構建微觀模型 巧解物理難題

鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

原題.當金屬的溫度升高到一定程度時就會向四周發射電子,這種電子叫熱電子,通常情況下,熱電子的初始速度可以忽略不計.如圖1所示,相距為L的兩塊平行金屬板M、N接在輸出電壓恒為U的高壓電源E2上,M、N之間的電場近似為勻強電場,a、b、c、d是勻強電場中4個均勻分布的等勢面,燈絲K與M板的距離很近,電源E1給燈絲加熱而產生熱電子.電源接通后,電流表的示數穩定為I,已知電子的質量為m、電荷量為e.求: (1) 電子到達N板瞬間的速度; (2) 電子從燈絲K出發到達N板所經歷的時間; (3) 電路穩定的某時刻,M、N之間運動的熱電子的總動能; (4) 電路穩定的某時刻,c、d兩個等勢面之間具有的電子數.

圖1

文獻[1]利用微元法進行解答,得出正確結果,但認為各相等時間間隔內的電荷量相等;文獻[2]利用微積分方法進行解答,也得出正確結果,但認為兩極板之間的電流是恒定電流.那么在兩極板之間各相等時間間隔內的電荷量是否相等?兩極板之間各處的電流是否恒定?這是首先要解決的問題.

各電子在勻強電場內做初速度為0的勻加速直線運動,則動能從左到右是逐漸增加的,在左極板附近電子的動能為0,在右極板附近電子的動能最大.由于燈絲在單位時間內定向發射熱電子的數量是一定的,因此在各相等時間間隔內通過各等勢面的電荷量相等,所以在極板間各等勢面處的電流恒定,等于電子到達N板時形成的電流即外電路中的電流I.這與串聯電路中各處的電流相等是一致的.有一種觀點認為,電子剛離開燈絲時的速度幾乎為0,因此在燈絲處形成的電流幾乎為0,電子到達N板時速度最大,因此在N板處形成的電流最大為I,即認為極板間各處的電流強度與電子的運動速度有關,這是錯誤的.

由于在同一時刻通過同一等勢面的各電子的速度相同,因此通過每個等勢面的電子的總動能為

在電路穩定的某時刻,M、N之間運動的熱電子的總動能等于各等勢面上的熱電子的動能之和,即

圖2

點評:解題關鍵是將同一時刻極板間所有的熱電子平均分布到各等勢面上并算出個數,由此導出同一等勢面上的熱電子的總動能關系式,而每個等勢面對應一個時刻,這就可利用位移-時間圖像及拋物線的性質求出各時刻位移的平均值,從而得出某時刻所有熱電子的總動能.

其實,對于文獻[2]中的(4)式

將微分方程兩邊取積分運算可得相同結果.

那么,整個系統的能量變化是否遵循能量守恒定律呢?下面進行驗證,即在時間tm內,電流做的功全部轉化為所有熱電子的動能.

在原來的這些電子加速的過程中,由于燈絲源源不斷地發射電子,因此在時間tm后兩極板之間的電子分布又達到初始狀態,而新來的這些電子的動能也為Ek總,即各電子的速度由0增加到0～vN之間的各個數值,則動能增量為ΔEk2=Ek總-0.

雖然兩極板間的電子做勻加速直線運動,但通過各等勢面的電流相等,而且都等于外電路的電流I,認識到這一點很重要,在此基礎上,對于第(4)問可迎刃而解,只要利用勻變速運動的位移公式求出電子先后通過c、d兩個等勢面的時間,即可求出兩個等勢面之間具有的電子數.

參考文獻：

1 彭立君.例談物理解題中似是而非的“平均值”[J].物理教師,2017,38(6):96-封三.

2 崔琰.對高三物理一道電學題答案的質疑[J].物理教師,2017,38(4):78-79.