拋物型交換四元數(shù)矩陣的性質(zhì)及其逆矩陣求法

孔祥強(qiáng)

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 菏澤 274015)

1 引言

四元數(shù)量子力學(xué)是現(xiàn)代量子力學(xué)的重要分支,它是建立在非交換的四元數(shù)代數(shù)上的量子力學(xué),與一般的復(fù)量子力學(xué)不同,其相應(yīng)粒子的波函數(shù)及其振幅是由四元數(shù)來表示.1849年,James Cockle提出了非交換的分裂四元數(shù),其形式為:

且滿足

分裂四元數(shù)代數(shù)H不是除環(huán),且含有零因子、冪零元和冪等元[1-4].對(duì)分裂四元數(shù)的研究得到了系列成果,見文獻(xiàn)[5-6]等.文獻(xiàn)[7]中首次研究了乘法滿足交換性的新代數(shù)系統(tǒng),即由交換四元數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng),該系統(tǒng)和分裂四元數(shù)系統(tǒng)一樣也是四維代數(shù)系統(tǒng),但交換四元數(shù)代數(shù)含有零因子和同位元.近年來,對(duì)交換四元數(shù)代數(shù)理論的研究逐步引起學(xué)者們的重視,且研究成果在數(shù)學(xué)和物理學(xué)等學(xué)科中均有很好的應(yīng)用[8-10],因此對(duì)交換四元數(shù)理論的研究顯得十分必要.文獻(xiàn)[11]介紹了交換四元數(shù)的分類情況,具體包括橢圓型交換四元數(shù)、拋物型交換四元數(shù)和雙曲型交換四元數(shù)等,但對(duì)每一類交換四元數(shù)并沒有做深入研究.文獻(xiàn)[12]研究了橢圓型交換四元數(shù)及其矩陣,得到此類交換四元數(shù)的性質(zhì),給出了此類交換四元數(shù)矩陣的復(fù)表示形式.相比較而言,學(xué)者對(duì)拋物型交換四元數(shù)和雙曲型交換四元數(shù)的研究很少.與文獻(xiàn)[12]不同,本文研究的是拋物型交換四元數(shù)及其矩陣,利用矩陣的實(shí)表示,得到此類交換四元數(shù)及其矩陣的重要性質(zhì),并給出了求拋物型交換四元數(shù)矩陣逆矩陣的新方法,且該方法可通過計(jì)算機(jī)得以輕松實(shí)現(xiàn).在本文結(jié)果的基礎(chǔ)上,可進(jìn)一步深入探討拋物型交換四元數(shù)矩陣的特征值問題、可對(duì)角化問題、行列式問題、蓋爾圓盤定理的推廣問題等;在本文思路的基礎(chǔ)上,還可展開對(duì)雙曲型交換四元數(shù)及其矩陣的深入研究.

2 拋物型交換四元數(shù)

設(shè)R為實(shí)數(shù)域,

且滿足

稱滿足條件的四元數(shù)a為拋物型交換四元數(shù)[11].

設(shè)

若ai=bi(i=0,1,2,3),稱a與b相等.定義加法和乘法如下:

拋物型交換四元數(shù)的共軛分三種形式,分別記為:

則

性質(zhì) 2.1設(shè)a,b∈HR,s∈R,則

(1)si=is;sj=js;sk=ks;(2)a=a(1)?a∈C;C為復(fù)數(shù)域;(3)ab=ba.

證明由乘法定義知(1)成立.

(2)由

則

(3)因

故

3 拋物型交換四元數(shù)的實(shí)表示

定理 3.1任何一個(gè)拋物型交換四元數(shù)都可以表示成實(shí)數(shù)域上的4階矩陣.

證明設(shè)

定義映射

則映射為雙射且

由此映射,可定義拋物型交換四元數(shù)集合為4×4實(shí)矩陣集合:

的子集合,HR和M4×4(R)本質(zhì)是相同的.故對(duì)拋物型交換四元數(shù)的研究可轉(zhuǎn)化為R上4×4矩陣的研究.R上4×4矩陣的性質(zhì)即為HR上拋物型交換四元數(shù)的性質(zhì).稱

為a的實(shí)表示,記為aR.

性質(zhì) 3.1設(shè)a,b∈HR,ξ1,ξ2∈R,tr(aR)為aR的跡,則

(1)(ab)R=aRbR;(2)(ξ1a+ξ2b)R=ξ1aR+ξ2bR;(3)tr(aR)=a+a(1)+a(2)+a(3).

證明(1)

則

故

(2)與(1)中類似的方法可得

特別地,當(dāng)ξ1=ξ2=1時(shí),

(3)由共軛及實(shí)表示定義

4 拋物型交換四元數(shù)矩陣及其性質(zhì)

設(shè)

稱A為一般的拋物型交換四元數(shù)矩陣.ā表示A的共軛,AT表示A的轉(zhuǎn)置,AH表示A的共軛轉(zhuǎn)置.Mn×n(C)表示n階復(fù)矩陣集合.對(duì)于B∈Mn×s(HR),a,b∈HR,有

若

則稱A為可逆矩陣,且

性質(zhì) 4.1 設(shè)A,B∈Mn×n(HR),則

(1)(AB)T=BTAT;(2)若A,B均可逆,則(AB)?1=B?1A?1;(3)(AB)H=BHAH.

證明設(shè)

其中

(1)

(2)由

故AB可逆,且 (AB)?1=B?1A?1.

(3)對(duì)A∈Mm×n(HR)而言,其共軛矩陣有三種形式:

要證的結(jié)論即為:

① (AB)H=(B′)T(A′)T; ② (AB)H=(B′′)T(A′′)T; ③ (AB)H=(B′′′)T(A′′′)T.

證明如下：

①

故

故

③

故

5 拋物型交換四元數(shù)矩陣的逆矩陣

定理 5.1設(shè)A,B∈Mn×n(HR),且滿足BA=In,則AB=In.

證明因?yàn)?/p>

則

故

即

則

所以

又

則

設(shè)

定義A的實(shí)表示矩陣為:

記為AR.

則Mn×n(HR)和M4n×4n(R)本質(zhì)上是相同的,故對(duì)拋物型交換四元數(shù)矩陣的研究可轉(zhuǎn)化為R上4n×4n矩陣的研究.R上4n×4n矩陣的性質(zhì)即為HR上拋物型交換四元數(shù)矩陣的性質(zhì).

性質(zhì) 5.1設(shè)A,B∈Mn×n(HR),則

(1)InR=I4n;(2)(A+B)R=AR+BR;

(3)(AB)R=ARBR;(4)若A可逆,則 (A?1)R=(AR)?1.

證明(1)由

取

由實(shí)表示的定義,InR=I4n.

(2)由

則

(3)利用與(2)類似的方法證得,

(4)由A?1存在,則

故

所以

定理 5.2設(shè)A∈Mn×n(HR),AR可逆,且 (AR)?1∈M4n×4n(R),則A可逆.

證明由

則

由于

取

則

由定理5.1知,

故

則

注 5.1定理5.2給出了求拋物型交換四元數(shù)矩陣A的逆矩陣的方法.具體可總結(jié)為以下幾步:

①寫出A的實(shí)表示AR;②求出AR的逆矩陣(AR)?1;③令

則

該方法使得利用計(jì)算機(jī)求拋物型交換四元數(shù)矩陣的逆矩陣成為可能.

6 算例

設(shè)

則

求得

所以

故

經(jīng)檢驗(yàn)所得結(jié)論正確.

7 結(jié)語

本文推導(dǎo)了拋物型交換四元數(shù)及其矩陣的重要性質(zhì);通過拋物型交換四元數(shù)矩陣的實(shí)表示,得到求該類矩陣逆矩陣的新方法,為進(jìn)一步研究拋物型交換四元數(shù)矩陣的行列式問題、可對(duì)角化問題,及特征值等問題提供了重要理論支撐.對(duì)交換四元數(shù)及交換四元數(shù)矩陣的研究已逐漸成為四元數(shù)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.另外,在本文的基礎(chǔ)上,還可展開對(duì)其他類型交換四元數(shù)及其矩陣性質(zhì)的研究.

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