離散數學教學改革探索

唐劍鋒,高 珍,黃 杰

（同濟大學 軟件學院，上海 201804）

0 引 言

離散數學是計算機科學與技術一級學科的核心課程,被稱為計算機專業第一核心主干課程,由此可看出該課程在計算機學科的重要地位。

離散數學以研究離散量的結構和相互關系為主要目標,其研究對象是有限個或可數個元素,因此它充分描述了計算機科學離散性的特點。通過該課程教學,學生理解并掌握計算機科學中離散數學部分的一些基本概念、基本思想、基本方法,同時具備解決離散問題的基本能力,并培養了學生的抽象思維能力,為后續課程(如程序設計語言、數據結構、操作系統、編譯原理、人工智能、數據庫、算法設計與分析、理論計算機科學基礎)的學習及碩士博士生階段的科學研究提供堅實的理論基礎。

在本科計算機專業,離散數學的授課范圍一般分為6個部分:數理邏輯(包括命題邏輯和一階邏輯)、集合論、關系和函數、圖論(含樹)和代數系統以及可選講的初等數論部分[1]。這6個部分是一個有機整體,如數理邏輯和集合論是圖論的基礎,二元關系是函數的基礎,函數是代數系統的基礎,圖論是一類特殊的代數系統等。每個部分都有大量的概念、定理和相應的證明,抽象程度高。

離散數學各部分間的內容與聯系如圖1 所示[2]。

相應地,離散數學的教學安排見表1。

圖1 離散數學各部分之間的內容與聯系

1 存在的問題

從以往的教學經驗和效果來看,學生的學習效果沒有達到理想狀態,主要原因在于:①離散數學的概念繁多,且普遍比較抽象,學生理解起來有困難;②離散數學是其他許多后續專業課程的基礎,如數據結構、組合數學、編譯原理、信息安全等,離散數學要跟這些課程很好地銜接起來,現有課時不夠;③離散數學是一門以理論學習為主的課程,學生的實踐學習時間不足,這將導致課程結束以后,學生對該課程的整體印象仍不夠深刻。

表1 離散數學教學安排

2 教學改革方案

具體的教學改革措施有:①端正學生的學習態度,使學生充分認識到學好離散數學的重要性;②在理論課時之外,補充難度等級不同的大量編程題,難度中等的作為必答題,難度較大的作為選答題,為后續課程(如數據結構)鋪墊;③教師授課以外,引入課堂討論時間,甚至讓部分優秀學生上臺講授,通過師生互動,加深學生對知識點的理解;④布置大量課外作業和習題,補充一些(國外的)教科書,拓展學生的知識深度和廣度;⑤進行全面的考試制度改革,嚴格實行課程任課教師、試卷命題教師和試卷審閱教師三級責任制;⑥建立健全對主講教師授課質量的考核機制,建立離散數學授課質量的全程化管理機制。

離散數學一般是為計算機及相關專業開設的一門基礎課,有部分學生錯認為離散數學是一門數學課,與本專業學習沒有直接聯系[3],產生無所謂的態度,學習積極性不夠高,主動性不夠強。

事實上,離散數學課程是計算機及相關專業本科階段為數不多的計算機與數學課程緊密聯系的橋梁課程。在這門課里面,學生不僅可以學習到一部分數學知識(這在代數系統和擴充講解的初等數論等部分尤其如此),更重要的是能為后續的計算機基礎課和專業課打下堅實的理論基礎。因此,在課程開始,就很有必要跟所有學生講清楚這一點。

為培養計算機科學與技術學科下的優秀本科生,學生的編程能力培養至關重要。雖然離散數學主要培養學生的抽象思維能力和數學推理能力,但其很多后續課程,包括數據結構、算法設計與分析、編譯原理、數據庫等,都需要學生具有很強的編程能力,因此,為了做好前后銜接,在離散數學課程中布置編程作業很有必要。

拿離散數學和數據結構課程的聯系舉例:①圖論(含樹)這一章與數據結構的聯系最為緊密,包括圖的連通性、圖的矩陣表示(主要著重于鄰接矩陣)、幾種特殊的圖(主要著重于二部圖和哈密頓圖)、圖的最短路徑問題以及樹中的霍夫曼樹和最小生成樹問題;②離散數學的集合論部分講述了集合的概念和運算,數據結構有集合的并、交、補、對稱差等源代碼實現以及基于集合的許多復雜數據結構;③離散數學的關系部分講述了等價關系與等價類,數據結構的集合與搜索部分會詳細論述確定等價類的鏈表方法及源代碼實現。這些跟編程相關的內容都可在離散數學課程中提前涉及,如果課時不允許,可以布置作業讓學生在課后完成,這樣學生在學習數據結構這門內容繁雜、知識體系龐大的課程時會有很好的課前準備。

除了要非常重視學生的實踐環節,留出充分的課堂討論和互動時間也很重要。教師切忌采取填鴨式教學模式,一堂課從頭講到尾,要留出足夠的時間讓學生思考,甚至辯論和質疑。要大膽請學生上臺講授自己對離散數學的理解,在黑板上演示對某個定理的推導過程,教師可以在一旁予以指導。教師可以設定情境、提出問題,然后組織學生猜想或作出假設性的解釋,進而進行全面完整的驗證并總結出規律。這對搞活課堂氣氛、激發學生學習的積極性是很有幫助的。

不經過學生的獨立思考并多做練習,離散數學的知識是無法牢固掌握的,因此一定要給學生留出一定數量的課堂習題和課后習題。如果學生不能在課堂上及時完成,要督促學生利用課后時間不折不扣地完成,這對學生鞏固所學內容、提高自身的自學能力至關重要。教師要仔細批閱學生的課后習題,對習題中暴露出來的問題,要利用課堂時間重點講解,以統一澄清錯誤的認識。

為了加大學生補充課外知識的力度,我們挑選了離散數學領域的經典教材《離散數學與應用》[4]。該書是截至目前各高校采用率最高的離散數學教材,僅在美國就被600多所高校用作教材,獲得了極大的成功。對于學有余力的學生,該書是滿足他們深入學習需求的最好教材。

此外,要嚴格實行任課教師、試卷命題教師和試卷審閱教師三級責任制,即任課教師負責把課程的核心知識傳授給學生,命題教師負責出期末考試A、B卷,審核教師負責對試題的難易程度、知識點涵蓋和可能的錯誤進行嚴格把關。任課教師事先并不知道考試題目,不可能將期末試題事先透露給學生,有利于考試公平公正。學生的最終成績由平時成績(包括平時簽到點名成績和課后習題成績)和期末考試組成,按3:7的比例組成。對于參加補考的學生,同樣嚴格要求,試卷難度不降低。對于補考仍不及格的學生,全部參加下一年課程的重修。

最后,離散數學教學改革成敗的關鍵是任課教師,要實行主講教師教學質量負責制。離散數學是一門比較難以講授的課程,主講教師要實行競爭上崗,重點考核教師的知識儲備和授課能力。要建立暢通完善的反饋機制,對學生的課堂評價,學校和相關學院教學督導的旁聽記錄,都可以按不同的權重作為評價教師授課質量的依據,作為課時費和年終考核的參考。對學生網上的評價和督導聽課的反饋,分管教學院長、教研室和任課教師應及時予以響應,有問題要及時進行整改,切忌等到課程全部結束后才發現問題。

3 結 語

近5年的教學實踐表明,這些多管齊下的教學改革舉措能取得良好效果。離散數學是本科一年級的基礎課,根據學生入學后幾年的口頭和書面反饋,表明離散數學對他們的后續課程幫助和啟示很大,為他們后續專業課程的學習掃清了障礙,以至于到了碩士和博士階段,仍有學生在繼續學習和鉆研這門課程,甚至發表相關學術論文并取得學術成果。

經過任課教師的統計,5年來,先后有約500人次選修了離散數學課程,其中有超過40%的學生獲得了優秀的成績,超過80%的學生獲得了良以上的成績。至少有兩屆學生參加了全國大學生數學建模競賽,并獲得了包括全國二等獎等優異成績。這對任課教師來說是一種莫大的欣慰和鼓勵。

[1]耿素云, 屈婉玲, 張立昂, 等. 離散數學[M]. 5版. 清華大學出版社, 2013.

[2]王霞, 顧勛梅, 潘祝山, 等. 離散數學教學改革及課程建設研究[J]. 計算機教育, 2011(6): 8-10.

[3]吳濤, 閔笛, 關心, 等. 離散數學教學改革探索[J]. 計算機教育, 2010(18): 44-47.

[4]Kenneth H R.離散數學及其應用[M].6版.袁崇義,屈婉玲,張桂蕓,譯.北京:機械工業出版社,2011.