充分挖掘和利用圓的隱性功能

馮 寅

(浙江省湖州中學 313000)

圓是高中階段學習的曲線中比較基本的一種，我們更多的是研究圓和直線、圓和圓之間的關系，對圓本身的特點和性質重視不夠.其實圓隱含著一些特殊的性質和特點，這些性質和特點并沒有引起我們的足夠關注，如圓的方程形式的特點、圓的有界性的作用，圓的幾何性質等等，它可以在解決和圓相關的問題時發揮特殊的作用.

一、圓的形式功能

圓的方程具有特殊的形式，它是滿足一定條件的二元二次方程.在我們遇到的許多問題中都會出現二元二次方程的形式，如果我們能夠聯想圓的方程的形式，利用方程形式的特點來轉化問題，會使問題找到新的思路.

對已知條件變形，我們得到：

它就是圓的標準方程的形式，通過三角代換得：

又(1)式可變為

那么，由(3)-(1)得：

因此，f(0)+f(2017)=f(0)+f(1),

分析記單位向量a,b的夾角為θ，由|ax+by|=1得：x2+y2+2xycosθ=1，

即(x+ycosθ)2+(ysinθ)2=1,這就是圓的標準方程的形式.

整理得64cos2θ-60cosθ+11≤0，

感悟圓的方程主要有標準方程和一般方程，標準方程更能體現圓的特點和性質，所以當我們遇到二元二次方程時，我們就可以考慮通過配方，整理成圓標準方程的形式，然后利用三角代換，把所要解決的問題轉化為三角函數的問題，充分利用三角函數的性質來加以解決.

二、圓的有界功能

圓是封閉的曲線，所以和圓相關的很多元素都是有界的，如圓的弦長、圓方程的坐標等等，若利用這些有界的性質就能很好地解決一些問題.

問題3 已知實數a,b,c，那么下列結論正確的是( ).

A.|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2≤100

B.|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2≤100

C.|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2≤100

D.|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2≤100

分析本題首先要正確理解題意，從每個選擇支的結構可以看出，問題的核心是哪個條件能保證a,b,c是有界的.我們從絕對值的概念來加以分析思考.

又|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1表示，a2+b到-c的距離與a+b2到c的距離之和小于1.因為a,b都有界，則a2+b,a+b2都有界，那么c也有界，因此a2+b2+c2有界.選D.

感悟圓的弦長的變化，是圓的圖形封閉性的最好體現，我們經常把一些和線段的取值范圍有關的的問題，轉化為圓的弦長的問題，或者是圓外一點到圓上一點的距離等問題，然后可以利用過圓心的弦的特點來解決.

三、圓的角度功能

圓有許多的幾何性質，其中有關角度的一些性質具有一定的特殊性，如直徑和圓周角，圓周角和圓心角等等的關系，合理地應用這些關系，也可以開闊我們的思路，為我們解決問題提供幫助.

問題5 已知平面向量a,b(a≠0,a≠b)滿足|b|=1，且a與b-a的夾角為120°，則|a|的取值范圍是____.

由題意可知：在△OAB中，|OB|=1且∠A=60°，滿足這樣條件的三點一定在一個確定的圓上.

分析這看似一個向量的問題，其實包含了許多圓的元素，充分挖掘這些元素是解決這個問題的關鍵.

感悟圓的幾何性質中有關角度的問題較為隱蔽，其中直角是最為特殊的情況，定弦對定角的形式也多見，而且圓的性質往往還和向量緊密聯系在一起，向量的模和圓的半徑，向量的夾角和圓周角等等常見的聯系，會讓我們有更多更廣的聯想空間.

我們學習圓更多的是關注圓自身的變化，其實圓有許多隱含的特點，我們若能挖掘和利用好圓的隱性功能，一定能使我們的問題解決錦上添花.

參考文獻：

[1]顧長清.挖掘隱性圓尋求優美解[J].高中數學教與學，2015(3).