跨座式單軌交通車橋系統隨機振動軌道不平順相關性分析

姜博

1 概述

根據前人研究成果[1～2]建立了跨座式單軌交通車橋系統車輛、軌道梁和輪軌接觸模型，基于彈性系統動力學總勢能不變值原理推導出車橋系統總勢能，建立了整個系統的運動方程，形成了車橋耦合大系統的理論研究基礎。采用時域法進行求解方程，研究跨座式單軌交通車橋系統的隨機性。軌道不平順是一個隨機的過程，在動力仿真分析中常將其處理為平穩的各態歷經的隨機過程，它是系統隨機振動的激振源。因此，研究和測定軌道不平順的統計特性，是研究車輛-軌道系統隨機振動的基礎。

2 計算參數及單元劃分

2.1 計算參數

由于本文以重慶市跨座式單軌I期工程（較新線）試驗區段Z206-25為工程研究背景分析跨座式單軌交通車橋系統耦合振動，故本文實測數據均來自于該段試驗[3]。車輛編組荷載模式見圖1所示。

圖1 試驗車輛編組荷載模式

車輛參數采用文獻[4]中日本大阪跨座式單軌列車的參數，輪胎的回正剛度和側偏剛度取自文獻[5]。列車載客量按照超員9人/m2，每車230人選取，乘客體重按50kg算。跨座式單軌交通的軌道梁采用典型試驗段Z206-25的等截面PC梁，軌道梁立面和標準截面見圖2～3。

圖2 Z206-25標準軌道梁（單位：mm）

圖3 軌道梁截面（單位：mm）

2.2 計算初始條件及單元劃分

數值計算采用4節列車編組，如圖4所示。計算車速為10～80km/h，車輛初始位移、速度、加速度都為零。計算中取6跨簡支軌道梁，其中包括第1、6跨為70m虛擬軌道梁，虛擬軌道梁為以一剛度無限大的梁體，主要給車輛上橋提供一個穩定的初始狀態，節省了計算的自由度，每跨剛性軌道梁僅劃分為3個梁單元；第2～5跨為22m標準軌道梁。簡支梁兩端各留0.4m懸臂端并設置支座，不考慮下部橋墩的影響。列車初始位置如圖5所示，四輛編組列車位于剛性軌道梁上，車頭位于剛性梁與標準軌道梁接縫處，計算開始車輛由剛性梁平穩進入22m標準軌道梁。

圖4 車輛編組

圖5 列車初始位置

3 軌道不平順的相關性分析

3.1 軌道不平順的定義

軌道經過長時間的運營，由于累積變形的不斷增大，形成了多種不平順：高低不平順，水平不平順，軌距不平順。目前，軌道不平順隨機特性的統計包括幅值統計和功率譜統計。一般用功率譜圖來描述其變化規律。跨座式單軌交通的走行輪、穩定輪和導向輪均與PC軌道梁直接接觸，所以軌道梁的上表面和側面軌道不平順是跨座式單軌交通車輛與軌道梁空間耦合振動的重要激振源。目前的相關研究表明，日本對一跨42.8m鋼-混凝土組合軌道梁和一跨34.8m鋼軌道梁表面不平順進行了實測并擬合出功率譜密度函數：

式中，Ω為空間頻率，單位為cycle/m，α，β，n為功率譜密度函數的相關參數，取值如表1所示。

表1 軌道梁不平順功率譜密度函數參數值

3.2 軌道不平順的數學描述

目前軌道不平順數值模擬方法國內外最常用的的主要有二次濾波法、三角級數法、白噪聲濾波法和周期圖法。本文采用三角級數法對上述軌道梁表面不平順功率譜密度函數進行數值模擬，得到不平順的時域樣本可表示為：

式中，ω（x）為所產生軌道不平順序列；S（ωk）為給定的軌道不平順功率譜密度函數；ωk（k=1，2，LN）為所考慮的頻率，其中ω1、ωn分別為所考慮頻率的下限和上限；Dω為頻率間隔的帶寬；φk為相應的第k個頻率的相位，可按照0～2π間均勻分布取隨機數值。

軌道不平順譜的頻率范圍對車橋系統動力響應的分析結果有很大的影響。尤其長波成分則對車體的振動加速度有較大影響，從而影響旅客的乘坐舒適度。在進行車橋系統振動分析時，軌道不平順譜波長的范圍選擇應考慮車輛、橋梁的自振頻率和計算車速的范圍。從車體振動的最不利情況考慮，計算時所采用的軌道不平順長波長λ應滿足

式中，V是車輛最高行車速度（km/h）；f為車體的自振頻率（Hz）。本文跨座式單軌交通車輛V=80km/h，車輛自振頻率f=0.912Hz，λ不應小于24.4m，本文波長上限取λ=30m。對于軌道不平順的短波而言，一般國內外軌檢車采取的不平順采樣間隔為0.25m，軌道不平順對應的最小有效波長為1m。所以波長范圍取λ=1～30m。根據日本軌道梁功率譜密度函數，采用三角級數法分別模擬出的一段1000m軌道不平順樣本如圖4～6所示。

圖4 走行輪軌道不平順樣本

圖5 導向輪軌道不平順樣本

圖6 穩定軌道不平順樣本

3.3 軌道不平順空間相關性

目前，國內外學者在進行鐵路橋梁車橋耦合空間振動分析時，常將軌道高低、方向、水平和軌距不平順中的一種或幾種的組合作為輸入的激振源。但必須分析各種軌道不平順類型之間是否相互獨立，若存在相關性，則它們同時作為激振源輸入時，存在能量重復輸入現象，造成車橋振動分析的誤差。跨座式單軌交通車橋振動問題存在著豎向走行輪，橫向導向輪和穩定輪共6條軌道不平順的激勵樣本輸入，故分析不同不平順之間的空間相關性對于計算結果的準確性十分必要。

若軌道不平順過程用｛η（x）｝表示，距離位移為s，則相關函數Rn（s）為乘積η（x）×η（x+s）的總體平均。研究表明，軌道不平順可以看做各態歷經的平穩隨機過程。其相關函數可由下式求得：

均值Ex或Ex+s可由下式求得：

如果試驗記錄只有在有限區間[0，x]給出，則相應式（5）和式（6）有以下估計式：

列車勻速行駛，則軌道不平順對可視為時間的平穩隨機過程，可知Rη（τ），其表達式為：

為便于計算，將式（7）和式（8）積分要用有限和來代替。為此，對實測不平順線作等步長△x抽樣，設樣本點數為N，則在區間[0，X]內，有：

將式（7）轉換為若干區間△x上的求和，則得近似式：

同樣的可以對s為0，△x，2△x，…，時計算Rη（s）。例如：

計算積分式（8）的積分區間為：

于是：

由式（11）對 m=0，1，2，…計算各種相關函數之值。

為求解Ex和Rn（m△x），采樣步長△x應該充分小。按抽樣定理，步長應符合：

式中，fc為截止頻率。

可見，采樣步長將會影響到數據處理的模擬。

如果將式（11）中的（xi）和η^（xi+m）改為1（xi）和2（xi+m），就得到計算兩種軌道不平順互相關函數：

若令式（13）中的m=0，則可得到方差：

最后兩種軌道不平順的互相關系數γη1η2為：

而 γη1η2是一個無量綱的量，且范圍為[-1，1]性質[7]：

（1）當 γη1η2=1 時，η1，η2之間為完全線性相關，η1，η2之間存在著確定的函數關系。

（2）當 0≤ γη1η2≤1 時，表示 γη1η2存在著一定的線性相關。 γη1η2的數值愈大，愈接近于1，表示 η1，η2之間直線相關程度愈高；反之 γη1η2的數值愈小，愈接近于0，表示η1，η2之間直線相關程度愈低。若0≤≤0.3 稱為微弱相關，0.3≤ γη1η2≤0.5 稱為低度相關，0.5≤ γη1η2≤0.8 稱為顯著相關，0.8≤ γη1η2≤1稱為高度相關。

本文運用三角級數法，由日本譜模擬出的6條1km長的跨座式單軌交通軌道不平順樣本之間的互相關系數如表2所示，由表中數據可知它們的范圍均在（0，0.3）之間，說明6條樣本之間微弱相關，可近似看做彼此獨立。所以在跨座式單軌交通車輛—橋梁空間耦合隨機振動分析中，6條軌道不平順樣本可以作為激勵分別輸入。

表2 不平順之間的相關系數

[1]馬繼兵.跨座式單軌交通系統靜動力行為研究[D].西南交通大學，2008.

[2]曾慶元，楊平.形成矩陣的“對號入座”法則與桁梁空間分析的桁段有限元法[J].鐵道學報，1986，8（2）：48～58.

[3]重慶市單軌交通系統動載試驗研究報告[R].成都：西南交通大學結構工程試驗中心，2005，12.

工程試驗中心，2005，12.[4]Chang Hun Lee，Chul Woo Kim，et al. Dynamic response analysis ofmonorail bridges under moving trains and riding comfort of trains [J].Engineering Structures，2005，27（14）：1999～2013.

[5]任利惠，周勁松，沈鋼，劉紹勇.基于特征根的跨坐式獨軌車輛的穩定性分析[J].同濟大學學報（自然科學版），2003，04：469～472.