活用教材 解密高考

沈海全

(浙江省紹興市越州中學 312000)

一、教材習題呈現

普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-2·A版》(人民教育出版社，2007年1月第二版)第32頁習題1.3.B第1(3)題：利用函數的單調性，證明不等式ex>1+x,x≠0，并通過函數圖象直觀驗證.

這個不等式的證明非常容易，只要構造函數f(x)=ex-x-1，由f′(x)=ex-1知，當x>0時，f′(x)>0，當x<0時，f′(x)<0，則f(x)≥f(x)min=f(0)=0，即ex>1+x,x≠0.

二、教材習題拓展

下面根據結論：ex≥1+x(x∈R) ①進行拓展變形得到以下重要結論，

根據指數式和對數式互化，可得

ex≥1+x?x≥ln(1+x)(x>-1)③,

注：上述不等式當且僅當x=0等號成立.

三、高考真題鏈接

下面利用以上結論解決高考試題.

評注本題是教材習題的直接體現，比較大小則是不等式的應用.

(1)討論函數f(x)的單調性；

由⑥得,x∈[1,2]時，lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立.

只需證3x3-6x2-2x+4<0，只需證(3x2-2)(x-2)<0.

評注利用教材習題的結論.問題轉化為多項式不等式恒成立問題，直接揭示問題背景，巧妙得解.

解(1)利用數學歸納法和反證法可證得，具體過程略.

所以當n≥2時,

評注本題第二小題利用教材習題的結論問題變得簡單，避開了構造函數的解題策略.

例4 (2017高考全國卷(Ⅲ)第21題)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

綜上所述，a=1.

評注利用教材習題的結論第一小題解法顯得非常巧妙，無需研究函數性質，給人耳目一新的感覺.

從根本上講，高考試題是萬變不離其宗的，再復雜的問題也是從課本知識點、能力考查點衍生而來. 因此，我們要切實做到重視課本，但僅此還不夠. 因為高考命題還要由知識立意向能力立意轉變. 有些問題，特別是有深刻背景的問題，要在課本的基礎上有所變化，有所“拔高”. 當然又不能高到“高處不勝寒”的境界.

參考文獻：

[1]浙江省教育廳.浙江省新高考學科教學指導意見[Z].杭州：浙江教育出版社，2014.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書(數學選修2-2)[M]. 北京：人民教育出版社，2008.