基于四元數模型的信號導向矢量求解方法

趙繼超， 王湘宇

（1.中國電子科技集團公司第二十研究所， 陜西 西安 710000；2.西安電子科技大學， 陜西 西安 710126）

引言

在“Joint Estimation of DOA and Polarization with CLD Pair Cylindrical Array Based on Quaternion Model”一文中[1]，作者將四元數旋轉不變子空間算法（quaternion estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,Q-ESPRIT）擴展到由共心式磁環-偶極子天線組成的圓柱陣中，但是通過陣列流形的每一列除以該列首元素求解信號導向矢量的表述是不正確的，該問題在文獻[2]第三節的公式（19）也同樣出現。

由文獻[3]可知，通過特征值分解反推得到的陣列流形，其每列與真實值存在一個模糊系數，該系數可以表示為僅含實部和第二虛部的一個四元數，由于四元數不滿足乘法交換律[4]，所以導向矢量是不能通過陣列流形的每一列除以該列首元素得到。

本文主要分為兩部分，首先通過數學推導證明存在模糊的陣列流形，是無法通過文獻[1]中的方法估計得到信號的導向矢量；其次，基于四元數乘法的特殊性，給出了一種信號導向矢量的求解方法，并通過Matlab進行仿真驗證。

1 文獻[1]中導向矢量求解方法錯誤的數學推導證明

由文獻[1]中第四節公式（23）可知，陣列流形是通過下式估計得到的：

式中：滿秩矩陣T是通過對E#1E2（詳細可見文獻[1]中第4節公式（21）特征值分解得到。但是由文獻[3]可知，通過特征值分解反推得到的陣列流形，其每列與真實值存在一個模糊系數，可以表示為：

其中，μk表示其模值，ωk表示其相位，k=1，2，…，N。

基于式（2）和（3）可以表示為：

依據文獻[1]中4.1節的公式（25），信號的導向矢量由下式估計得到：

很明顯，公式（5）等價于下式：

因為四元數不滿于乘法交換律，所以公式（6）中的不等于公式（4）中的。文獻[1]中求解信號導向矢量的方式是不正確的。由文獻[1]中 4.1.節公式（26）至（29）可知，信號的方位角是由信號導向矢量估計得到的，因此，信號導向矢量的錯誤會導致信號方位角的估計錯誤。

2 所提導向矢量求解方法

式中：μk＞0，θk∈（0，π），γk∈（0，π/2），因此，μksinθksinγk＞0。

式中分別表示的第一虛部和第三虛部。

首先，通過右乘e-jωk消除其相位模糊：

其次，通過左乘消除幅度模糊，從而得到信號的導向矢量qL（θk，φk）：

3 仿真實驗

圖1 導向矢量估計標準差

仿真實驗部分，采用跟文獻[1]相同的圓柱陣，兩個信號的波達方向和極化參數也設置成一樣，即，（θ1，φ1，γ1，η1）=（72°，85°，30°，120°），（θ2，φ2，γ2，η2）=（30°，43°，67°，80°）快拍數依然設置為1 024，信噪比由0～45 dB變化，間隔為5 dB，蒙特卡洛實驗次數為100。

圖2 方位角估計標準差

由圖1和圖2可以明顯看出，文獻[1]中求解信號導向矢量的方法是失效的，這是因為四元數不滿足乘法交換律，不能簡單的通過除以首元素的方式進行歸一化處理得到信號導向矢量，而本文所提的算法通過消除模糊系數的相位模糊和幅度模糊，得到正確的信號導向矢量。

[1]Guibao Wang，Haihong Tao，Lanmei Wang，et.al.Joint estimation of DOA and polarization with CLD pair cylindrical array based on quaternion model[J].Mathematical Problems in Engineering，vol.2014，article ID 806853.

[2]Lanmei Wang，Zhihai Chen，XuanRao，et.al Estimating DOA and polarization with spatially spread loop and dipole pair array[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2015，26（1）：44-49.

[3]Jin He，M Omair Ahmad，M N S Swamy.Extended-aperture angle-range estimation of multiple Fresnel-region sources with a linear tripole array using cumulants[J].Signal Processing，2012，92：939-953.

[4]W.R.Hamilton，On quaternions[M].Proc.Royal Irish Academy，1 843.