聯合雙邊濾波器和小波閾值收縮去噪算法研究

劉尚旺， 郜劉陽， 王 博

(1. 河南師范大學計算機與信息工程學院，新鄉 453007； 2.“智慧商務與物聯網技術”河南省工程實驗室，新鄉 453007)

0 引言

圖像在采集、傳輸和存儲過程中不可避免會受到各種噪聲影響，從而造成圖像質量下降，影響其后續處理[1]。因此，對圖像進行預處理，特別是去噪處理是必不可少的步驟[2]。從圖像處理角度劃分，圖像去噪算法分為空間域和頻率域去噪算法[3]。常見的空間域圖像去噪算法有非局部均值濾波(non-local mean filter，NLM)和雙邊濾波器(bilateral filtering，BF)等。2005年，Buades等[4]提出了NLM算法，并利用圖像包含像素的局部鄰域信息進行圖像平滑，達到去噪效果； 譚茹等[5]采用最小二乘擬合法建立最佳濾波器參數值的預測函數，用來去除噪聲； 黃智等[6]采用基于圖像結構感知的塊奇異值分解方法定義鄰域間相似度，以降低損壞圖像信息程度； 周兵等[7]通過雙線性插值法處理未選中像素的權重，進行去噪優化。2010年，Tomasi等[8]提出了BF算法，結合像素點的空間位置和像素點的灰度值相似性進行空間域濾波； 楊學志等[9]結合區域分割通過對區域內與區域間進行不同模式的雙邊濾波，盡可能地保留圖像信息； Ramesh[10]通過引進中值濾波器對噪聲進行檢測分類，優化去噪結果； 袁華等[11]將噪聲細分為大尺度和小尺度噪聲，結合統計濾波和半徑濾波來進行大尺度噪聲去除，以保留圖像細節信息。

頻率域去噪則是將圖像從空間域變換到頻率域，通過頻譜分析達到去除噪聲的目的[4]。常見的頻率域去噪算法有偏微分方程(partial differential equation，PDE)和小波閾值收縮方法。1987年，Kass首次提出將PDE應用到圖像處理中，通過處理圖像底層信息，以取得較好的去噪效果[12]； 隨著PDE算法的廣泛應用，Halim等[13]采用有限差分方法對高斯噪聲進行不同程度的模擬，以達到不同圖層上的去噪； 蘆碧波等[14]在迭代過程中根據局部統計量檢測斑點，引入松弛中值濾波進行斑點抑制，取得了較好的圖像去噪效果。1998年，Donoho和Johnstone[15]提出小波閾值收縮方法，小波收縮閾值可以在均方差意義上獲得最優解，通過對閾值的選擇來使得圖像更為平滑，從而進行圖像去噪； 王蓓等[16]進一步改進閾值函數，利用小波基函數進行小波重構，從而達到圖像去噪的目的； Zhao等[17]基于優化小波變換的閾值，克服去噪中的不連續性，提高去噪效果； 胡然等[18]利用局部像素主成分分析算法，抑制了三維塊匹配算法中的小波閾值在去噪結果中產生的畫面不平滑問題，擴展了小波在三維圖像上的應用。

但是，空間域去噪算法只能在一定程度上消除圖像噪聲，且對圖像紋理信息損壞嚴重； 而頻率域去噪算法雖能夠對圖像紋理細節進行有效保護，然而去噪后的圖像邊緣信息會受到損失，去噪效果難以令人滿意[19]。針對上述問題，本文提出一種聯合BF和小波閾值收縮的圖像去噪算法。在空間域中，與NLM算法相比，BF算法能夠利用圖像中的鄰近區像素值保持較好的圖像邊緣信息； 在頻率域中，與計算復雜的PDE算法相比，小波閾值收縮方法使用短時傅里葉變換(short time fourier transform，STFT)[20]，相對簡單，同時還可以保留圖像紋理細節。故將2種濾波去噪算法相結合，在去除圖像噪聲的同時，能夠提高去噪圖像的整體質量。

1 相關理論

設零均值加性高斯噪聲圖像模型為

g(a,b)=f(a,b)+n(a,b)，

(1)

式中：f(a,b)為不含噪聲的圖像；n(a,b)為噪聲；g(a,b)為(a,b)位置上的像素值。有效地濾除噪聲圖像g(a,b)中含有的噪聲n(a,b)，就需要重新構建不含噪聲的圖像f(a,b)。

BF算法是采用局部加權平均的方法獲得重建后復原圖像的像素值，即

(2)

w(i,j)=ws(i,j)wr(i,j)，

(3)

(4)

(5)

小波閾值收縮方法的基本原理是： 由于一般認為小波系數較大的信號是實際需要保留的信息，而系數較小的信號則被認為是噪聲[7,12]，選擇合適的閾值，將大于閾值的小波系數保留，小于閾值的小波系數直接設置為0，通過閾值映射函數得到最終估計系數； 再對得到的估計系數進行反變換，就實現了噪聲濾除和圖像重建功能。

簡言之，采用BF算法在去除圖像噪聲的同時，可以較好地保留圖像邊緣信息。而小波閾值收縮方法在抵制噪聲的同時，能夠將圖像紋理信息保存下來。聯合這2種算法，可在有效去除噪聲的同時，很大程度上保留圖像邊緣和紋理細節信息。

2 聯合BF和小波閾值收縮圖像去噪

針對含有噪聲的圖像，首先選擇使用BF算法，將圖像分成2部分，即高對比度層和低對比度層[3,21]； 然后針對高對比度層在空間域采用BF算法對圖像去噪，而低對比度層在頻率域采用小波閾值收縮方法去噪，能夠在去噪的同時將圖像紋理信息保留； 最后融合高、低對比度去噪圖像為一整幅圖像，從而達到圖像去噪和保留圖像細節信息的雙重目的。本文算法流程如圖1所示。

圖1 本文算法流程

2.1 圖像分層

對含噪聲圖像采用BF算法進行圖像分層，并分別采用BF算法和小波閾值收縮方法去除高對比度層和低對比度層的噪聲。故原始圖像x可以近似的由2個去噪層總和組成，即

x=s+z，

(6)

式中s和z分別表示高對比度層和低對比度層。

但是，上述過程只是對圖像單個振幅波段的圖像進行去噪。由于BF算法可以對信號中大振幅進行保護，而小波閾值收縮方法對信號的幅度丟失較小。為了達到對整幅噪聲圖像去噪，保證信息的相對完整，通過遍歷所有含噪聲的振幅值，從大到小依次對圖像去噪，可以降低分層過程的信息損失。

2.2 高對比度圖像去噪

(7)

(8)

(9)

(a) 原圖 (b) BF算法去噪結果

圖2BF算法去噪效果

Fig.2BFdenoising

從圖2可以看出，使用BF算法對圖像去噪能夠較好地保留圖像邊緣，但是該算法在保留圖像邊緣高對比度信息的同時會丟棄圖像內部的紋理信息。

2.3 低對比度層圖像去噪

在頻率域，對要處理的低對比度圖層使用小波閾值收縮方法獲得低對比度信號。具體步驟如下： 首先，對實際信號通過小波基函數進行小波分解，選擇小波并確定分解層次n，噪聲通常包含在高頻中； 然后，對小波分解的高頻系數進行閾值量化處理； 最后，根據小波分解的第n層低頻系數和經過量化后的1～n層高頻系數進行小波重構，達到消除噪聲的目的。

此方法適合局部內核形狀的多邊形相似區域。然而相比BF算法，小波變換計算更簡單更容易實現。故為了增強適應性，使用自適應形狀的方法減去均值周圍的信號，其余信號保持在平衡周圍0的附近。但是為達到這種效果需要對小波基函數重新設置。Morlet小波是高斯包絡下的復指數函數，因其具有良好的時頻域特性[16]，被選為本文的小波基函數。為了避免在頻率域濾波產生的相位失真，通過實部構造濾波器。在上述步驟中，本文的Morlet小波實部ψr(t)和傅里葉變換ψ(af)分別為

(10)

ψ(af)=e-π2fb(af-fc)2，

(11)

式中：fb為帶寬參數；fc為中心頻率；af為傅里葉變換尺度。

根據貝葉斯估計準則，閾值計算公式為

(12)

式中：δ′表示小波收縮閾值；σ2為圖像噪聲標準差；σx為廣義分布的噪聲標準差。

(13)

(14)

(15)

式中Nm為頻率窗口中的像素數。最終結合式(10)—(11)，對比度zp,f為

(16)

小波閾值收縮去噪效果如圖3所示。

圖3 小波閾值收縮方法去噪效果

從圖3可以看出，引入小波閾值收縮方法對圖像去噪的同時能夠將圖像內部紋理信息較好保留，減小圖像邊緣信息的模糊。

2.4 聯合高、低對比度圖像去噪

(17)

(18)

式中:kp，f為收縮因子;rf為小波收縮參數，即為式(15)中的頻率。

3 實驗結果與分析

實驗平臺配置為： 操作系統為Windows 7； CPU Inter(R)Core(TM)i5-3470M 3.20 GHz； RAM 4 G； 軟件安裝環境為Matlab2012。為了說明本文算法的圖像去噪效果，選擇與NLM，BF，小波閾值收縮及PDE算法進行定性和定量實驗分析。

3.1 定性實驗結果與分析

采用空間分辨率為512像素×512像素的6幅原始灰度圖像(①Lena，②Boat，③Barbara，④Tiffany，⑤Peppers和⑥Man)進行對比實驗[23]。由于許多實際噪聲可以近似為高斯分布的白噪聲，在原始圖像中疊加高斯白噪聲(σ=0.01)后，相關算法的圖像去噪結果如圖4所示。

(a) 原圖

(b) 噪聲圖像

(c) NLM

(d) BF

(e) 小波閾值收縮

(f) PDE

(g) 本文算法

圖45種算法去噪結果

Fig.4Resultsoffivedenoisingalgorithms

從圖4可以看出，采用NLM算法，圖像的邊緣特征和內部紋理細節均出現模糊現象，去噪效果不好； 采用BF算法，對圖像邊緣信息保存較好，如圖像①帽子及上面的羽毛邊緣、圖像②船的輪廓及圖像③的整體輪廓都比較清晰，但是在頭發、水的紋理及面部信息等處存在模糊現象； 采用小波閾值收縮方法，圖像①帽子上的羽毛邊緣模糊，圖像②船的輪廓不清晰及圖像③頭巾邊緣模糊等； 采用PDE算法，對圖像局部特征的時頻域表示能力較差，而圖像局部邊緣特征、噪聲基本分布在高頻區域，因此遇到凹陷邊緣或噪聲時，部分信息保存不完整，易出現模糊現象； 本文算法不僅能夠去除圖像中所含有的噪聲，而且去噪后的圖像能夠很好地保留原圖像中的邊緣信息和紋理細節特征，使去噪后的圖像整體具有較高的視覺效果。

為了進一步分析各算法的去噪效果，可以根據去噪圖像的邊緣檢測結果和圖像的灰度直方圖來直觀地比較各去噪算法結果的邊緣和灰度值變化。6幅圖像的各相關算法去噪圖像邊緣檢測結果分別如圖5所示。

(a) 原圖

(b) 噪聲圖像

(c) NLM

(d) BF

(e) 小波閾值收縮

(f) PDE

(g) 本文算法

圖55種算法去噪后邊緣檢測

Fig.5Edgedetectionoffivedenoisingresults

從圖5可以看出，與原始圖像邊緣特征相比，NLM算法的圖像邊緣比較模糊，例如帽子邊緣、面部輪廓和頭發邊緣等； BF算法雖然圖像邊緣保存相對較好，但是以犧牲帽子和頭發處的紋理信息為代價； 小波閾值收縮變換方法的邊緣也出現模糊現象，特別是面部輪廓、帽子及羽毛的邊緣信息； PDE算法的邊緣仍都出現了邊緣模糊，面部信息也出現丟失現象； 本文算法既能夠有效保持原有圖像的清晰邊緣，又可以提高去噪圖像的清晰度。

各相關算法灰度直方圖如圖6所示。

(a) 原圖

(b) 噪聲圖像

(c) NLM

(d) BF

(e) 小波閾值收縮

(f) PDE

(g) 本文算法

圖65種去噪算法去噪后灰度直方圖

Fig.6Grayhistogramsoffivedenoisingresults

與圖6(a)相比，采用前4種算法去噪后圖像各像素點的灰度值變化比較大，而利用本文算法得到的圖像像素點灰度值變化不明顯，近似于原圖。所以，本文提出的去噪算法優于其他算法。

3.2 定量實驗結果與分析

為了定量分析圖像去噪效果，利用峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)[22]，進行對比試驗。其表達式為

(19)

(20)

式中：f(i,j)為原始圖像在(i,j)位置上的灰度值；MSE為均方誤差(mean square error)[23]；h(i,j)為去噪圖像在(i,j)位置上的灰度值；M×N為圖像的尺寸大小。

通過計算，6幅圖像在不同等級噪聲情況下，各算法PSNR值統計結果如表1所示。

表1 不同等級高斯噪聲下各種算法的PSNR值Tab.1 PSNR in different levels Gaussian noise (dB)

從表1中可以看出，圖像①在不同高斯噪聲等級下，本文算法的PSNR平均值為41.58； 圖像②在不同噪聲等級下，本文算法的PSNR平均值為40.96，6幅影像本文算法得到的PSNR平均值為40.99，比其他算法結果更好，去噪效果最佳。

為了進一步檢驗本文算法的有效性和魯棒性，在對測試圖像分別添加不同噪聲密度的椒鹽噪聲情況下，對各相關算法的PSNR值進行分析，結果如表2所示。

表2 不同椒鹽噪聲密度下各種算法的PSNR值Tab.2 PSNR in different densities impulse noise (dB)

由表2可以看出，雖然隨著椒鹽噪聲密度逐漸加大，去噪效果越來越差，但是本文算法的平均PSNR值依然比其他算法要高。主要原因在于，椒鹽噪聲與其周圍的像素點對比度較大，故導致了較大的梯度值，使其與邊緣點容易混淆，這給圖像分析尤其是邊緣檢測帶來很大的困難。但相比其他4種算法，本文算法從空間域和頻率域出發，將2種去噪效果融合，提高去噪后圖像的質量，確保了圖像信息的完整性。

3.3 遙感圖像測試

為了更深入地驗證各算法效果，隨機從風云衛星遙感數據網[24]中選取5幅空間分辨率為512像素×512像素遙感圖像進行去噪。由于通過灰度圖進行算法性能測試能更清楚地比較各算法的優劣[25]，故將相關圖像進行了灰度變換。5種算法的去噪結果如圖7所示。

(a) 原圖

(b) NLM

(c) BF

(d) 小波閾值收縮

(e) PDE

(f) 本文算法

圖7各去噪算法去噪后的結果圖像

Fig.7Resultsofdifferentdenoisingalgorithms

由圖7可以看出，NLM算法邊緣和內部紋理細節變得模糊，BF算法整體模糊但邊緣相對清晰； 小波閾值收縮方法邊緣部分模糊； PDE算法的邊緣信息和內容細節紋理也均出現模糊現象； 而本文算法不僅能夠去除圖像中所含有的噪聲，而且圖像邊緣清晰，模糊度低，相對去噪效果較好。

此外，對遙感圖像添加均值為0，方差分別為0.2，0.4，0.6，0.8和1的高斯噪聲，采用遙感圖像PSNR[22]和邊緣保持數(edge preserve index，EPI)[2,25]作為評價標準，稱平均衡量指標。2個指數值越高，表示算法去噪效果越好。各種算法的平均衡量指標結果如表3所示。

表3 不同等級高斯噪聲下各種算法的PSNR與EPI值Tab.3 PSNR and EPI in different levels Gaussian noise (dB)

從表3可以看出，隨著添加噪聲的方差越來越大，去噪后圖像的質量也越來越差，但是和其他算法相比，在噪聲方差由小變大的過程中，本文算法去噪后的PSNR和EPI值均還保持較高的數值，說明去噪后圖像的細節信息保存較好。另外，為了繼續驗證本文算法的魯棒性，對遙感圖像添加噪聲密度為0.1，0.3，0.5，0.7和0.9的椒鹽噪聲。各種算法的平均衡量指標結果，如表4所示。

表4不同椒鹽噪聲密度下各種算法的PSNR與EPI值

Tab.4PSNRandEPIindifferentdensitiesimpulsenoise(dB)

指標算法椒鹽噪聲密度0.10.30.50.70.9PSNRNLM16.3715.2814.7312.3811.57BF20.3519.4718.3817.5616.39小波閾值收縮13.6412.7211.5310.209.48PDE21.4620.5219.3718.0417.21本文算法24.5822.8822.3421.5420.37EPINLM0.2340.2050.1940.1870.172BF0.3830.3720.3600.3450.321小波閾值收縮0.1720.1580.1460.1350.120PDE0.4130.3920.3810.3650.334本文算法0.5310.5170.5020.4890.473

由表4可以看出，隨著椒鹽噪聲密度變大，去噪效果也逐漸下降。但和其他算法相比，本文算法的PSNR和EPI值仍較高，說明本文算法的遙感圖像去噪效果較好，而且去噪后細節信息仍保存較好。究其原因在于，本文算法中使用空間域中的BF算法可以保持較好的圖像邊緣信息，而使用頻率域中的小波閾值收縮方法能保留圖像紋理細節，因此在去除圖像噪聲的同時，提高了去噪后的圖像整體質量。

4 結論與展望

為提高圖像去噪后信息的完整性，在前人研究的基礎上，提出了一種聯合雙邊濾波器和小波閾值收縮的圖像去噪算法。分別在標準數據和遙感圖像上均取得了較好的去噪效果。在去噪的過程中，BF算法很難準確辨析圖像平滑區域及細節豐富區域的紋理信息，不能較好地保留紋理細節信息，結合小波閾值收縮方法可以在去噪的同時，保留原始圖像的細節信息，通過閾值設置最大程度地保證去噪后圖像的質量，降低邊緣和紋理細節信息的損失。但是本文僅進行了二維圖像去噪研究，在閾值設置上也還需要更準確的估計方法，后續將會不斷改進和完善，并將其擴展到三維圖像的去噪研究中。

參考文獻(References)：

[1] Knaus C,Zwicker M.Dual-domain image denoising[C]//Proceedings of 20th IEEE International Conference on Image Processing.Melbourne:IEEE,2013:440-444.

[2] 張 倩.基于雙重離散小波變換的遙感圖像去噪算法[J].國土資源遙感,2015,27(4):14-20.doi:10.6046/gtzyyg.2015.04.03.

Zhang Q.Remote sensing image de-noising algorithm based on double discrete wavelet transform[J].Remote Sensing for Land and Resources,2015,27(4):14-20.doi:10.6046/gtzyyg.2015.04.03.

[3] Huang Q G,Hao B Y,Chang S.Adaptive digital ridgelet transform and its application in image denoising[J].Digital Signal Processing,2016,52:45-54.

[4] Buades A,Coll B,Morel J M.A non-local algorithm for image denoising[C]//Proceedings of 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition.San Diego:IEEE,2005:60-65.

[5] 譚 茹,李婷婷,李偉偉,等.圖像去噪的自適應非局部均值濾波方法[J].小型微型計算機系統,2014,35(1):137-141.

Tan R,Li T T,Li W W,et al.Adaptive non-local means filtering method for image denoising[J].Journal of Chinese Computer Systems,2014,35(1):137-141.

[6] 黃 智,付興武,劉萬軍.混合相似性權重的非局部均值去噪算法[J].計算機應用,2016,36(2):556-562.

Huang Z,Fu X W,Liu W J.Non-local means denoising algorithm with hybrid similarity weight[J].Journal of Computer Applications,2016,36(2):556-562.

[7] 周 兵,韓媛媛,徐明亮,等.快速非局部均值圖像去噪算法[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2016,28(8):1260-1268.

Zhou B,Han Y Y,Xu M L,et al.A fast non-local means image denoising algorithm[J].Journal of Computer-Aided Design and Computer Graphics,2016,28(8):1260-1268.

[8] Tomasi C,Manduchi R.Bilateral filtering for gray and color images[C]//Proceedings of the 6th International Conference on Computer Vision. Bombay:IEEE,2010:839-846.

[9] 楊學志,徐 勇,方 靜,等.結合區域分割和雙邊濾波的圖像去噪新算法[J].中國圖象圖形學報,2012,17(1):40-48.

Yang X Z,Xu Y,Fang J,et al.New filter based on region segmentation and bilateral filtering[J].Journal of Image and Graphics,2012,17(1):40-48.

[10] Ramesh S.An efficient approach for removal of universal noise using adaptive based switching bilateral filter[C]//Proceedings of 2012 International Conference on Advances in Engineering,Science and Management.Nagapattinam:IEEE,2012:462-467.

[11] 袁 華,龐建鏗,莫建文.基于噪聲分類的雙邊濾波點云去噪算法[J].計算機應用,2015,35(8):2305-2310.

Yuan H,Pang J K,Mo J W.Denoising algorithm for bilateral filtered point cloud based on noise classification[J].Journal of Computer Applications,2015,35(8):2305-2310.

[12] 楊 燕.基于變分偏微分方程的圖像去噪及其快速算法[D].南京:南京郵電大學,2015.

Yang Y.Image Denoising Based on Calculus of Variations and Partial Differential Equations,and Its Fast Algorithm[D].Nanjing: Nanjing University of Posts and Telecommunications,2015.

[13] Halim S A,Ibrahim A,Sulong T N N T,et al.Fourth-order partial differential equation noise removal on welding images[J].AIP Conference Proceedings,2015,1682(1):020050.

[14] 蘆碧波,李 陽,王永茂.結合松弛中值濾波的高階彩色圖像迭代去噪算法[J].應用光學,2016,37(3):366-371.

Lu B B,Li Y,Wang Y M.Color image denoising using high order iterating model by combining relaxed median filter[J].Journal of Applied Optics,2016,37(3):366-371.

[15] Donoho D L,Johnstone I M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometrika,1994,81(3):425-455.

[16] 王 蓓,張根耀,李 智,等.基于新閾值函數的小波閾值去噪算法[J].計算機應用,2014,34(5):1499-1502.

Wang B,Zhang G Y,Li Z,et al.Wavelet threshold denoising algorithm based on new threshold function[J].Journal of Computer Applications,2014,34(5):1499-1502.

[17] Zhao R M,Cui H M.Improved threshold denoising method based on wavelet transform[C]//Proceedings of the 7th International Conference on Modelling,Identification and Control.Sousse:IEEE,2015:1-4.

[18] 胡 然,郭成城,楊劍鋒.基于小波閾值和主成分分析的視頻去噪算法[J].計算機科學,2016,43(4):290-293.

Hu R,Guo C C,Yang J F.Video denoising algorithm based on wavelet threshold and PCA[J].Computer Science,2016,43(4):290-293.

[19] Zhang S,Jing H J.Fast log-gabor-based nonlocal means image denoising methods[C]//Proceedings of 2014 IEEE International Conference on Image Processing.Paris:IEEE,2014:2724-2728.

[20] 魏 寧,楊元琴,董方敏,等.多模圖像交叉雙域濾波算法[J].中國圖象圖形學報,2016,21(6):691-697.

Wei N,Yang Y Q,Dong F M,et al.Cross dual-domain filter for denoising multi-mode images[J].Journal of Image and Graphics,2016,21(6):691-697.

[21] Lexin A,Nadler B,Durand F,et al.Patch complexity,finite pixel correlations and optimal denoising[C]//Proceedings of the 12th European Conference on Computer Vision.Florence:Springer,2012:73-86.

[22] Chen Q,Montesinos P,Sun Q S,et al.Adaptive total variation denoising based on difference curvature[J].Image and Vision Computing,2010,28(3):298-306.

[23] Liu J,Wang Y H,Su K J,et al.Image denoising with multidirectional shrinkage in directionlet domain[J].Signal Processing,2016,125:64-78.

[24] 張 凡.基于改進NAS-RIF算法的遙感噪聲圖像自適應復原[J].國土資源遙感,2015,27(2):105-111.doi:10.6046/gtzyyg.2015.02.17.

Zhang F.Self-adaptive restoration for remote sensing noise images based on improved NAS-RIF algorithm[J].Remote Sensing for Land and Resources,2015,27(2):105-111.doi:10.6046/gtzyyg.2015.02.17.

[25] 吳一全,吳 超.結合NSCT和KPCA的高光譜遙感圖像去噪[J].遙感學報,2012,16(3):533-544.

Wu Y Q,Wu C.Denoising of hyperspectral remote sensing images using NSCT and KPCA[J].Journal of Remote Sensing,2012,16(3):533-544.