雙氣球連通實(shí)驗(yàn)變化規(guī)律研究

王文濤

(江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué),江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

1 問(wèn)題的提出

圖1

在指導(dǎo)學(xué)生做趣味物理實(shí)驗(yàn)中,經(jīng)常做如下實(shí)驗(yàn):將兩個(gè)相同的氣球吹成不同半徑大小,用管子將兩者連接,打開中間的氣閥,觀察氣球大小的變化．一般預(yù)期的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是大的變得更大,小的變小．但學(xué)生實(shí)驗(yàn)中偶爾也會(huì)出現(xiàn)相反的結(jié)果．開始認(rèn)為是學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作錯(cuò)誤造成如此的結(jié)果,但是消除實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤后,仍然有部分學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與預(yù)期不同．那么氣球大小的變化與哪些因素有關(guān)呢?

2 理想圓形氣球的附加壓強(qiáng)模型

氣球的大小變化取決于兩側(cè)氣球的壓強(qiáng)大小,而氣球內(nèi)部的壓強(qiáng)由兩部分構(gòu)成,一是外部的大氣壓強(qiáng),二是氣球壁擴(kuò)張后產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)．兩氣球的外部大氣壓強(qiáng)相同,所以影響氣球內(nèi)部壓強(qiáng)的是氣球壁的附加壓強(qiáng)．氣球的大小不同其附加壓強(qiáng)應(yīng)該有所不同,所以對(duì)于同一氣球,其附加壓強(qiáng)應(yīng)該與其半徑有關(guān)．

圖2 硫化橡膠的分子構(gòu)型示意圖

平時(shí)買到的普通氣球是利用硫化后的橡膠制作的,其橡膠分子的長(zhǎng)鏈通過(guò)硫原子鏈接在一起,形成三維網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),如圖2所示．因此,硫化后的橡膠制品具有各方向相同的物理性質(zhì),在理論研究中可以視為各向同性的理想彈性體．

圖3

氣球在增大過(guò)程中,其半徑變化較大,氣球壁的拉伸較大．因此彈性材料在拉伸過(guò)程中其截面大小及長(zhǎng)度均發(fā)生變化,彈力與形變并不遵守胡克定律．此時(shí)必須采用理想彈性體模型才可以描述其彈力與形變之間的關(guān)系．根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的彈性體模型理論,一個(gè)理想化的矩形截面的彈性體有如下的規(guī)律.

(1)

(1)式中的fi是在i方向施加的外部作用力;Li是i方向的長(zhǎng)度;k是玻爾茲曼常量;K是常數(shù),與彈性體內(nèi)部材料組成有關(guān);T是熱力學(xué)溫度;Li0是材料原始長(zhǎng)度,p是彈性體內(nèi)部壓強(qiáng)(靜壓強(qiáng)),V是彈性體的體積．對(duì)于理想的彈性體,可以假設(shè)在形變中體積V不變．從(1)式可以得出彈性體的彈力與彈性體長(zhǎng)度方向形變和內(nèi)部靜壓強(qiáng)有關(guān)．

圖4 氣球上選取的研究面位置示意

如果氣球在恒定溫度T下緩慢增大,可認(rèn)為氣球壁的溫度保持T不變．可以取沿氣球大圓的一個(gè)窄環(huán)面進(jìn)行研究,如圖4所示．

由于氣球壁的厚度d相對(duì)于氣球的半徑r較小,其寬度較窄,可將環(huán)面展開視為理想化的矩形截面彈性體,如圖5所示．

圖5 展開后的氣球環(huán)面

其沿切向的氣球壁長(zhǎng)度Li與氣球半徑r成正比,應(yīng)用(1)式可得，在切向有

(2)

其中Li=cr,c為常數(shù)．

在半徑r方向上,由于氣球內(nèi)外壁的壓力差可分解為沿切向的作用力,所以沿半徑方向不受拉伸或壓縮的外力,設(shè)氣球壁原始厚度為d0,氣球膨脹后壁厚度為d,同樣運(yùn)用(1)式可得

(3)

由(2)式可得

(4)

由于氣球壁的總體積V0不變,設(shè)氣球原始半徑為r0,膨脹后半徑為r,總有

V0=4πr2d=4πr02d0.

可得

(5)

將(5)式代入(4)式可得

(6)

將(6)式代入切向方向的(2)式可得

(7)

考慮半個(gè)氣球的受力有

(8)

(8)式中p為氣球內(nèi)部壓強(qiáng),p0為大氣壓強(qiáng),pf為氣球壁的附加壓強(qiáng)．

圖6

從圖6可以看出氣球的附加壓強(qiáng)pf與半徑r的關(guān)系并不是單調(diào)關(guān)系,附加壓強(qiáng)pf隨半徑r先增大再減小,當(dāng)r趨于無(wú)窮大時(shí),附加壓強(qiáng)趨于0．

3 實(shí)際圓形氣球附加壓強(qiáng)測(cè)定

以上從理論上得出了附加壓強(qiáng)pf隨半徑r變化關(guān)系,還需要通過(guò)實(shí)際實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述理論關(guān)系．

實(shí)驗(yàn)中需要測(cè)量氣球的附加壓強(qiáng)pf,可以利用氣壓計(jì)測(cè)定氣球內(nèi)部壓強(qiáng)p和大氣壓強(qiáng)p0,則pf=p-p0．實(shí)驗(yàn)中準(zhǔn)確測(cè)量氣球半徑r有些困難,可以轉(zhuǎn)化為通過(guò)測(cè)量氣球體積VB來(lái)間接測(cè)量氣球半徑r,為此設(shè)計(jì)了圖7的實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行研究．

圖7 研究氣球附加壓強(qiáng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0,V0為玻璃容器中氣體的體積,pf為氣球內(nèi)外的壓強(qiáng)差,VB表示氣球的體積,Vw表示注入水的體積,由于氣球緩慢擴(kuò)大,可以認(rèn)為氣球內(nèi)部氣體是等溫變化,根據(jù)理想氣體方程可得

(p0+pf)(V0+VB-Vw)=p0V0.

(9)

可得

(10)

由(10)式求出VB后,進(jìn)一步可求得氣球半徑為

(11)

測(cè)量時(shí)先將氣球中的空氣排凈,然后扎在管口．玻璃瓶中先做好標(biāo)記線,標(biāo)記線上方的體積V0可用注水法測(cè)出．每次用注射器吸取一定體積的水注入瓶中,待氣球穩(wěn)定后讀出氣壓計(jì)的讀數(shù)計(jì)算出pf．重復(fù)多次即可得出pf與注入水的體積Vw的關(guān)系,然后可求出pf與r的關(guān)系．

選擇不同的氣球A、B各做兩次,A氣球的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖8所示．從圖線趨勢(shì)可以發(fā)現(xiàn)氣球內(nèi)附加壓強(qiáng)pf與半徑r的關(guān)系如下.

(1) 氣球附加壓強(qiáng)與r的圖像與理論預(yù)測(cè)圖像相一致.

(2) 氣球內(nèi)附加壓強(qiáng)與r不是單調(diào)關(guān)系,先增大到峰值,然后逐漸減少.

圖8 A氣球的pf-r圖像

(3) 峰值點(diǎn)與預(yù)測(cè)基本一致.

(4) 新氣球第1次的圖像要高于第2次及以后的圖像.

對(duì)于(4)原因可能是第1次實(shí)驗(yàn)時(shí)氣球橡膠材料第1次發(fā)生形變,內(nèi)部橡膠分子長(zhǎng)鏈之間的連接未遭到破壞,所以氣球膨脹到同樣半徑大小產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)大．第2次實(shí)驗(yàn)時(shí),由于內(nèi)部橡膠分子長(zhǎng)鏈之間的連接已經(jīng)被破壞了部分,所以導(dǎo)致同樣半徑產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)減少,總體曲線降低．

同樣的實(shí)驗(yàn)方法,對(duì)于另一個(gè)B氣球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)定,其實(shí)驗(yàn)圖像如圖9所示．

圖9 B氣球的pf-r圖像

與A氣球的圖像相比,可以發(fā)現(xiàn)圖像也有另外的特點(diǎn).

(1) 半徑較小時(shí)與理論圖像相符合.

(2) 當(dāng)半徑增大超過(guò)一定值后,出現(xiàn)壓強(qiáng)隨半徑再次上升的現(xiàn)象.

如果將氣球壁視為理想彈性體,則根據(jù)(8)式pf將隨著半徑r一直減小,當(dāng)球半徑無(wú)窮大時(shí),附

加壓強(qiáng)為0,但是實(shí)際氣球肯定不能無(wú)限擴(kuò)大．從B氣球的圖像可以看出當(dāng)氣球半徑過(guò)大,氣球壁形變巨大，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)也隨之發(fā)生變化,氣球壁已不可以視為理想的彈性體,原來(lái)的理想化模型不能適用．此時(shí)隨著氣體的不斷壓入,氣球形變開始變慢,隨之壓強(qiáng)迅速增大．如果繼續(xù)壓入空氣,其壓強(qiáng)超過(guò)氣球所能承受的彈力時(shí),氣球便發(fā)生破裂．

4 兩氣球連通大小變化規(guī)律總結(jié)

由上述理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可以分析兩個(gè)相同的氣球充氣成不同半徑,再連通后大小變化情況．一般情況下,不會(huì)將氣球充氣至極限．在氣球不太大的時(shí)候可以認(rèn)為氣球的附加壓強(qiáng)符合理論模型．根據(jù)其pf與r的關(guān)系可以將氣球變化的情況分成3種類型討論．

如圖10所示,可能出現(xiàn)的3種情況結(jié)果如下.

圖10 氣球變化規(guī)律分段

(1) 若大小氣球的半徑都在a區(qū),則大球變小,小球變大.

(2) 若大小氣球的半徑都在b區(qū),則大球變大,小球變小.

(3) 若兩個(gè)氣球的半徑一個(gè)在a區(qū),一個(gè)在b區(qū),則情況不定,取決于氣球內(nèi)部壓強(qiáng)大小．

因此,在指導(dǎo)學(xué)生做趣味實(shí)驗(yàn)時(shí),應(yīng)該保證球的半徑不超過(guò)b區(qū),即球的大小適中,這樣才能實(shí)現(xiàn)預(yù)想的實(shí)驗(yàn)結(jié)果．

參考文獻(xiàn)：

1 M H. James， E Guth.Simple Presentation of Network Theory of Rubber, with a Discussion of Other Theories[J].Journal or Polymer Science 1949,(IV): 153-182.

2 楊曉翔.非線性橡膠材料的有限單元法[M].北京:石油工業(yè)出版社,1999:70-82.

3 I Müller,P Strehlow.Rubber and rubber balloons[M].New York: Springer. 2004:1-31.