CT系統的參數標定方法

周非凡， 楊蘇娟

（南京郵電大學， 江蘇 南京 210023）

1 問題的重述

1.1 問題背景

計算機斷層成像技術（Computed Tomography，CT）是一種最先進的醫學影像成像技術之一，是由投影重建圖像技術，計算機技術以及相關檢測技術等多個技術學科綜合發展的結晶，它以其卓越的性能在醫學的各個領域得到了廣泛應用。CT技術可以在不破壞樣品的情況下，用X射線旋轉照射樣品，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進行斷層成像，由此獲取樣品內部的結構信息。

1.2 相關信息

在如圖1所示的典型二維CT系統中，該探測器以旋轉掃描方式進行探測，多個探測器等距排列，將每個探測器視為獨立接收點，平行入射的X射線垂直于探測器平面。

圖1 CT系統示意圖

規定單元探測器數量為512個。保持X射線的發射器和探測器相對位置固定不變，整個發射-接收系統繞某個固定旋轉中心旋轉180次，對每一個X射線方向，在探測器上測量512個等距單元探測器經過二維待檢測介質吸收衰減后的射線能量，經過增益等處理后得到180組接受信息。

CT系統安裝時往往存在誤差，導致影響成像質量，為了減小誤差，需要對安裝好的CT系統進行參數標定，即借助于模板標定CT系統的參數，并據此對未知結構的樣品進行成像。本題中，在正方向托盤上放置兩個均勻固體介質組成的標定模板，模板的幾何信息如圖2所示。

1.3 待解決的問題

圖2 模板示意圖（單位：mm）

圖3 10個位置示意圖（單位：mm）

根據以上給出的相關信息，對問題總結如下，并建立相應的數學模型和算法進行分析研究。

問題綜述：根據上述兩個均勻固體介質組成的標定模板和接收信息，確定CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置，以及探測器單元之間的距離。

2 問題的分析

根據上頁圖3中提供的模板接收信息，我們需要求出兩個量：CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置，以及探測器單元之間的距離。

3 模型的假設

在正式處理問題之前，我們做出如下假設：

未知介質各個位置的吸收率與該處重建圖像上反映的吸收系數成正比。

4 模型的建立與求解

解決問題需要首先分析探測器單元之間的距離，根據吸收圖譜中求得的小圓形模板對應的探測器間隔數量以及小圓形模板直徑長度，通過比例關系，建立比例模型，求出探測器單元間距離的大小。最后確定CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置，根據幾何關系求解多條弦中垂線的方程，對這些中垂線的交點求平均值確定CT系統旋轉中心的位置。

4.1 比例模型求解探測器單元間距離

對于題目中給定的標定模板，由上頁圖2中的幾何信息可知：兩個均勻固體介質分別為橢圓和圓，其中橢圓的長半軸RL=40 mm，短半軸RS=15 mm，圓的半徑r=4 mm。以正方形托盤的左下角頂點為坐標原點，水平向右為軸，豎直向上為軸，那么橢圓圓心Oe（50，50），圓的圓心坐標Or（95，50）。

我們發現對于圓形模板，無論發射-接收系統方向如何改變，該模板的X射線吸收量出現數值的區間長度始終保持不變，利用MATLAB2017a隨機篩選出10組數據，通過三次樣條插值方法進行擬合，得到如圖4的擬合曲線圖。限于文章篇幅，此處僅列出一組數據擬合曲線圖，將此圖稱之為吸收圖譜。

圖4 吸收圖譜

通過10組數據擬合曲線圖，利用MATLAB2017a編程得到小圓形模板對應的探測器間隔數量均為N=29.12，對應小圓形模板直徑長2r=8 mm，根據比例關系，對吸收圖譜上的長度與模板實際長度建立比例模型，求得探測器單元間距離：

4.2 旋轉中心的確定

已知整個發射-接收系統繞某個固定旋轉中心逆時針旋轉，有512個等距單元的探測器排成一排，吸收經過衰減后的射線能量。成排的探測器可以看作繞固定旋轉中心旋轉形成的圓形的弦，用圖5所示的模型表示。根據圓心和弦的幾何關系可知，任意兩條弦的垂直平分線的交點即為圓心，利用該定理建立幾何模型，求解出CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置。

圖5 CT旋轉模型

仍以上述建立的坐標系為標準，選取其中一條弦即一組接收信息，該條弦的垂直平分線必然經過512個等距探測器的中心點M，根據吸收圖譜可以得到橢圓模板中心Oe到探測器中心點M之間的探測器間隔數量N，利用比例模型求解出對應實際長度：

同時，OeM的長度也是橢圓中心到該弦所對應的垂直平分線的距離d，令該垂直平分線l的方程為：

其中：該直線的斜率k滿足k=cotθ

橢圓中心坐標位置，將圓心坐標代入點到直線的距離公式，有：

根據上述等式即可解得該條垂直平分線方程。理論上這些垂直平分線的交于一點，該點即為CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置，但是由于CT系統本身存在誤差以及模型的求解過程中會出現誤差，導致并沒有一個理想的交點出現。我們采用對多個交點的橫縱坐標求平均值的方法，將該值作為CT系統的旋轉中心，最終求解得到即CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置為（40.756 6，56.095 3）。

[1]劉衛國.MATLAB程序設計教程（第二版）[M].北京:中國水利水電出版社,2010.

[2]莊天戈.CT原理與算法[M].北京:高等教育出版社,1992.