一種改進的證據合成方法及其在模糊評估中的應用*

邰文星，丁建江，劉宇馳，趙志強

（1.空軍預警學院，武漢 430019；2.空軍裝備部，北京 100034）

0 引言

D-S證據理論［1-2］自20世紀60年代提出以來，憑借其能夠很好地表達“不確定性”和“未知”等認知科學上重要概念的優點，為處理不確定信息提供了一種行之有效的方法［3-4］，并在目標識別、信息融合與決策分析等領域得到了廣泛的應用［5-8］。盡管它提供了一個非常有用的證據合成規則，但當證據源高度沖突時，經典D-S合成規則卻無法使用或得出有悖于常理的結論。為此，國內外學者基于不同的觀點和理論，提出了不少行之有效的改進方法?？偟膩砜?，相關的改進方法可以分為兩大類［9］：一類是基于對證據源的修正，另一類是基于對合成規則的修正。

但遺憾的是，這些方法多是以目標識別為背景提出的，在評估問題中的應用效果并不理想。一方面，評估問題中的證據即評估指標不存在不可靠的問題，因而對其修正反而會增加不確定性，破壞聚焦能力。另一方面，評估問題中指標的地位即重要程度是不同的，關鍵指標的主導地位不可動搖。然而可惜的是，基于修正合成規則的諸多方法卻并沒有充分考慮這一點。為此，本文提出了一種新的合成規則改進方法，即通過證據權重和可信度的對比與融合來確定沖突概率的全局分配系數。實例分析證明，新的合成方法提高了證據合成的可靠性和合理性，促進了證據理論在模糊評估中的應用。

1 D-S證據理論與模糊評估

根據證據理論的相關概念，Θ表示全部可能評估結果X的一個論域集合，且Θ中的全部元素都是互不相容的，則稱Θ為X的識別框架。例如：對武器裝備作戰能力等級的評估，識別框架，對于這個問題的任何結論都是Θ的一個子集。

定義1設Θ為一識別框架，如果函數（2Θ為Θ的所有子集）滿足：

式中，m（A）稱為事件A的基本概率賦值函數，表示證據對A的信任程度。

根據以上的定義可知，對于一個模糊評估問題，模糊評判集即為識別框架Θ，而其中等級v1對評判集V的隸屬度U（v1）滿足基本概率賦值函數的定義。

定義2假定識別框架Θ下的兩個證據E1和E2，其相應的基本概率賦值函數為m1和m2，焦元分別為Ai和Bj，則根據經典D-S合成規則有：

式中，K為沖突系數，且有，它反映了各個證據之間的沖突程度。

定義3設是同一識別框架Θ下的等n個證據所對應的基本概率賦值函數，焦元分別為，則根據經典D-S合成規則有：

式中，。

根據以上定義可知，對于多指標融合模糊評估問題，證據Ei即代表評估指標Ci。在求解出各指標Ci對V的隸屬度后，可通過式（2）或式（3）對各指標的評判結果進行融合。

2D-S合成公式及現有改進方法的不足

盡管D-S證據理論提供了一個非常有用的證據合成規則，但當證據源高度沖突時（即K→1）時，經典D-S合成規則將無法使用或得出有悖于常理的結論。

設識別框架，兩個證據的基本概率賦值如下：

由D-S合成規則得到：K=0.99，。盡管命題A和C在兩個證據中都有很高的概率賦值，但合成結果卻為在兩個證據中概率賦值都很低的命題B，這顯然有悖于常理。

為了克服這一問題，國內外學者提出了一系列改進的方法?？偨Y起來，可以概括為兩大類：一類是基于修改D-S組合規則的方法［10-13］，主要側重于沖突的重新分配和管理；另一類是基于修改原始證據源的方法，即先對沖突證據進行預處理，再采用證據組合規則進行融合。盡管這兩類改進方法都可以處理高度沖突證據，但在評估問題中的應用效果并不理想。

對于證據源修正的方法，由于評估問題中的證據即評估指標是經過嚴格分析或計算后得出的，其可靠性不同于傳感器系統，不存在故障或隨機誤差。因此，對證據源的修正不僅不能增加組合的可靠性，反而會破壞證據的確定性，降低多指標融合的聚焦能力。

對于修正證據合成規則的方法，無論是基于沖突概率的全局分配，還是局部分配，分配系數的確定往往僅考慮證據之間沖突的大小，而沒有考慮證據本身即指標在評估中的重要程度，導致融合結果有悖于常理。

以某型武器裝備的進攻作戰能力模糊評估問題為例，設模糊評判集為，對應的識別框架為，從火力打擊能力（E1）、機動能力（E2）和防護能力（E3）3 個方面對某裝備進行評估可得：

由于K=1，證據高度沖突，經典D-S合成規則無法使用。應用文獻［12］中的方法可得融合結果為：

以最大隸屬度來判別，該裝備的作戰能力等級為A即較強，這顯然與實際情況相悖。因為進攻作戰中，火力打擊能力始終是第一位的，其主導地位不能被動搖。但在本次評估中，機動能力和防護能力的突出表現卻搶占了關鍵指標的主導地位，并在沖突概率的分配中獲得了更高的份額，進而使一個火力打擊能力較弱裝備的進攻作戰能力判定為較強。試想，若以此為依據選取進攻裝備，必將導致作戰中的火力打擊能力嚴重不足，無法對敵方的防御工事和有生力量造成足夠的威脅和破壞。

由此可見，必須對現有的改進方法做進一步的拓展，加入對指標權重的充分考慮。

3 改進的D-S證據合成公式

根據之前的分析，基于證據源修正的改進方法并不適合評估問題，所以應當從證據合成方法的修正上入手?；谛拚铣梢巹t的方法認為：改進證據理論的關鍵是沖突的管理，即沖突的重新分配問題，進而演化出兩種不同的觀點：一種是將沖突概率進行全局分配，另一種是將沖突概率局部分配。由于評估指標的權重是站在指標體系全局的角度確定的，因此，采取沖突概率全局分配的觀點較為合理。

基于沖突全局分配方法中最具代表性的是Lefever等提出的統一信度函數組合方法［14］：

式中，為識別框架；K為D-S合成規則中定義的全局沖突系數；為K的分配權重且滿足，它決定了分配給各個命題的證據沖突概率的大小。

在此類方法中，的確定是核心。文獻［10］認為沖突帶來的完全是不確定性，因此，將沖突全部分配給了識別框架Θ，而不是Θ的子集。盡管該方法可以合成高度沖突證據，但對沖突證據的完全否定，導致其具有一票否決的特點，并且在證據源多于兩個時，合成效果不理想。在Yager合成公式的基礎上，文獻［11］認為即使證據之間存在沖突，它們也是部分可用的，其可用程度取決于證據的可信度ε，并基于此提出了新的證據合成公式。文獻［12］同樣認為沖突證據也是可用的，且證據沖突概率的分配應該基于證據與各命題的平均支持度來分配，進而提出了一種改進的證據合成方法。在此基礎上，文獻［13］進一步認為證據沖突概率的分配應該考慮證據之間的相關性，并提出了一種基于可信度crd（Ei）加權平均的證據合成方法。

綜合以上方法的優缺點，結合評估問題實際，本文認為：在沖突概率的分配中，應當保證指標的地位不被證據的可信度所劇烈地改變，即關鍵指標的地位不能因可信度而劇烈地降低，非關鍵指標的地位也不能因可信度而劇烈地提升。為此，應當以指標的權重為杠桿，對可信度的話語權進行調整和限制。

基于以上觀點，本文對文獻［14］中的合成公式進行改進，如下：

其中，K仍為沖突系數，wi為證據Ei即指標Ci的權重，crd（Ei）為證據Ei的可信度。證據分配權重δi的具體計算步驟為：

第1步：求各證據即指標的可信度crd（Ei）

設E1和E2是識別框架下的兩個證據，m1和m2分別為其相應的基本概率賦值函數，焦元分別為Ai和Bj，則證據E1和E2間的相似系數可以表示為［15］：

相似系數d12用來表示證據間的相似程度，且有。d12的值越大，表明證據間的相似程度越高，確定性越好。當d12=1時，表示證據E1和E2是完全相同的；當d12=0時，表示證據E1和E2是完全沖突的。

若系統收集了等n個證據，則應用式（6）可以分別計算出兩兩證據間的相似系數dij，并將其表示為一個相似矩陣的形式：

將該矩陣的每行相加，可得到各證據對證據Ei的支持度為：

若Sup（Ei）的值越大，則說明證據Ei與其他證據的相似程度越高，它們相互支持的程度越高；相反，若Sup（Ei）的值越小，則說明證據Ei與其他證據的相似程度越低，它們互相支持的程度也越低。

將證據的支持度歸一化，即可得到證據Ei的可信度為：

第2步：求可用度

4 實例分析

仍以之前某型武器裝備的進攻作戰能力模糊評估問題為例，設火力打擊能力（E1）、機動能力（E2）和防護能力（E3）3個指標的權重分別為0.6、0.2和0.2，于是有：

為了對比驗證本文提出的改進證據合成方法的有效性與合理性，分別采用現有的證據合成改進方法和本文提出的方法對以上數據進行融合，相關結果如表1所示。

表1 各合成方法評估結果

由表1可以看出，Yager合成公式將沖突概率全部賦予了未知項，導致無法給出有效的融合結果；文獻［11］提供的方法盡管克服了證據高度沖突帶來的影響，但融合后各命題的概率賦值偏低，未知項的比重較高，融合后的聚焦度不足；文獻［12-13］基于沖突概率全局分配的觀點，盡管獲得了更好的融合效果，但融合結果脫離了評估問題的實際，容易誤導決策者。而本文提出的方法在克服證據高度沖突影響的基礎上，緊貼評估問題的實際，為決策者提供了更加客觀、合理的信息。

表2 各合成方法中的分配權重

如表2所示，文獻［11-12］的觀點一致，認為所有證據在合成時的重要程度都是一樣的，因而在沖突分配中占據的比重是相同的，這顯然不符合評估問題的應用實際。

盡管文獻［13］認為證據在合成時的重要程度是不同的，但卻片面地認為證據的重要程度取決于其可信度即被其他證據所支持的程度。不可否認，這種少數服從多數的觀點在多傳感器系統中是可取的，因為所有傳感器的地位是相同的，采納多數一致的意見是合理的。但在評估問題中，這種觀點是有風險的。

一方面，評估活動有著明確的目標，而不同指標對總目標的貢獻程度是不同的，所以指標的相對重要性是不同的［16］。另一方面，評估活動具有較強的針對性，因而指標之間的相對重要性必須是穩固的，即不能做根本上的改變。破壞了以上兩點，就會偏離評估的目標和側重點。

以證據的可信度為依據確定沖突概率分配權重，其實質是：以可信度重構指標的重要性，孤立表現或意見不一致的指標，并弱化其話語權。例如本次評估中的關鍵指標E1（火力打擊能力），其指標權重為最高的0.6，但由于同其他指標的意見不一致，最終在沖突概率的分配中只獲得0.2232的最低權重，而其他兩個一般性指標卻得到了更高的0.3847和0.3921的分配權重。顯然，證據可信度破壞了指標間的相對重要性，導致相關結果必然是背離既定評估目標和側重點的。

而本文提出的方法，在聽取多數一致意見的基礎上，維持了指標間相對重要性的穩定，使融合結果更加客觀與合理，并且提供了更多的輔助決策信息。

首先，關鍵性指標的表現能夠得到足夠重視，使得融合結果中含有警示信息，有利于降低決策風險。例如，當某裝備的性能出現以下極端情況時：

各合成方法得出的結果如表3所示。

表3 極端情況時的評估結果

可以看出，所有方法都不約而同地偏向于較強。但是，結合較弱的概率賦值，可以發現各方法偏向于較強的程度是不同的。

表4 各方法中較強與較弱的概率賦值之比

如表4所示，對比各方法中較強與較弱概率賦值的比值，可以發現：文獻［11-12］是明顯地偏向較強，文獻［13］則是強烈地偏向，而本文是輕微的甚至是帶有懷疑的。偏向程度不同的背后，其實是對關鍵性指標極端低迷表現的不同態度，其他方法幾乎是默許或忽視的，這是激進和冒險的。而本文則對其給予了足夠的重視，并在融合結果中予以了體現，以警示決策者不能草率地做出較強的結論。

其次，沖突概率分配權重能夠為裝備的改進提供依據和建議。一方面，對比指標權重與其沖突概率分配權重，可以快速確定出表現“合群”與“不合群”的指標。另一方面，對于關鍵性指標，當其表現低迷時，必須進行改進和提升，當其表現優秀時，保持原狀即可；對于一般性指標，當其“合群”且表現低迷時，必須進行改進和提升，其他情況下，均可維持原狀。

5 結論

本文在綜合現有方法優點的基礎上，提出了一種更適用于模糊評估問題的證據合成方法，即通過指標權重和證據可信度的融合來確定沖突概率的全局分配系數。實例分析的結果表明，新的證據合成方法不僅能夠有效處理高度沖突證據，還能緊貼評估問題實際，給出更加客觀、合理和有建設性意見的融合結果，從而降低決策風險。

［1］DEMPSTER A P.Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping ［J］.Annals of Mathematic Statistics，1967，38（2）：325-389.

［2］SHAFER G.A mathematical theory of evidence［M］.Princeton：Princeton University Press，1976：19-63.

［3］葉青，吳曉平，宋業新.基于權重系數與沖突概率重新分配的證據合成方法［J］.系統工程與電子技術，2006，28（7）：1014-1016.

［4］郭建全，趙偉，黃松嶺.一種改進的D-S證據合成規則［J］.系統工程與電子技術，2009，31（3）：606-609.

［5］ACHARYA S，KAM M.Evidence combination for hard and soft sensor data fusion［C］//Proc.of the 14th International Conference on Information Fusion，2011：1-8.

［6］MERIGO J M，CASANOVAS M.Induced aggregation operators in decision making with the dempster-shafer belief structure ［J］.International Journal of Intelligent System，2009，24（8）：934-954.

［7］BASU S，SARKAR R，DAS N，et al.Handwritten bangla digit recognitionusingclassifiercombinationthroughDStechniques［C］//Proc.of the International Conference on Patten RecognitionandMachineIntelligence，2005，3776：236-241.

［8］朱友清，周石琳，周煥新.基于相容系數的沖突證據合成方法及評價準則［J］.系統工程與電子技術，2014，36（6）:1118-1123.

［9］郭華偉，施文康，劉清坤，等.一種新的證據合成規則［J］.上海交通大學學報，2006，40（11）:1895-1900.

［10］YAGER P R.On the dempster-shafer framework and new combination rules［J］.Information Science，1989，41（2）：93-137.

［11］孫全，葉秀清，顧康偉.一種新的基于證據理論的合成公式［J］.電子學報，2000，28（8）：117-119.

［12］李弼程，王波，魏俊，等.一種有效的證據理論合成公式［J］.數據采集與處理，2002，17（1）：33-36.

［13］潘光，吳琳麗.一種的改進的D-S證據合成方法及其應用［J］.系統工程，2014，32（5）：150-153.

［14］LEFEVRE E，COLOT O，VANNOORENBERGHE P.Belief functions combination and conflict management［J］.Information Fusion，2002，3（2）：149-162

［15］袁志發，宋世德，等.多元統計分析［M］.北京：科學出版社，2011:278-293.

［16］馬亞龍，邵秋峰，孫明，等.評估理論和方法及其軍事應用［M］.北京：國防工業出版社，2013:2-4.