培養(yǎng)“以形助數(shù)”思想意識 開拓數(shù)學解題視野

許偉湘

(福建省漳州市詔安一中 363500)

一、利用數(shù)形結合的方法，巧用兩點間的距離求最值問題

圖1

其幾何意義是點P(x，0)到點A(1，-2)與點B(2，3)的距離之和的最小值.顯然點P在AB上時y取最小值|AB|.

分析由于f(x)的解析式中含有兩個根號，根號內部都是x的二次式，以中學的代數(shù)方法很難求出它的最大值，但如果巧妙用兩點間的距離公式的方法，那么問題就簡單了.

圖2

二、利用數(shù)形結合的方法，構成直線斜率問題解題

圖3

分析單純從代數(shù)角度考慮，當x使f(x)的解析式的分子取最大(小)值時，分母并不是最小(大)值，所以利用sinx和cosx的有界性，難以求得f(x)的最大(小)值，若A(cosx,sinx)，B(2，2)，f(x)就是AB的斜率，而A(cosx,sinx)在單位圓上，這樣就很容易求解.

設經過點P(2，2)，斜率為k的直線l：y-2=k(x-2)與 圓x2+y2=1相切，切點為M1和M2.則函數(shù)最值轉化為斜率的最值.

圖4

設直線方程為y=kx.

三、利用數(shù)形結合的方法，解決數(shù)列問題

利用數(shù)列的一些相關性質，往往可以把數(shù)列問題構造為一次函數(shù)來解題.

例5 設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求公比q.

解根據題意知q≠1，由于點(q3,S3)、(q6,S6)、(q9,S9)共線，

即q3(S3-S9)=(1+q3)(S6-S9) (*).

由已知S3-S9=2S9， ∴S3-S9=S9-S6，

四、利用數(shù)形結合的方法，解決方程的根(函數(shù)的零點)的個數(shù)問題

(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍;

(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.

分析：函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法:

(1)直接求零點:令f(x)=0,如果能求解,則有幾個解就有幾個零點;

(2)零點存在性定理:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0, 還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性等)才能確定函數(shù)有多少個零點;

(3)利用圖象交點的個數(shù):畫出兩個函數(shù)的圖象,看其交點的個數(shù),有幾個交點就有幾個不同的零點.

即m的取值范圍為[2e,+∞).

可知若使g(x)=m有零點,則只需m≥2e.

即m的取值范圍為[2e,+∞).

(2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,

即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點,

∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,

圖5 圖16

∴其圖象的對稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2.

故當m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時,g(x)與f(x)有兩個交點,即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.

∴m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞).

五、利用數(shù)形結合的方法， 研究方程、曲線、函數(shù)、不等式中參數(shù)問題

諸多的關于方程或不等式的問題，往往可以轉化為方程與不等式的函數(shù)圖象關系來解決.

例7 設二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的兩根x1,x2滿足0

圖1

分析構造二次函數(shù)y=7x2-(a+13)x+a2-a-2，根據二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的兩根取值范圍，來確定拋物線y=7x2-(a+13)x+a2-a-2與x軸的交點的橫坐標的變化區(qū)域及縱坐標的情況.

解設y=7x2-(a+13)x+a2-a-2,作出此函數(shù)的大致圖象(如圖).

∵0

解此不等式組得：-2

例8 求函數(shù)y=|sinx|+sin|x|的最值.

解分別作出函數(shù)y=|sinx|(如圖1)和y=sin|x|(如圖2)的圖象，二者疊加得圖3，圖3即是y=|sinx|+sin|x|的圖象，由圖3，知ymin=0,ymax=2.

需要特別注意的是，應用圖象分析法，除了要對基礎知識深刻理解外，還應該對圖象及其變化趨勢有準確的把握.否則出現(xiàn)錯誤就在所難免.

六、利用數(shù)形結合，構造立體圖形解題

有些代數(shù)問題，其幾何意義不是一眼就看出來的，則需要靈活運用已學過的數(shù)學知識，進行適當?shù)淖冃魏颓擅顦嬒耄惯@個代數(shù)表達式具有幾何意義.

例9 已知正實數(shù)a、b、c、d滿足a2+b2+c2=d2.

分析由已知a2+b2+c2=d2容易聯(lián)系到長方體的對角線定理，不妨構造一個三棱分別為a、b、c的長方體，則對角線長為d.根據三角形兩邊之和大于第三邊的結論，命題就可得證.

在數(shù)形結合教學中，通過各種例子，培養(yǎng)學生思維的靈活性，不斷地提高巧妙的運用數(shù)形結合知識的能力.有的“數(shù)”其幾何意義不是一眼就看出的，就需要靈活運用已學過的知識，進行適當?shù)淖冃魏颓擅顦嬎迹埂皵?shù)”有幾何意義，要重視數(shù)形結合訓練，這對于學生分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)和提高具有重要的意義，對于發(fā)展和培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和一題多解能力有重要作用.

當然，上面所舉的例子只是眾多題型的一小部分，其分析問題、解決問題的能力還需同學們在解題中多摸索和多訓練.

參考文獻：

[1]鄭金洲.基于新課程的課堂教學改革[M].福州：福建教育出版社，2003.