基于量綱分析法的分段嗣后充填法采空區頂板穩定性判別

姜桂鵬，楊桂濤，劉新剛

（甘肅省合作早子溝金礦有限責任公司，甘肅 合作 747000）

由于設備和技術所限，20世紀我國有90%以上的大型地下鐵礦采用崩落法進行開采，崩落法具有快速高效的優點，但長期使用則會引起嚴重的地表塌陷，造成的環境破壞以及對礦區居民生產生活帶來安全威脅[1，2]。隨著開采深度的增加，崩落法造成的地表移動范圍日益擴大，為保護地表，避免引起災難性的地表塌陷事故，采用充填法替代崩落法開采地下礦石成為采礦技術發展的必然趨勢[3-5]。尤其隨著開采深度的增加，分段嗣后充填法將逐漸成為主要的開采方法。

分段空場嗣后充填法采空區跨度往往較大，且巖石的礦壓強度遠遠大于抗拉強度，因此，在上覆壓力的作用下，頂板更容易發生破壞，頂板成為采空區穩定性的控制因素。對采空區頂板的穩定性進行正確判別，具有重要的工程意義。

目前關于采空區頂板穩定性判別方法主要包括數值模擬、理論分析及現場監測等[6，7]，張敏思[8]等基于RFPA數值模擬方法，對采空區頂板安全厚度和臨界跨度進行了分析；柳小波[9]等基于ABAQUS有限元數值模擬對采空區頂板破壞機理及安全厚度進行了研究；王金安，孫琦[10，11]基于粘彈性理論及薄板對頂板礦柱的流變力學模型進行了研究，現有的頂板穩定性評價方法在工程實踐中由于分析和計算復雜而不方便應用[12]，因此需要尋求一種便于工程應用的模型分析頂板的穩定性。

在開采技術條件一定的情況下，采空區頂板厚度與跨度的厚跨比是影響頂板穩定性的主要因素[13，14]。量綱分析是建立數學模型的一個有力工具，具有簡單實用的特點。本文基于量綱分析法建立了分段空場嗣后充填法采空區頂板穩定性判別數學模型，并基于具體工程案例，結合數值模擬技術對該方法進行了驗證。

1 工程背景

某鐵礦是我國著名的大型地下金屬礦山，礦體呈南東45°走向，傾角約30°，區內礦體寬度大，最寬處達120m以上，是典型的緩傾斜厚大礦體。自1978年建礦以來，一直采用無底柱分段崩落法開采。礦體賦存的工程地質、水文地質和地表地形條件復雜，缺乏對崩落法開采過程中礦體上部圍巖錯動機理的研究和塌陷規律的監測，出現了大量的地表塌陷情況，一直是困擾該鐵礦安全生產和技術管理的重大難題。

隨著開采深度增加，崩落法開采引起的地表塌陷越來越大，后續開采深度還會進一步增加，必須用充填法來替代現有的崩落法進行開采。該鐵礦-500 m以下礦石及礦體頂底板巖石為中等穩固，因此選擇分段空場嗣后充填法進行開采，由于上部存在大量的崩落廢石，因此，進行采空區頂板穩定性設計及分析時，必須考慮上覆巖層的壓力。

該鐵礦礦體厚度較大，礦房垂直走向布置。沿礦體走向上將礦塊劃分為礦房和間柱，礦房和間柱交替回采。為了崩落法轉分段空場嗣后充填法的順利過渡，采場的主要參數不宜作重大改變。

因此采用分段空場嗣后充填法進行開采時，階段高度、礦塊排列方式和礦塊尺寸都不做調整。

2 頂板穩定性量綱分析數學模型

2.1 量綱分析法簡介

物理量的量綱反映了給定物理量與單位制基本量之間的關系，其比例系數等于1，它是相應基本量指數的乘積。因此，量綱可以用來分析物理量之間的關系，這種方法稱為量綱分析。

通常，一個物理量的量綱是由質量、長度、時間、溫度一類的基礎物理量的量綱結合而成。長度單位用L表示，質量單位用M表示，時間用T表示、溫度用K表示。進行量綱分析時，物理定律必須跟其計量物理量的單位無關。任何方程式，兩邊的量綱必須相同。其中，π定理是一種常用的量綱分析法。

設是與量綱單位無關的物理定律，X1，X2，…，Xn是基本量綱，，則的量綱如式1所示。

量綱矩陣記作：，若，則線性齊次方程組Ay=0有m-r個基本解，為：

且有，與等價，其中F為一未知函數。

2.2 頂板穩定性量綱分析法計算步驟

（1）總結歸納采空區頂板穩定性影響因素，記為，根據影響因素的物理意義及量綱確定基本變量，記為：；

（2）寫出qj的量綱：

矩陣稱為量綱矩陣，若A的秩rankA=r，則線性齊次方程組有m-r個基本解為：

則為無量綱的量；

（6）由解出物理規律。

2.3 分段嗣后充填法采空區頂板穩定性影響因素

對于分段嗣后充填法而言，由于頂板跨度大，易出現拉應力，而造成失穩，因此頂板成為采空區安全的關鍵因素之一。根據采空區特點，影響采空區頂板穩定性的主要包括外部和自身結構因素。

對于外部因素，忽略爆破震動、地下水等的影響，因此，影響頂板穩定性的重要因素為上覆巖層的壓力。由于地下采場往往較深，與上覆巖石的壓力相比，頂板的自重是一個極小量，因此忽略頂板的自重，只考慮上覆巖層的壓力。

根據頂板的幾何特征，頂板的結構主要包括厚度及跨度，因此兩者也是決定頂板穩定性的重要因素。頂板厚度越大，頂板越穩定，對頂板穩定性的貢獻也就越大。礦房的跨度越大，頂板越不穩定，反之越穩定。

經上述分析，確定影響頂板穩定性的四個最主要的因素：上覆巖石的壓力P、頂板的跨度W、厚度H及頂板中的應力σ。

表1 各影響因素的列表及符號

由于溫度的對采空區頂板穩定性影響較小，因此選擇質量[M]、長度[L]以及時間[T]作為基本量綱。利用基本量綱代換得出各影響因素的量綱，其量綱如表1所示。

2.4 頂板穩定性評價模型建立

根據上述分析可知，根據π定理，頂板穩定性影響因素滿足關系式：

則每個因素的量綱分別為：

則有量綱矩陣為：

求得A的秩rankA=2，則可知Ay=0有2個基本解。求解線性方程組，可得：

由π定理，可導出2個無量綱量π1，π2，即：

由等價關系可得：

對上式進行變換可得：

式中，為未定函數。

工程中頂板中的應力測量較為復雜，與應力測量相比頂板的位移測量更為簡單。利用應力、應變、位移相互之間的關系，將頂板中的應力轉換為應變，用應變表示頂板的穩定性。

巖石力學中認為巖石的破壞分為塑性破壞和脆性破壞。工程中開挖造成的破壞多為脆性破壞，因此計算時將頂板作為彈性材料。

松散巖石主要造成頂板下表面的拉破壞，由于巖石的各向異性且巖石的抗拉強度遠小于抗壓強度，因此在計算拉破壞時需要將巖石彈性模量弱化。式中E為彈性模量。如式7所示。

式中，為頂板應變；為簡化參數，

影響頂板中應變大小的主要因素是厚跨比r。若頂板的最大允許應變[ε]，將最大允許應變作為一個應變閥值代入式可得頂板穩定性判斷關系式：

根據式可確定頂板的臨界厚跨比，從而確定采空區的穩定性，并指導礦房設計。

3 工程實例分析

基于有限元理論，對采空區頂板的應力及應變進行計算。

3.1 采空區頂板數值計算模型及計算

3.1.1 數值模型構建

采場垂直礦體走向布置，采用“隔一采一”的方式進行回采，階段放礦、階段充填，取連續的3個礦房作為模擬對象。模型尺寸長×寬×高為200m×200m×200m，數值模型如圖1所示。

圖1 分段空場嗣后充填法數值模擬模型

3.1.2 邊界條件及參數選取

（1）材料物理力學參數

模擬對象是礦石。采用用摩爾-庫倫準則計算。計算中涉及到的礦石物理力學參數如表2所示。

表2 礦石物理力學參數表

（2）初始地應力場

該鐵礦上部采用無底柱分段崩落法，采區塌陷后在空區有松散的巖石填充，基本無構造應力，因此初始應力場采用自重應力場，利用均布荷載替代上部松散的巖石。選取松散巖石的容重為2.1 g/cm3，則頂板的上部壓力可等效為10.08 MPa。

（3）邊界約束條件

模型中設置除上端面自由面外的其它各面位移均為0。

3.1.3 計算方案

由于巖體的抗拉強度一般遠小于抗剪強度和抗壓強度，因此，若頂板下表面的拉應力σ≤σt(σt為巖體的抗拉強度)，即可認為礦房頂板沒有破壞。

在采場的長度和寬度方向的對稱中心分別建一個path路徑，用path路徑統計采場頂部在長度和寬度方向的應力和應變。各向上path路徑的起點和終點都在礦房頂板的端面上，路徑以左邊起點作為原點，與原點的距離為該點的坐標點，其path路徑建立結果如圖2所示。

圖2 Path示意圖

在模型計算中，初始頂板厚度為10m，按照1m間隔進行遞增至30m；初始礦房寬度為12m，按照1m間隔進行遞增至25m。

3.2 采空區頂板應力及應變分析

經過模擬得到采場的位移云圖和path路徑上位移及應變，模擬結果如圖3-圖9所示。

圖3為采場位移云圖，據圖可知，在三個進路中，中間礦房頂板的位移最大，另外兩個礦房的頂板位移相較小。

圖4和5為長度方向和寬度方向path路徑上應變，據可知，在頂板上的應變除兩端的幾個點外，其它的各點應變成拋物線趨勢變化。

圖3 采空區位移云圖

圖4 長度方向上各點的應變

圖5 寬度方向上各點的應變

圖6 長度方向各點的應力

圖7 寬度方向各點的應力

圖6和7為長度方向和寬度方向path路徑上應力，分析圖可知，在路徑上存在壓力和拉力。在間柱上主要分布為壓應力，在頂板上主要分布的是拉應力。端部位置的壓力比拉應力的值大，造成在端部位置的壓應變大于其他位置的拉應變。因此存在應變在路徑兩端波動。為了監測到頂板的最大拉應變，在建path路徑時，將path起點和終點與端部拉開1m的距離。

查看數據知，在不同參數下，采場頂板的應變變化規律具有相似性。分析各組數據發現，最大位移、最大應變、最大拉應力存在的位置是相同的，其位置在頂板的中心處。

將各組參數中的最大應變最為判斷頂板是否破壞的依據。各礦房跨度下頂板厚度與最大應變關系如圖8所示。

根據圖8可知，隨著頂板厚度的增加，頂板的應變在逐漸減小，說明頂板越厚，其穩定性越好。同時隨著礦房跨度的增加，頂板的應變逐漸增大，說明礦房跨度越大，其穩定性越差。因此如果需要礦房的頂板穩定，需要增加頂板的厚度，減小礦房的寬度。

圖8 各頂板厚度下礦房跨度與應變的關系

考慮頂板厚跨比，得到了不同厚跨比與最大應變的散點圖，并進行擬合，如圖9所示。

根據無量綱分析可知，頂板厚度和進路寬度之間存在一定的關系，該關系對頂板的穩定性存在影響。通過擬合分析，得到分段空場嗣后充填法中厚跨比和頂板應變的關系為：

并得到其擬合度為0.84，則相關性為0.916。分析結果表明相關性較好，說明厚跨比與頂板應變的關系成立。

圖9 厚跨比r與頂板應變ε的關系圖

由胡克定律可知，應力與應變的具有以下關系：

式中：E為拉伸彈性模量；為應變。

根據公式計算得到，頂板允許的最大應變。當采場頂板的最大應變小于0.000321時，采場的頂板是穩定的。將頂板最大應變0.000321作為一個閥值代入公式中，則有：

計算得到厚跨比r＞1.16，即表示厚跨比大于1.16時采場的頂板是穩定的。

若隔離礦柱厚度過大，可能會使礦山采掘失衡，造成資金閑置。因此厚跨比的取值有一定的上限，根據該鐵礦損貧率指標，厚跨比的上限值取2.5。

綜合考慮頂板穩定性和礦山生產，厚跨比的取值為1.16＜r＜2.5。

目前該鐵礦正在-520～-539 m分段3#采區進行分段空場嗣后充填法的工業試驗。實際生產過程中，由于采空區暴露面積較大，因此無法對頂板進行變形監測，只能通過觀察采空區是否有冒落、垮塌來進行判斷。現場工業試驗表明，表明采空區頂柱處于穩定狀態。該鐵礦的工程試驗檢驗了本文方法的有效性。

4 結論

本文分析了分段嗣后充填法采空區頂板的穩定性影響規律，采用量綱分析法建立了穩定性判別數學模型，結合有限元分析，對分段嗣后充填法采空區頂板穩定性進行判別，得到以下結論。

（1）根據該鐵礦實際條件，影響目前分段嗣后充填法采空區頂板穩定性的因素包括頂板上覆巖層重量、頂板厚度、頂板跨度及內部的應力分布，基于量綱分析法中的π定理，建立了穩定性判別公式。

（2）結合有限元數值模擬分析，計算得到了頂板內部的應力及應變，代入頂板穩定判別公式中，并考慮實際生產需要，計算得到了穩定的臨界厚跨比1.16＜r＜2.5，滿足了工程需要。

（3）本文將量綱分析法應用到了金屬礦山分段嗣后充填法采空區頂板的穩定性判別中，由于此法具有簡單高效，準確率高的有點，可快速的被現場工作人員掌握。雖然目前考慮的因素較少，但仍然為一種較好的方法和手段。正如錢學森所說：運用量綱分析方法須將問題的基本物理內涵分析透徹，分析越深入，結論越有用；也需要進行多次試探和修正，最終得到符合實際的滿意的結果。

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