微積分基本公式在四維空間中的推廣

白添瑞

摘 要：Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本N-L公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，在曲面上表現為通常意義上的Stokes公式。所以思考由低維向高維公式的轉換思想以及一般的Stokes公式的證明，實現Stokes公式在四維空間上的推廣，并將所得結果和一般的Stokes公式進行對比，驗證其正確性。

關鍵詞：Stokes公式；Green公式；Gauss公式；四維空間推廣

1 前言

N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式這個公式在數學分析中有著非常重要的地位，縱觀這幾個公式之間有著共同的特點：

（1）他們基本上是把從區間或區域上的計算轉化到邊界上計算，如Green公式是從平面區域轉化到邊界曲線L上的；

（2）他們分別是從一維空間到二維空間再到三維空間上的轉換.

根據以上敘述，我們發揮發散性思維：是否可以推廣到思維空間呢？以下將對此問題進行研究。

2 預備知識

2.1 N-L基本公式

設f 是[a，b] 上連續，設F 是f 在[a，b] 上的一個原函數，則：

（2.1）

公式（2.1）就稱之為N-L（牛頓-萊布尼茲）公式。

2.2Stokes公式

設S為光滑曲面或分片光滑的雙側曲面，其邊界為光滑或分段光滑閉曲線 ，若P（x，y，z） ，Q（x，y，z） 與R（x，y，z） 在S 及其邊界 上具有連續偏導數，則有：

（2.4）

公式（2.4）就是Stokes公式，其中 取S 的誘導定向。

3 三維空間內的Stokes公式的推廣

Stokes公式是Green公式的推廣. Green公式表達了平面閉區域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分間的關系， 而Stokes公式則把曲面Σ上的曲面積分與沿著Σ 的邊界曲線的曲線積分聯系起來. 下面的公式就敘述這種關系.

定理3.2.1：設Γ為分段光滑的空間有向閉曲線，Σ 是以Γ 為邊界的分片光滑的有向曲面， Γ 的正向與Σ的側符合右手規則， 函數P（x，y，z） ，Q（x，y，z） ，R（x，y，z） 在包含曲面Σ在內的一個空間區域內具有一階連續偏導數， 則有公式

上式叫做Stokes公式.

證明 設Σ與平行于z軸的直線相交不

多于一點， 并Σ取上側，有向曲線C為Σ

的正向邊界曲線Γ在xoy 的投影.且所圍區

域Dxy. 如右圖.

證明的思路是： 設法把曲面積分

化為閉區域Dxy 上的二重積分，然后通過

Green公式使它與曲線積分相聯系.

根據對面積的和對坐標的曲面積分間的關系，有

當Σ為z=f（x，y） ，（x，y）∈Dxy 時，有向曲面Σ的法向量的方向余弦為

因此 ， 于是

即

上式右端的曲面積分化為二重積分時， 把P（x，y，z） 中的z 用f（x，y） 來代替. 因為由復合函數的微分法，有

所以， 我們得到

（13-7-1）

根據Green公式，上式右端的二重積分可化為沿閉區域Dxy 的邊界C的曲線積分：

于是立即可得

因為函數P[x，y，f（x，y） 在曲線C上點（x，y） 處的值與函數P（x，y，z） 在曲線Γ 上對應點（x，y，z）處的值是一樣的，并且兩曲線上的對應小弧段在x軸上的投影也一樣，根據曲線積分的定義，上式右端的曲線積分等于曲線Γ上的曲線積分 . 因此

. （3.2）

同理可證

于是立即可得

.

證畢.需要注意的是：

（1）如果Σ取下側，Γ也相應地改成相反的方向，那么（3.2）式兩端同時改變符號，因此（3.2）式仍成立.

（2）如果曲面與平行于z 軸的直線的交點多于一個，則可作輔助曲線把曲面分成幾部分， 然后應用公式（3.2）并相加.因為沿輔助曲線而方向相反的兩個曲線積分相加時正好抵消，所以對于這一類曲面公式（3.2）也成立.

（3）為了便于記憶， 把Stokes公式寫成

另一種形式

其中 .

（4）Stokes公式的實質： 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.

（5）當Σ是xoy 面的平面閉區域時，Stokes公式就變成Green公式. 因此， 格林公式是Stokes公式的一個特殊情形.

4 Stokes的四維空間推廣

根據以上三維空間內的Stokes公式的推廣，在此將其推廣到四維空間中，首先假設：

設K是R4 中由光滑或分片光滑的封閉曲面 所圍成的三維單連通封閉區域，K1（x，y，z，t） ，K2（x，y，z，t） ，K3（x，y，z，t） 與K4（x，y，z，t） 在K上具有連續偏導數，則：

（4.1）

其中 表示有向封閉曲面 的外側。

結語

綜上所述，在一維的直線上，Stokes公式就是N-L公式；在平面上，Stokes公式就是Green 公式；在空間的情形；Stokes 就是Gauss 公式，Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，此推論在四維空間上同樣適用。

限于本人水平有限，文中還有很多地方值得深思和延伸，希望在今后的研究中能夠加入深入。

參考文獻：

[1]褚衍彪. N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式縱橫談[J]. 科教文匯旬刊， 2007（11）：184-185.

[2]宋來忠. Gauss映照非退化的曲面及利用Stokes公式所得的一些整體性質[J]. 湖北科技學院學報， 1987（s1）：23-28.

[3]劉紅玉， LIUHong-yu. Stokes公式及其在高維空間中的推廣[J]. 廣東技術師范學院學報， 2015， 36（2）：6-8.