對一道高中數(shù)學(xué)課本例題的再探究

董 強(qiáng)

(甘肅省西和縣第一中學(xué) 742100)

一、例題再現(xiàn)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版選修1-1第35和48頁分別有如下的一道例題和一個探究性的問題.

二、結(jié)果剖析

變式3：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

變式4：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

三、本質(zhì)探究

隨后筆者積極引導(dǎo)學(xué)生觀察討論，并鼓勵學(xué)生結(jié)合上面的四個變式和課本的例題、探究，大膽進(jìn)行了以下的猜想：

分析1：當(dāng)λ∈(0,1)時，它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點(diǎn)A,B)；

分析2：當(dāng)λ∈(1,+)時，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點(diǎn)A,B)；

分析3：當(dāng)λ=1時，它表示圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓(除去圓與x軸的兩交點(diǎn)A,B).

分析它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去x軸上的兩頂點(diǎn)A,B).特別地，當(dāng)λ=1時，表示等軸雙曲線.

評注這實(shí)際上給學(xué)生展示了圓、橢圓和雙曲線的另一種生成方式，即一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)連線的斜率之積是一個常數(shù)t時，該動點(diǎn)的軌跡就是圓、橢圓或者雙曲線(除已知的兩個定點(diǎn))，當(dāng)t=-1時，軌跡是圓；當(dāng)t為一個不等于-1的負(fù)常數(shù)時，軌跡是橢圓；當(dāng)t為一個正常數(shù)時，軌跡是雙曲線.

分析當(dāng)m<0時，即為猜想1，當(dāng)m>0時，即為猜想2.

猜想的證明和變式1的證明過程完全相同，讀者可以自證.進(jìn)一步地，以上各個猜想的逆命題也是成立的.即有如下的結(jié)論：

特別地，在等軸雙曲線x2-y2=±a2中，M是雙曲線一點(diǎn)，則直線AM,BM斜率之積為1.

結(jié)論5：在圓x2+y2=a2中，M是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0)，(a,0).則直線AM,BM的斜率之積是-1.

評注結(jié)論5的本質(zhì)是“直徑所對的圓周角是直角”的另一表述.

以上各個結(jié)論可以合并為如下的定理.

四、高考鏈接

(1)求雙曲線的離心率；

(2)略.

例2 (2012四川文21)動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0)，B(1,0)構(gòu)成△MAB，且直線MA，MB的斜率之積為4，設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)略.

五、教學(xué)反思

課本是教師和學(xué)生的第一手資料，是每位教師和學(xué)生不可或缺的重要資源，充分挖掘課本中相關(guān)知識點(diǎn)和試題解答過程，往往對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力有較大的提升.課本中的一些例題和課后練習(xí)題等，大都包含著重要的數(shù)學(xué)方法，一些題目的結(jié)果本身就是重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，在平時的復(fù)習(xí)過程中，如能充分重視課本中的這些常見的結(jié)論，并適當(dāng)?shù)丶右员举|(zhì)的探究推廣，往往會對解題帶來極大的幫助.

參考文獻(xiàn)：

[1]任志鴻.志鴻優(yōu)化十年高考分類解析與應(yīng)試策略[M].海口：南方出版社，2015.

[2]課程教材研究所.數(shù)學(xué)選修1-1[M].北京：人民教育出版社，2011.

[3]課程教材研究所.教師教學(xué)用書選修1-1[M].北京：人民教育出版社，2011.