P點，所受庫侖引力為：

至此物理模型已經構建成功，許多學生在這里無法下手的原因是不能夠聯系到相關的數學方法，找不到試題的突破口；在此，筆者利用不等式求解令學生耳目一新：

四、利用不等式方程組求解物理量范圍

各學科有各學科的核心素養.在培養提升各學科核心素養的過程中，絕不能忽視主角兒——學生.而作為個體的學生，其綜合素養的提升，是建立在各學科核心素養上的，更是建立在打破學科束縛，整合關鍵素養上.從而，借助某一學科的知識去解決另一學科的問題，這是提升學生核心素養的有效途徑.

參考文獻：

[1]王溢然.中學物理數學方法講座[M].合肥：中國科學技術大學出版社,2017(5).

[2]汪飛.應用均值不等式23解極值題[J].物理教學，2013(5)：54.