解壓軸題：特值代入 減少討論

許銀伙,楊蒼洲

(1.福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 362000;2.福建省泉州第五中學(xué) 362000)

壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)求參數(shù)范圍或最值問(wèn)題，解決它們需要分類或分段討論，需要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和繁雜計(jì)算，運(yùn)用多種知識(shí)和方法才可達(dá)到目的．本篇介紹一種有效方法：特值代入 ，壓縮參數(shù)范圍，減少討論，降低解題難度．特值經(jīng)常為區(qū)間端點(diǎn)，三角函數(shù)圖象關(guān)鍵點(diǎn)，遇到logax時(shí)取x=1，遇到ax時(shí)取x=0等．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)任意的x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析與解(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]，單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞);

當(dāng)0

當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)遞增；

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]和[a,+∞)，遞減區(qū)間為[1,a]．

當(dāng)a≤0時(shí)，x∈(0,1)，f′(x)<0,f(x) 遞減，x∈(1,+∞)，f′(x)>0,f(x)遞增．

f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)任意的x恒成立等價(jià)于f(x)min≥0，

方法二(分離參數(shù)法)

方法三當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閤>0且x→0時(shí)，lnx→-∞，可得此時(shí)f(x)→-∞，不符．

反思與評(píng)注1.本題問(wèn)題(2)的方法一是網(wǎng)絡(luò)搜索的解法，它雖然關(guān)注特殊值x=1代人，但并沒(méi)有利用它盡量壓縮參數(shù)范圍的思想，只是普通的分段討論.

方法二分離參數(shù)法是求參數(shù)范圍的通用方法.

方法三關(guān)注區(qū)間端點(diǎn)的作用，體現(xiàn)的也是普通的分段討論.

2.函數(shù)f(x)中含有l(wèi)nx，通常考慮取特殊值x=1代入．

例題2 (2017福建四地六校聯(lián)考)已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=alnx+x2-4x.

(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x=1處取得極值？證明你的結(jié)論；

分析與解(1)不存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x=1處取得極值．

(2)方法一分離參數(shù)法

當(dāng)x∈(1,e)時(shí)，G′(x)>0，G(x)單調(diào)遞增.

所以G(x)min=G(1)=-1．

由題意得：a≥G(x)min=-1，則所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞)．

(1)由F(1)≥0，即a+1≥0得a≥-1．

當(dāng)x∈(1,e]時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減．

此時(shí)F(x)max=F(1)=a+1<0，

綜上得：所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞)．

反思與評(píng)注1.本題問(wèn)題(2)的方法一是網(wǎng)絡(luò)搜索的解法，運(yùn)用的是常用的分離參數(shù)法是求參數(shù)范圍；方法二利用特殊值x=1代入，壓縮了參數(shù)的探索范圍，減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化了解答過(guò)程．

(1)當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[e,e2]上的最大值；

分析與解(1)當(dāng)a=-2，函數(shù)f(x)最大值為f(e2)=e2-2．

(2)方法一(由手機(jī)百度的解答思路整理)

(1)當(dāng)x≥e時(shí)，f′(x)>0恒成立，f(x)在x∈[e,+∞)單調(diào)遞增，f(x)min=f(e)=e2．

綜上，當(dāng)a>0，x∈[1,+∞)時(shí)，

綜上得：所求a的取值范圍為(0,2]．

例題4 已知函數(shù)f(x)=(bx-1)ex+a(a,b∈R)．

(1)如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x，求a,b的值；

(2)若a<1,b=2，關(guān)于x的不等式f(x)

分析與解(1)a=1，b=2．

則f′(x)>0對(duì)x>1恒成立，F(xiàn)(x)在區(qū)間[1,+∞)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)≥F(1)=e>0；

反思與評(píng)注本題問(wèn)題(2)實(shí)質(zhì)是2015年全國(guó)卷理科第12題，針對(duì)函數(shù)F(x)含有ex的特點(diǎn)，取特殊值x=0代入嘗試得F(0)<0，則由題意得F(1)≥0且F(-1)≥0，壓縮了參數(shù)a的探索范圍,關(guān)注問(wèn)題的離散性，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．

(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，求b，c的值；

(2)若b=1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

反思與評(píng)注

1. 問(wèn)題(3)的解決，先取區(qū)間端點(diǎn)代人，壓縮探索范圍．

參考文獻(xiàn)：

[1]許銀伙．投石問(wèn)路，巧解難題[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2011(12)：30-32．

[2]謝小平．證明函數(shù)與不等式綜合題的策略探究[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2015：12-16．