話說分數和分式

毛建國

進入中學后，你會發(fā)現分數、分式是數學表示和運算的基本形式之一.不過，分數并非一開始就為人類所掌握，像其他數學知識一樣，是在社會發(fā)展中逐漸成熟起來的.對于數與式，人類是先認識數的.

依據尤瓦爾·赫拉利的研究，早期人類每天只需勞作很有限的幾個小時，幸福感滿滿的.這中間免不了會有一些無聊的人，沒事的時候擺弄吃剩的果子，望著每天數目不等的梅花鹿從窩棚前跑過，以野外的捕獲量競相討好異性.于是1、2、3、4、5……自然數慢慢在生活中產生了.但隨著人口增長以及冰河時期自然環(huán)境的變化，人類為了攝取足夠的熱量，開始捕獲大型動物.不過，抓一只老虎可不像逮一只小羊那么簡單.為此，人類不得不進行分工、合作，進一步也就出現了分配問題.這可不像分配自然可數的果子那么簡單，為了共同的利益，咋辦？分而食之唄.長話短說，分數就這樣萌生了.

古巴比倫人曾使用過分母是60的分數.公元前1650年左右，古埃及《萊因德紙草書》卷首，記錄了一組分數分解表，把3到101之間的奇數分解為單位分數（分子為1的分數）之和，接著列出了87個問題，其中有應用分數的面包分配問題，甚至有14個問題涉及分數的乘法.在中國，晚周銅器銘文中出現過關于分數的敘述《.九章算術》的第一章《方田》已經講了分數四則算法！

如何合理表示分數是人類加深對分數認知的又一個關鍵.古時可沒有現在的符號系統(tǒng)，這肯定讓先賢們絞盡了腦汁.古人是怎樣記錄的呢？下面兩幅圖是古埃及紙草書記載的分數樣子.圖1分別表示，圖2分別表示古埃及人對一般分數的處理是先分解為單位分數，再進行運算，除了外，多是整數的倒數.

圖1

圖2

古代中國似乎沒有長期忍受單位分數的折磨，你可以說我們祖先會偷懶，但你不得不為這種大智慧發(fā)出驚嘆.現在想想，確實沒有必要糾結3被5分是哪幾個單位分數的和，直接記下“五分三”就是了.中國很早就廣泛使用分數了，但很長時期一直是用文字表述的，顯然不利于分數的運算和進一步研究.也可以想象，《九章算術》里的分數成果有多么了不起.南宋時期，秦九韶在《數書九章》中，獨創(chuàng)了分數的一種表示方法.如下圖，表示3056斤，明確標明了“子”和“母”的位置.與現代分數相比，就差那條華麗的分數線了.

分數線最早見于阿拉伯數學家花拉子米（783-850）的著作《還原與對消計算概要》.他比秦九韶還要年長400多歲，他是從除法角度引進分數線的，用表示3除以5.這條美麗的線段不是分隔母子的溝壑，而是聯(lián)結母子的彩帶.差不多與秦九韶同時代的意大利人斐波那契，早年師從北非的阿拉伯數學家，回國后寫了本《算經》，把分數線帶到了歐洲，對歐洲數學的發(fā)展產生了較大影響.

數與式在一定的意義上，具有相同的本質屬性，但式超越了數的具象束縛，是數的“2.0升級版”，是對數的一般性揭示.分式形式雖然出現得很晚，但人類對分式的思考也有很長的歷史.《九章算術》中已有通分、約分以及四則算法.顯然古人已超越了具體數字的束縛，抽象出更一般的屬性和規(guī)律，盡管沒有從形式上界定分數與分式，盡管只能依賴繁瑣的文字表述.也可以這么說，在分式出現之前，人類對分式的認識已經有七八成熟了.

偉大的法國數學家韋達在《分析方法入門》一書中，首次系統(tǒng)地使用符號表示未知量進行運算，提出符號運算與數的區(qū)別，規(guī)定了代數與算術的分界.韋達是第一個試圖創(chuàng)立一般符號代數的數學家，他開創(chuàng)的符號代數，經另一位偉大的法國數學家笛卡爾改進后成為現代的形式.從此，數學徹底擺脫了具象的束縛，進入抽象的代數階段.數學像籠中放飛的小鳥，進入高速發(fā)展的黃金時代.人類對分數理論的研究和完善，正式隨著代數式的發(fā)展進入分式階段，水到渠成、日臻完善.

今天，我們在課堂上這么輕易學會的分式，凝聚了人類的血汗.讓我們把數學學好，繼承前人的成果，開創(chuàng)人類的新未來吧！