跨座式單軌交通車(chē)橋系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)軌道不平順相關(guān)性分析

姜博

1 概述

根據(jù)前人研究成果[1～2]建立了跨座式單軌交通車(chē)橋系統(tǒng)車(chē)輛、軌道梁和輪軌接觸模型，基于彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)總勢(shì)能不變值原理推導(dǎo)出車(chē)橋系統(tǒng)總勢(shì)能，建立了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，形成了車(chē)橋耦合大系統(tǒng)的理論研究基礎(chǔ)。采用時(shí)域法進(jìn)行求解方程，研究跨座式單軌交通車(chē)橋系統(tǒng)的隨機(jī)性。軌道不平順是一個(gè)隨機(jī)的過(guò)程，在動(dòng)力仿真分析中常將其處理為平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程，它是系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的激振源。因此，研究和測(cè)定軌道不平順的統(tǒng)計(jì)特性，是研究車(chē)輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的基礎(chǔ)。

2 計(jì)算參數(shù)及單元?jiǎng)澐?/h2>

2.1 計(jì)算參數(shù)

由于本文以重慶市跨座式單軌I期工程（較新線）試驗(yàn)區(qū)段Z206-25為工程研究背景分析跨座式單軌交通車(chē)橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)，故本文實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均來(lái)自于該段試驗(yàn)[3]。車(chē)輛編組荷載模式見(jiàn)圖1所示。

圖1 試驗(yàn)車(chē)輛編組荷載模式

車(chē)輛參數(shù)采用文獻(xiàn)[4]中日本大阪跨座式單軌列車(chē)的參數(shù)，輪胎的回正剛度和側(cè)偏剛度取自文獻(xiàn)[5]。列車(chē)載客量按照超員9人/m2，每車(chē)230人選取，乘客體重按50kg算。跨座式單軌交通的軌道梁采用典型試驗(yàn)段Z206-25的等截面PC梁，軌道梁立面和標(biāo)準(zhǔn)截面見(jiàn)圖2～3。

圖2 Z206-25標(biāo)準(zhǔn)軌道梁（單位：mm）

圖3 軌道梁截面（單位：mm）

2.2 計(jì)算初始條件及單元?jiǎng)澐?/h3>

數(shù)值計(jì)算采用4節(jié)列車(chē)編組，如圖4所示。計(jì)算車(chē)速為10～80km/h，車(chē)輛初始位移、速度、加速度都為零。計(jì)算中取6跨簡(jiǎn)支軌道梁，其中包括第1、6跨為70m虛擬軌道梁，虛擬軌道梁為以一剛度無(wú)限大的梁體，主要給車(chē)輛上橋提供一個(gè)穩(wěn)定的初始狀態(tài)，節(jié)省了計(jì)算的自由度，每跨剛性軌道梁僅劃分為3個(gè)梁?jiǎn)卧坏?～5跨為22m標(biāo)準(zhǔn)軌道梁。簡(jiǎn)支梁兩端各留0.4m懸臂端并設(shè)置支座，不考慮下部橋墩的影響。列車(chē)初始位置如圖5所示，四輛編組列車(chē)位于剛性軌道梁上，車(chē)頭位于剛性梁與標(biāo)準(zhǔn)軌道梁接縫處，計(jì)算開(kāi)始車(chē)輛由剛性梁平穩(wěn)進(jìn)入22m標(biāo)準(zhǔn)軌道梁。

圖4 車(chē)輛編組

圖5 列車(chē)初始位置

3 軌道不平順的相關(guān)性分析

3.1 軌道不平順的定義

軌道經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)營(yíng)，由于累積變形的不斷增大，形成了多種不平順：高低不平順，水平不平順，軌距不平順。目前，軌道不平順隨機(jī)特性的統(tǒng)計(jì)包括幅值統(tǒng)計(jì)和功率譜統(tǒng)計(jì)。一般用功率譜圖來(lái)描述其變化規(guī)律。跨座式單軌交通的走行輪、穩(wěn)定輪和導(dǎo)向輪均與PC軌道梁直接接觸，所以軌道梁的上表面和側(cè)面軌道不平順是跨座式單軌交通車(chē)輛與軌道梁空間耦合振動(dòng)的重要激振源。目前的相關(guān)研究表明，日本對(duì)一跨42.8m鋼-混凝土組合軌道梁和一跨34.8m鋼軌道梁表面不平順進(jìn)行了實(shí)測(cè)并擬合出功率譜密度函數(shù)：

式中，Ω為空間頻率，單位為cycle/m，α，β，n為功率譜密度函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，取值如表1所示。

表1 軌道梁不平順功率譜密度函數(shù)參數(shù)值

3.2 軌道不平順的數(shù)學(xué)描述

目前軌道不平順數(shù)值模擬方法國(guó)內(nèi)外最常用的的主要有二次濾波法、三角級(jí)數(shù)法、白噪聲濾波法和周期圖法。本文采用三角級(jí)數(shù)法對(duì)上述軌道梁表面不平順功率譜密度函數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，得到不平順的時(shí)域樣本可表示為：

式中，ω（x）為所產(chǎn)生軌道不平順序列；S（ωk）為給定的軌道不平順功率譜密度函數(shù)；ωk（k=1，2，LN）為所考慮的頻率，其中ω1、ωn分別為所考慮頻率的下限和上限；Dω為頻率間隔的帶寬；φk為相應(yīng)的第k個(gè)頻率的相位，可按照0～2π間均勻分布取隨機(jī)數(shù)值。

軌道不平順譜的頻率范圍對(duì)車(chē)橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的分析結(jié)果有很大的影響。尤其長(zhǎng)波成分則對(duì)車(chē)體的振動(dòng)加速度有較大影響，從而影響旅客的乘坐舒適度。在進(jìn)行車(chē)橋系統(tǒng)振動(dòng)分析時(shí)，軌道不平順譜波長(zhǎng)的范圍選擇應(yīng)考慮車(chē)輛、橋梁的自振頻率和計(jì)算車(chē)速的范圍。從車(chē)體振動(dòng)的最不利情況考慮，計(jì)算時(shí)所采用的軌道不平順長(zhǎng)波長(zhǎng)λ應(yīng)滿(mǎn)足

式中，V是車(chē)輛最高行車(chē)速度（km/h）；f為車(chē)體的自振頻率（Hz）。本文跨座式單軌交通車(chē)輛V=80km/h，車(chē)輛自振頻率f=0.912Hz，λ不應(yīng)小于24.4m，本文波長(zhǎng)上限取λ=30m。對(duì)于軌道不平順的短波而言，一般國(guó)內(nèi)外軌檢車(chē)采取的不平順采樣間隔為0.25m，軌道不平順對(duì)應(yīng)的最小有效波長(zhǎng)為1m。所以波長(zhǎng)范圍取λ=1～30m。根據(jù)日本軌道梁功率譜密度函數(shù)，采用三角級(jí)數(shù)法分別模擬出的一段1000m軌道不平順樣本如圖4～6所示。

圖4 走行輪軌道不平順樣本

圖5 導(dǎo)向輪軌道不平順樣本

圖6 穩(wěn)定軌道不平順樣本

3.3 軌道不平順空間相關(guān)性

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在進(jìn)行鐵路橋梁車(chē)橋耦合空間振動(dòng)分析時(shí)，常將軌道高低、方向、水平和軌距不平順中的一種或幾種的組合作為輸入的激振源。但必須分析各種軌道不平順類(lèi)型之間是否相互獨(dú)立，若存在相關(guān)性，則它們同時(shí)作為激振源輸入時(shí)，存在能量重復(fù)輸入現(xiàn)象，造成車(chē)橋振動(dòng)分析的誤差。跨座式單軌交通車(chē)橋振動(dòng)問(wèn)題存在著豎向走行輪，橫向?qū)蜉喓头€(wěn)定輪共6條軌道不平順的激勵(lì)樣本輸入，故分析不同不平順之間的空間相關(guān)性對(duì)于計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性十分必要。

若軌道不平順過(guò)程用｛η（x）｝表示，距離位移為s，則相關(guān)函數(shù)Rn（s）為乘積η（x）×η（x+s）的總體平均。研究表明，軌道不平順可以看做各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。其相關(guān)函數(shù)可由下式求得：

均值Ex或Ex+s可由下式求得：

如果試驗(yàn)記錄只有在有限區(qū)間[0，x]給出，則相應(yīng)式（5）和式（6）有以下估計(jì)式：

列車(chē)勻速行駛，則軌道不平順對(duì)可視為時(shí)間的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，可知Rη（τ），其表達(dá)式為：

為便于計(jì)算，將式（7）和式（8）積分要用有限和來(lái)代替。為此，對(duì)實(shí)測(cè)不平順線作等步長(zhǎng)△x抽樣，設(shè)樣本點(diǎn)數(shù)為N，則在區(qū)間[0，X]內(nèi)，有：

將式（7）轉(zhuǎn)換為若干區(qū)間△x上的求和，則得近似式：

同樣的可以對(duì)s為0，△x，2△x，…，時(shí)計(jì)算Rη（s）。例如：

計(jì)算積分式（8）的積分區(qū)間為：

于是：

由式（11）對(duì) m=0，1，2，…計(jì)算各種相關(guān)函數(shù)之值。

為求解Ex和Rn（m△x），采樣步長(zhǎng)△x應(yīng)該充分小。按抽樣定理，步長(zhǎng)應(yīng)符合：

式中，fc為截止頻率。

可見(jiàn)，采樣步長(zhǎng)將會(huì)影響到數(shù)據(jù)處理的模擬。

如果將式（11）中的（xi）和η^（xi+m）改為1（xi）和2（xi+m），就得到計(jì)算兩種軌道不平順互相關(guān)函數(shù)：

若令式（13）中的m=0，則可得到方差：

最后兩種軌道不平順的互相關(guān)系數(shù)γη1η2為：

而 γη1η2是一個(gè)無(wú)量綱的量，且范圍為[-1，1]性質(zhì)[7]：

（1）當(dāng) γη1η2=1 時(shí)，η1，η2之間為完全線性相關(guān)，η1，η2之間存在著確定的函數(shù)關(guān)系。

（2）當(dāng) 0≤ γη1η2≤1 時(shí)，表示 γη1η2存在著一定的線性相關(guān)。 γη1η2的數(shù)值愈大，愈接近于1，表示 η1，η2之間直線相關(guān)程度愈高；反之 γη1η2的數(shù)值愈小，愈接近于0，表示η1，η2之間直線相關(guān)程度愈低。若0≤≤0.3 稱(chēng)為微弱相關(guān)，0.3≤ γη1η2≤0.5 稱(chēng)為低度相關(guān)，0.5≤ γη1η2≤0.8 稱(chēng)為顯著相關(guān)，0.8≤ γη1η2≤1稱(chēng)為高度相關(guān)。

本文運(yùn)用三角級(jí)數(shù)法，由日本譜模擬出的6條1km長(zhǎng)的跨座式單軌交通軌道不平順樣本之間的互相關(guān)系數(shù)如表2所示，由表中數(shù)據(jù)可知它們的范圍均在（0，0.3）之間，說(shuō)明6條樣本之間微弱相關(guān)，可近似看做彼此獨(dú)立。所以在跨座式單軌交通車(chē)輛—橋梁空間耦合隨機(jī)振動(dòng)分析中，6條軌道不平順樣本可以作為激勵(lì)分別輸入。

表2 不平順之間的相關(guān)系數(shù)

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