基于并行差分進化算法的相量測量單元優化配置

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(同濟大學 電子與信息工程學院,上海 201804)

PMU優化配置(OPP)問題是一個非確定性多項式(NP)問題,需要尋找一個有效且高效的算法。文獻[2]中提出了基于免疫二值粒子群算法的OPP,將安裝的PMU個數和不可觀測的節點數作為適應度函數,并使PMU個數最少。文獻[3]中使用非支配排序遺傳算法解決OPP問題,對所有的節點都根據支配和非支配關系進行分層排序,同一層節點指定同一個虛擬適應度,保證了同一層節點個體有相同的復制概率。文獻[4]中提出了利用免疫遺傳算法來解決OPP問題,并分析了電力系統中任意一個設備出現故障時的觀測情況。文獻[5]中使用二進制遺傳算法對PMU進行優化配置,考慮了傳統電流測量,在PMU配置確定的基礎上最小化電流相量測量數。文獻[6]中研究了基于禁忌算法的OPP,同時考慮了電力系統的完全可觀測性和最大冗余度。文獻[7-9]中分析了基于整數線性規劃的系統可觀測性。

差分進化(DE)算法由于其強大的全局優化能力引起了學術界的廣泛關注。1995年Storn等[10]首次提出了一種簡單、有效的DE算法。DE算法在OPP問題中也得到了應用。文獻[11]中考慮了電力系統完全可觀測的情況下DE算法在OPP問題中應用的有效性和準確性。文獻[12]中針對給定系統利用DE算法的5種變異策略實現OPP,使完全可觀測PMU數目達到最小。文獻[13]中討論了不考慮系統零注入節點和考慮系統零注入節點2種情況下,DE算法在OPP問題中的應用。

為了進一步提高DE算法的準確性,本文提出使用并行差分進化(PDE)算法解決基于全局可觀測的OPP問題。

1 基于全局可觀測的OPP問題模型

1.1 OPP問題的優化目標

對于一個具有n個節點的電力系統,根據給定的拓撲結構,系統OPP問題的優化目標是在滿足一定約束條件下,使得下式成立:

(1)

式中:f(x)為目標函數,表示電力系統配置PMU最佳方案時耗費的總價;n為給定的母線節點數,如果節點i上安裝了PMU,則xi=1(i=1,2,…,n),否則xi=0(i=1,2,…,n);wi為節點i上安裝PMU時耗費的造價,在本文中將wi作為常數來處理。因此,可以將式(1)的數學模型簡化為

(2)

式(2)中f(x)表示該電力系統配置PMU的最小數目。不失一般性,采用式(2)作為優化指標。

1.2 僅考慮系統全局可觀測

對于一個具有n個節點的電力系統,系統全局可觀測的約束條件可以表示為觀測函數f(X),如下所示:

f(X)=AX≥M

(3)

式中:X=x1,x2,…,xnT;A是一個n×n的矩陣,表示電力系統的拓撲圖所對應的鄰接矩陣,如果節點i與節點j連通或者i=j,則aij=1,否則aij=0;M是一個n階的單位列向量。

2.3.1 Box-Behnken模型建立及試驗結果。通過響應面設計Box-Behnken對GASP提取率建立數學模型，優化提取工藝參數，共有17個試驗點，12個分析因子，5個零點。以分析因子為自變量在A、B、C構成三維頂點；零點為區域的中心點。零點試驗重復5 次，用以估算試驗誤差[20]。以GASP提取率為響應值，試驗結果見表2。

以電力系統的IEEE-14節點系統[14]為例,如圖1所示。圖1中,橫向粗實線表示節點,數字1～14表示14個節點的編號,細實線表示輸電線,節點上的箭頭表示該節點上有負載,G表示發電機,雙圓圈符號表示變壓器。

圖1 IEEE-14節點系統拓撲結構Fig.1 Topology diagram of IEEE-14 bus system

由式(3)可知,對于節點1,為了達到節點1至少觀測一次(f1≥1),那么必須在其相鄰節點上配置PMU,即變量x1、x2或者x5中至少有一個值為非零。同理,如果整個IEEE-14節點系統完全可觀測,fi≥1(i=1,2,…,14)就都要成立,即要求每一個fi表達式的變量都至少有一個非零。

此時,OPP問題的數學模型就為式(2)和式(3)的聯立方程組。

1.3 考慮零注入節點且系統全局可觀測

對于一個具有n個節點的電力系統,考慮零注入節點且要求系統全局可觀測的約束條件可以表示為

f(X)=AX+C≥M′

(4)

同樣以IEEE-14節點系統為例,討論式(4)中零注入可觀測向量C和修改后可觀測需求向量M′的構成和取值。

在IEEE-14節點系統中,節點7為零注入節點,由圖1可知,節點4、節點8和節點9與零注入節點7相連接。假設節點i為零注入節點,與節點i相連接的節點數為k,如果(k+1)個節點中有k個節點的電壓可知,則可以計算出剩余那個節點的電壓。因此,如果節點4、節點7、節點8和節點9中任意3個節點可觀測,則通過計算可知第4個節點可觀測。構造零注入可觀測輔助變量h4、h7、h8、h9,如下所示:

(5)

式中:·表示邏輯與。比如,觀測函數中的變量f7、f8和f9都非零時h4=1,否則h4=0。列向量C的定義如下所示:

(6)

列向量M′定義為[15]

(7)

在IEEE-14節點系統中,C和M′分別為

C=0,0,0,h4,0,0,h7,h8,h9,0,0,0,0,0T

(8)

M′=1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1T

(9)

此時,OPP問題的數學模型即為式(2)和式(4)的聯立方程組。

2 PDE算法求解OPP問題的方法

本文提出的基于PDE算法求解OPP問題的具體流程如圖2所示。圖2中,P為種群迭代次數,Pmax為最大種群迭代次數。

圖2 PDE算法求解OPP問題流程Fig.2 Flow chart of PDE for OPP problem

3 實驗結果

本文按照第2節給出的PDE算法求解OPP問題流程,利用Matlab并行計算工具箱的spmd結構模塊實現DE算法的并行化。在IEEE-14節點系統、IEEE-30節點系統和IEEE-57節點系統算例上進行差分進化和并行差分進化,分別考慮系統全局可觀測和零注入節點且系統全局可觀測2種場景,比較DE算法和PDE算法的尋優能力和收斂速度。

本實驗環境如下所示:處理器為Intel(R) Core(TM) i3-3220 3.30 GHz;內存為4.00 GB RAM的操作系統,32 bit,Windows 7;Matlab版本為V7.11.0.584(R2010b)。

對同一系統,設置相同的算法參數,分別運用DE算法和PDE算法進行20次仿真實驗。實驗參數如表1所示。表1中,F為縮放因子,CR為交叉概率,D為數據的維數,N為個體的個數。Cmax定義為:假定某一個PMU配置候選解經過指定次數Cmax的迭代而保持不變,則認為算法已收斂,把該PMU配置候選解定義為PMU配置的最優解。仿真結果如表2和表3所示。

表1 DE算法和PDE算法初始參數設置Tab.1 Initial parameter setting of DE algorithm and PDE algorithm

表2 不考慮零注入節點情況下DE算法和PDE算法最優解對比Tab.2 Comparison of the best solution between DE algorithm and PDE algorithm without considering zero-injection node

表3 考慮零注入節點情況下 DE和PDE算法最優解對比Tab.3 Comparison of the best solution between DE algorithm and PDE algorithm considering zero-injection node

表2和表3是從PMU配置最優解平均值和在20次實驗結果中得到最小PMU配置最優解次數2個方面對DE算法和PDE算法進行比較。從PMU配置最優解平均值可以看出,對于IEEE-14節點系統,PDE算法相對于DE算法的PMU配置最優解平均值基本相同。對于IEEE-30節點系統和IEEE-57節點系統,PDE算法的PMU配置最優解平均值優于DE算法。從得到最小PMU配置最優解次數可以看出,PDE算法在有限的運行次數中可以尋找到更優的OPP問題的解。因此,當節點系統的維數增大時,PDE算法的優勢就會越明顯。

4 結語

本文提出了一種全局可觀測并行差分進化PMU配置方法。在不考慮零注入條件全局可觀測PMU配置和考慮零注入條件全局可觀測PMU配置2種情況下,將PDE算法與DE算法進行比較。結果表明,隨著系統規模的提升,PDE算法獲得比DE算法更優的PMU配置方案。

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