瀝青路面加熱過程中溫度分布的隨機性研究

顧海榮，梁奉典，李金平，董強柱，徐信芯

(長安大學 公路養護裝備國家工程實驗室，陜西 西安 710064)

0 引 言

瀝青路面就地熱再生工藝中，首先利用加熱機對需要再生的舊瀝青路面進行加熱，待瀝青路面4 cm深處的溫度達到100 ℃以上時，通過耙松或銑刨、再生攪拌后攤鋪壓實，從而形成新的瀝青路面。就地熱再生過程中，加熱裝置的加熱功率很難保持在某一個定值，存在或大或小的分散性，而瀝青路面材料的不均勻，也會導致瀝青路面的導熱系數、比熱容以及密度等參數具有隨機特征。這些隨機因素對就地熱再生加熱過程中瀝青路面的溫度分布具有重要影響。

隨機溫度場研究已受到國內外研究者的重視，如Madera A G和Karniadakis G E等對穩態隨機溫度場進行了分析，給出了可計算隨機穩態溫度場響應均值和方差的解析表達式[1-2]；Emery A F對瞬態隨機溫度場提出一種多項式混沌算法[3]；祁長青等研究了青藏鐵路在環境溫度和凍土的熱學參數具有隨機性時的溫度場[4]；劉寧等提出了大體積混凝土結構溫度場的隨機有限元算法[5]；王小兵等研究隨機溫度場Monte-Carlo模擬法的一類近似處理的方法[6]。上述工作從不同角度研究了隨機溫度場問題，但是對瀝青路面就地熱再生加熱過程中溫度場隨機性的研究甚少。大多數學者在研究瀝青路面就地熱再生溫度場時，都將各物理參數視為確定性的單值變量，忽略了各種導致這些變量產生隨機性的因素。

本文結合Monte-Carlo隨機有限元法和MATLAB軟件，研究就地熱再生過程中的加熱熱流密度、瀝青路面材料的導熱系數、比熱容以及密度等參數的隨機性對瀝青路面溫度場的影響，獲得瀝青路面就地熱再生過程中溫度場的統計特性。

1 瀝青路面瞬態傳熱方程

圖1 截面

式中:T為瀝青混合料溫度(℃)；t為時間(s)；Φ為微元體內熱源的生成熱(W·m-3)；λ為瀝青路面的熱傳導系數(W·(m·K)-1)；ρ為瀝青混合料的容重(kg·m-3)；c為瀝青混合料的比熱容(J·(kg·K)-1)。

式中:qx為與傳輸方向相垂直的單位面積上的傳熱速率，即通過x方向的熱流密度。

類似的表達式也可用于與y、z方向上相垂直的熱流密度。

由式(1)和式(2)分析可知，影響瀝青路面加熱過程中傳熱的因素主要有瀝青路面的厚度hi和深度gi、導熱系數λi、密度容重ρi和比熱容ci以及瀝青路面表面的熱流密度q等。

本文主要分析熱流密度q、瀝青路面的導熱系數λi、比熱容ci以及密度ρi的隨機性對瀝青路面溫度場隨機性的影響。

2 瀝青就地熱再生溫度場的隨機性研究

瀝青路面加熱過程中的各參數為隨機參數，需采用隨機有限元法進行分析。考慮到隨機變量較多，若用純數學的方法很難推導出節點溫度變化的表達式。故本文采用Monte-Carlo法進行隨機模擬[8]。

根據模型尺寸及相關參數建立瀝青路面的三維有限元模型(將瀝青路面視為一個均質體，路面結構各層組成材料均勻、連續且各向同性)。加熱裝置在路表面進行加熱，由于持續加熱時間有限，路面內部溫度傳遞速度較慢，熱量還來不及傳遞到下面層、基層、底基層和路基層。因此，本文建立的瀝青路面三維模型模擬深度僅到中面層，模型尺寸為0.01 m×0.01 m×0.10 m[9-10]。利用8節點六面體的實體單元Thermal solid70進行網格劃分。水平方向上網格尺寸設為0.002 m。深度方向上沿路面結構自上而下進行劃分，上面層網格尺寸設為0.002 5 m，劃分為16層；中面層網格尺寸設為0.003 75 m，劃分為16層，如圖2所示。

圖2 瀝青路面有限元模型

針對各種瀝青混合料的熱物性參數方面的研究，國內外研究學者做了大量的工作，也得出了很多有價值的數據，現將研究所得的數據結果進行整理，如表1所示。

表1 國內外瀝青混合料熱物參數范圍值

在瀝青路面加熱過程中，一般要求將4 cm深處的溫度加熱到100 ℃以上。因此，本文只需考慮瀝青路面上面層各熱學參數的隨機性，利用密度公式ρ=M/V，式中：M為混合料的質量；V為混合料的體積。進行多次測量并計算出某一瀝青混合料的密度，根據熱平衡原理測出這一瀝青混合料的比熱容，同時采用防護熱板法進行其導熱系數的測量。并將這些熱學參數作為基本隨機變量[11]。各隨機參數的均值如表2所示。

表2 隨機變量均值

將瀝青路面表面溫度記為T0、瀝青路面深度0.5cm處溫度記為T0.5、以此類推間隔0.5cm分別記為T1、T1.5、T2、T2.5、T3、T3.5和T4。提取上述各深度的溫度曲線，并儲存。

將建模分析命令生成一個完整的命令流文件，作為ANSYS中概率設計模塊PDS的輸入文件。選擇Monte-Carlo拉丁超立方法作為概率設計方法。模擬次數設為5 000次，隨機變量q、λ、c、ρ的變異系數[12-13](均方差與均值之比)分別為vq、vλ、vc和vρ。

為了檢驗設定的模擬次數是否足夠，圖3給出了多次模擬后路面表面加熱130 s時溫度的均值收斂曲線。由圖3可以看出，目標變量溫度的均值收斂曲線在模擬2 000次后趨于穩定，表明模擬次數足夠，所求出的溫度準確。

圖3 目標變量溫度的均值收斂曲線

模擬完成后就可對不同時刻瀝青路面結構的溫度場進行統計分析。圖4為各隨機變量的變異系數均為0.03(即vq=v=vc=vρ=0.03)時路面表面溫度場的概率密度分布圖。

圖4 概率密度分布

由圖4可知，瀝青路面表面溫度在不同時刻的溫度概率密度分布總體上符合正態分布。為了進一步驗證其概率密度分布類型，將ANSYS中計算出來的表面溫度加熱130 s的結果導入MATLAB軟件中進行概率密度函數分析，經擬合后呈現出明顯的正態分布，如圖5所示。

圖5 130 s時表面的溫度分布概率密度

利用MATLAB軟件可獲得T0～T4在110、130、150 s(130 s為加熱到目標均值在180 ℃，即達到就地熱再生施工表面最高允許溫度的情況)的均值和變異系數。為了便于比較，表3給出了T0～T4溫度分布在各個時刻的均值和變異系數。結合圖5和表3，若按3σ原則可知表面溫度加熱130 s時所在區間為[μ-3σ，μ+3σ]，即[165 ℃，202 ℃]，可見參數變異性對溫度分布變異性的影響非常明顯，考慮參數變異性后，加熱后的路面各點溫度服從統計規律，不再是單一值，這更符合實際施工情況。

為了考察各參數的隨機性對瀝青路面熱再生溫度場分布的影響，在隨機模型中分別考慮了熱流密度q、瀝青路面導熱系數λ、瀝青路面比熱容c以及瀝青路面密度ρ其中之一為隨機變量和四者同時為隨機變量的情況。

圖6繪制出了加熱130 s時各參數的變異性對溫度分布隨深度變化的趨勢圖。

圖6 加熱130 s時各參數的離散性對溫度分布隨深度變化的趨勢

圖6、7分別繪制出了加熱130 s時各參數的離散性和變異性對溫度分布隨時間變化的趨勢。由圖6可知，vc和vρ對溫度響應影響的趨勢圖幾乎重合，這表明vc和vρ對溫度響應的影響是幾乎一樣的。

由表3、圖6和圖7可知以下幾點。

(1)當各參數的分散性增大時，溫度分布的分散性呈現出增大的趨勢。同時考慮熱傳導中各參數的隨機性，溫度分布的分散程度要大于只考慮單個參數的分散性時的分散程度。隨著時間推移，節點溫度的分散性也增加。

(2)熱流密度q的分散性對瀝青路面表面溫度分散程度的影響是最大的，且隨著深度的增加，其分散性對溫度分布分散程度的影響迅速減小。因此在施工時應該要精確控制熱流輸入，減小其波動性。在瀝青路面上面層內部，比熱容c和密度ρ的分散性對溫度分布分散程度的影響最大，且二者的影響幾乎相當。

表3 瀝青路面不同時刻不同深度處節點溫度的均值和變異系數

圖7 加熱130 s時各參數的變異性對溫度隨時間變化趨勢的影響

(3)對于瀝青路面上面層，導熱系數λ的分散性對溫度分布分散程度的影響先減小后增大然后再減小；比熱容c和密度ρ的分散性對溫度分布分散程度影響先增大后減小。

(4)單獨考慮每個參數的分散性對溫度分布分散性的影響時，熱流密度q、比熱容c和密度ρ的分散性對瀝青上面層溫度分散性的影響隨加熱時間的增加而增大。

(5)本文所建模型雖沒有考慮就地熱再生機組運行速度的差異對溫度分布分散性的影響，但在加熱相同長度的瀝青路面時，行駛速度越快，則加熱時間越短；行駛速度越慢，則加熱時間越長。故加熱機組速度差異的影響可通過不同時刻溫度的變異性大小來體現，正如本文加熱到110 s、130 s和150 s的情況。

3 結 語

本文利用Monte-Carlo隨機有限元法和MATLAB軟件，研究了瀝青路面就地熱再生加熱過程中溫度分布的隨機性。該法可利用溫度變化的變異系數或均方差來衡量實際施工中隨機因素對加熱溫度分布的影響，并分析了各隨機因素對溫度分布的影響，得出以下結論。

(1)考慮熱傳導中各參數的隨機性時，溫度分布的分散程度大于只考慮單個參數的分散性時的分散程度，且隨著各參數分散性的增大，溫度分布的分散性亦呈現出增大的趨勢。隨著時間推移，節點溫度變化的分散性也增加。

(2)導熱系數λ、密度ρ、熱容c以及熱流密度q的分散性對溫度分布分散性的影響是有差異的，同一時刻熱流密度q的分散性對瀝青路面表面溫度分布分散性的影響是最大的，且隨著深度的增加其影響迅速降低；在瀝青路面上面層內部，比熱容c和密度ρ的分散性對溫度分布的分散程度影響占主要地位，且二者的影響幾乎相當。

(3)基于熱學參數分析結論可知，熱學參數的隨機性會導致溫度分布的隨機性，因此要求在熱再生時應盡可能減小各參數的隨機性，如提高加熱機加熱系統的控制精度，將加熱功率即熱流密度嚴格的控制在某一恒值上。

參考文獻：

[1] MADERA A G,SOTNIKOV A N.Method for Analyzing Stochastic Heat Transfer in a Fluid Flow [J].Applied Mathematical Modelling,1996,20(8):588-592.

[2] KARNIADAKIS G E，XIU D B.A New Stochastic Approach to Transient Heat Conduction Modeling With Uncertainty [J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2003,46(24):4681-4693.

[3] EMERY A F.Some Thoughts on Solving the Radiative Transfer Equation in Stochastic Media Using Polynomial Chaos and Wick Products As Applied to Radiative Equili-Brium [J].Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer,1997,123(12):1219-1229.

[4] 祁長青,吳青柏,施 斌,等.青藏鐵路凍土路基溫度場隨機有限元分析 [J].工程地質學報,2005,13(3):330-335.

[5] 劉 寧,劉光延.大體積混凝土結構溫度場的隨機有限元算法 [J].清華大學學報:自然科學版,1996,36(1):41-47.

[6] 王小兵,陳建軍,梁震濤,等.隨機溫度場Monte-Carlo法的一類近似處理 [J].系統仿真學報,2007,19(10):2156-2160.

[7] 董強柱，顧海榮，張 琿，等.就地熱再生過程中的瀝青路面加熱功率控制[J].中國公路學報,2016,29(4):153-158.

[8] 張德育,黃曉明,馬 濤,等.瀝青路面就地熱再生加熱溫度場模擬分析[J].東南大學學報：自然科學版,2010,40(6):1282-1287.

[9] 馮德成,胡偉超,于 飛,等.瀝青路面材料熱物性參數對溫度場的影響及敏感性分析[J].公路交通科技,2001,11(28):12-19.

[10] 馮德成,李興海,郭大進,等.基于熱物理特性的瀝青混合料的研究[J].公路交通科技,2010,27(3):28-33.

[11] DINA KUVANDYKOVA.A Model for Predicting Thermal Properties of Asphalt Mixtures From Their Constituents [D].Russia:Ufa State Petroleum Technological University,2007.

[12] 李金平.不確定性溫度場和結構的分析方法研究 [D].西安:西安電子科技大學,2009.

[13] 李興海.瀝青混合料的熱物特性研究 [D].哈爾濱:哈爾濱工業大學,2007.