無失效數(shù)據(jù)的Weibull分布小子樣壽命評(píng)估模型

趙 遠(yuǎn)，楊 琳

（1.中國電子科技集團(tuán)公司第二十研究所， 陜西 西安710068；2.蘭州理工大學(xué)， 甘肅 蘭州 730050）

引言

如何高效地驗(yàn)證航天產(chǎn)品高可靠壽命已成為目前迫切需要解決的工程問題。傳統(tǒng)的處理定時(shí)截尾數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法已經(jīng)不難滿足工程需求[1-3]。國內(nèi)外的專家們都對(duì)無失效數(shù)據(jù)問題展開了研究[4，5]。傅惠民等[2]提出了一種Weibull分布定時(shí)無失效數(shù)據(jù)可靠性分析方法，在形狀參數(shù)下限已知的情況下，給出了可靠度和使用壽命的單側(cè)置信下限。張勇波等[6]提出了一種Weibull分布定時(shí)無失效數(shù)據(jù)疲勞壽命分散系數(shù)修正方法，從疲勞分散系數(shù)的定義出發(fā)，分別對(duì)無失效數(shù)據(jù)情形下基于平均壽命、特征壽命等疲勞壽命分散系數(shù)進(jìn)行了修正。在對(duì)產(chǎn)品某些特定時(shí)刻的可靠度具有較多的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，多名專家提出了基Bayes理論的無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析評(píng)價(jià)方法[7-8]。

針對(duì)上述可靠度驗(yàn)證的迫切工程問題，本文開展無失效數(shù)據(jù)的Weibull分布小子樣壽命驗(yàn)證模型研究。通過該模型能夠確定Weibull分布函數(shù)的形狀參數(shù)估計(jì)區(qū)間，并且，進(jìn)一步得到了產(chǎn)品使用壽命和可靠度的單側(cè)置信下限。最后，以某型產(chǎn)品的可靠壽命驗(yàn)證試驗(yàn)為例，應(yīng)用該評(píng)估模型，給出了后續(xù)試驗(yàn)方案，驗(yàn)證了其工程實(shí)用性和有效性。

1 無失效數(shù)據(jù)的壽命驗(yàn)證模型

1.1 驗(yàn)證模型原理

無失效數(shù)據(jù)的壽命驗(yàn)證模型原理如圖1所示。結(jié)合壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)Weibull分布的形狀參數(shù)m進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。通過引入特征壽命的相對(duì)差值和特征壽命變化量的相對(duì)差值，來確定m的區(qū)間范圍。分別確定一定置信水平下的給定可靠度R(t)的最優(yōu)置信下限壽命。討論不同試驗(yàn)子樣下，需繼續(xù)試驗(yàn)時(shí)間，以選擇最優(yōu)的試驗(yàn)方案來驗(yàn)證產(chǎn)品的可靠壽命。

圖1 無失效數(shù)據(jù)的壽命驗(yàn)證模型原理

1.2 無失效數(shù)據(jù)的壽命驗(yàn)證流程

1.2.1 形狀參數(shù)估計(jì)有n個(gè)產(chǎn)品，試驗(yàn)時(shí)間為t1≤t2≤…≤tn時(shí)未發(fā)生故障，其壽命分布函數(shù)為

其中，m為形狀參數(shù)，η為特征壽命。通過指數(shù)變換，得到威布爾分布的特征壽命η在1-α置信水平下的單側(cè)置信下限為：

引入特征壽命的相對(duì)差值和特征壽命變化量的相對(duì)差值來確定m的上下限。

特征壽命的相對(duì)差值為：反映了不同形狀參數(shù)下的特征壽命與最長(zhǎng)無失效數(shù)據(jù)的相對(duì)差值，通過設(shè)定可接收的特征壽命與最長(zhǎng)無失效數(shù)據(jù)的相對(duì)差值范圍，即Δ(m)≤0.3，能夠確定形狀參數(shù)m的下限。

特征壽命變化量的相對(duì)差值為：

反映了不同形狀參數(shù)下的特征壽命變化量的相對(duì)差值，設(shè)定可接受的特征壽命變化量的相對(duì)差值范圍，ΔηL＜0.01，不同的形狀參數(shù) m1和 m2下，特征壽命的變化量相對(duì)于試驗(yàn)數(shù)據(jù)已非常小，m取m1到m2（甚至更大）之間，對(duì)特征壽命的預(yù)估影響很小。能夠確定形狀參數(shù)m的上限。

通過上述確定的m范圍，分別討論可靠度R（t）的最優(yōu)置信下限和可靠壽命tR的最優(yōu)置信下限：

1.2.2 可靠壽命驗(yàn)證試驗(yàn)分析

通過文獻(xiàn)[1]可知，

式中而由 m'下述方程得到，其中，ti為試驗(yàn)得到的無失效數(shù)據(jù)，t為已知給定的工作時(shí)間（次數(shù)）。

若（5）式的解為 m*，當(dāng) m*＜m1時(shí)，取 m'=m1；當(dāng) m*＞m2時(shí)，取 m'=m2；當(dāng) m1≤m*≤m2時(shí)，取 m'=m*。若（5）式無解，當(dāng) t＞tn時(shí)，取 m'=m2；當(dāng) t＜t*時(shí)，取 m'=m1。因此，在m1≤m≤m2的無失效數(shù)據(jù)情形下，可靠度R（t）在置信水平1-α的最優(yōu)置信下限為

式中為（5）式的根。

在給定壽命T及其可靠度R0下，在原有試驗(yàn)時(shí)間的基礎(chǔ)上，假定持續(xù)進(jìn)行x時(shí)間（次數(shù)）的試驗(yàn)。從而得到無失效數(shù)據(jù)變?yōu)閠i+x，通過公式（6）能夠使到：

進(jìn)一步，通過（7）式，能夠得到不同樣本量k（k=1,…,n）下，的繼續(xù)試驗(yàn)時(shí)間，在結(jié)合試驗(yàn)成本、進(jìn)度要求，選擇最有利的試驗(yàn)方案，來驗(yàn)證產(chǎn)品的可靠壽命。

2 實(shí)例

以某型產(chǎn)品0.8置信水平下，5 500次點(diǎn)火的可靠度置信下限為0.98的驗(yàn)證過程為例，來說明該驗(yàn)證模型的工程有效性和可行性，該產(chǎn)品點(diǎn)火試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 試驗(yàn)結(jié)果

2.1 壽命評(píng)估

1）確定m的下限值。將4組數(shù)據(jù)代人到公式（2）中，在80%置信水平下，分別計(jì)算了11個(gè)形狀參數(shù)所得到的特征壽命和相對(duì)差值，如表2所示。通過特征壽命與最大點(diǎn)火次數(shù)的相對(duì)差值，Δ(m)≤0.3，確定m的下限為3。

2）確定m的上限值。進(jìn)一步得到了形狀參數(shù)m與特征壽命η之間的關(guān)系，分別計(jì)算了m分別取9和30下的特征壽命。特征壽命η（9）與η（30），僅相差了48次，遠(yuǎn)小于設(shè)備點(diǎn)火總次數(shù)（目前已開10 000次量級(jí)）的0.5%。并且，m取9到30（甚至更大）之間，對(duì)特征壽命的預(yù)估影響很小。為了便于在無失效數(shù)據(jù)下的產(chǎn)品點(diǎn)火次數(shù)進(jìn)行評(píng)估，取產(chǎn)品點(diǎn)火次的壽命形狀參數(shù)m的上限為9。

現(xiàn)計(jì)算在0.8的置信水平下，產(chǎn)品點(diǎn)火5500次時(shí)可靠度得置信下限。通過公式（6）得

表2 不同形狀參數(shù)下的特征壽命與方差

2.2 驗(yàn)證試驗(yàn)方案分析

通過（7）式，得到后續(xù)試驗(yàn)次數(shù)與可靠壽命置信下限得關(guān)系式

計(jì)算得到后續(xù)開展5 805次無失效點(diǎn)火循環(huán)試驗(yàn)，能夠驗(yàn)證考核目標(biāo)。

通過公式（8）給出了不同試驗(yàn)方案：不同試驗(yàn)樣本量的點(diǎn)火循環(huán)次數(shù)與可靠度下限驗(yàn)證方案的對(duì)比，試驗(yàn)人員可以根據(jù)時(shí)間進(jìn)度、成本和場(chǎng)地等因素進(jìn)行權(quán)衡，以選擇相應(yīng)的試驗(yàn)方案。

3 結(jié)論

為了高效地驗(yàn)證高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品的可靠壽命，本文提出了一種無失效數(shù)據(jù)的Weibull分布小子樣壽命驗(yàn)證模型，該模型有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）通過試驗(yàn)的無失效數(shù)據(jù)，在一定的置信度下得到了Weibull形狀參數(shù)區(qū)間，進(jìn)一步得到產(chǎn)品的可靠性特征結(jié)果。

2）在形狀參數(shù)區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)試驗(yàn)方案（試驗(yàn)時(shí)間和子樣）進(jìn)行優(yōu)化分析。

3）本文的模型既能充分利用無失效數(shù)據(jù)的壽命信息，又能發(fā)揮Weibull分布無失效數(shù)據(jù)可以累加的優(yōu)點(diǎn)。

4）本文的計(jì)算方法簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用。

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