電磁散射在層狀空間目標的FDTD計算

張卜文

(中煤科工集團西安研究院有限公司，西安 710077)

0 引言

在雷達探測技術中，利用目標對電磁波的散射特性實現目標的識別問題，通常采用時域有限差分(finite-difference time- domain，FDTD)方法、矩量法、有限元等方法進行數值模擬。

在電磁散射問題數值計算時，目標的復雜性直接決定著數值計算方法的難易程度。目標的復雜性主要體現在目標的外形及結構復雜、目標的材質復雜和目標所處的背景復雜等方面。FDTD方法在處理這些復雜目標的電磁散射時具有一定的優勢，①對于外形及結構復雜的目標，FDTD計算需要變化的僅僅是建模部分，而迭代計算模塊沒有任何差異；②對于材質復雜的目標，僅需要對迭代計算部分進行特殊處理，而吸收邊界、總場-散射場(TF/SF)邊界和外推邊界依然保持不變。在這幾類復雜目標電磁散射特性計算中，背景復雜的散射問題數值處理難度則急劇增大。

散射目標所處的背景以自由空間最為基礎：吸收邊界截斷的是均勻的自由空間，總場-散射場邊界上需要引入的僅僅是沿著單一方向入射的均勻平面波，外推邊界處理的也僅僅是自由空間遠區格林(Green)函數，因此自由空間問題FDTD計算的處理難度相對最低，目前技術已經十分成熟[1-2]。除此之外，任何復雜空間內電磁散射問題的計算都要涉及三大邊界的特殊處理。相對較復雜的背景是半空間，目前采用間接的頻率域三波法已基本解決[3]：要對兩種介質組成的空間進行截斷處理，還要考慮均勻平面波在介質分界面處的反射和透射，更要特殊處理分界面對近區等效電磁流源的輻射場產生的影響。更復雜的是層狀空間[4-10]，在各層內可能存在入射、反射、透射以及多次諧振現象，使得均勻平面波的設置和遠區散射場的計算更為困難。

因此，筆者對層狀背景中目標電磁散射的FDTD計算方法進行研究，并將該方法用于計算層狀空間模型的電磁散射場。

1 基本理論

FDTD計算遠場散射的基本理論主要是三大邊界的處理。筆者從均勻平面波引入和遠區散射場計算兩方面來分析，而截斷邊界采用具有資源消耗少、適用范圍廣、吸收效果好、數值實現簡單等優點的卷積完全匹配層(Convolutional perfectly matched layers, CPML)吸收邊界[11]。

1.1 近場區引入均勻平面波

應用如圖 1所示的二維層狀半空間FDTD計算系統，分以下幾個步驟引入均勻平面波[7-8]：①用自由空間中沿入射方向(kinc方向)上采用常規的1D-FDTD計算模擬初始激勵源；②用該激勵源投影到一維修正時域有限差分(1D-MFDTD)在最上層中的TF/SF邊界處，從而生成垂直向下的單向行波，其中的1D-MFDTD是后面用來產生二維TF/SF縱向側邊界上的時域波形的；③用該單向行波在二維TF/SF橫向邊界的時間軸上投影并插值，從而確定出二維TF/SF邊界上的時域波形，并實現均勻平面波源的引入。

圖1 層狀半空間二維FDTD計算模型Fig.1 Layered half space two-dimensional FDTD computing model

在方案的實施中，技術的關鍵是在總場-散射場側邊界上用1D-MFDTD模擬均勻平面波在各層中的反射、透射以及多次諧振的波形。

1D-MFDTD是在離散化一維修正Maxwell方程組后得到的FDTD算法，而帶有入射角度參量(θ)的一維Maxwell方程組就稱為一維修正Maxwell方程組[6]。它在二維Maxwell方程組基礎上的推導過程如下。

(1)

通過復合函數求導關系可得式(2)。

(2)

基于該關系，直角坐標系中垂直極化波(TM波)模式的Maxwell方程組可寫為式(3)。

(3)

基于式(3)推導可得到式(4)。

(4)

離散(4)中前兩項即一維修正Maxwell方程組得到1D-MFDTD迭代式，進而模擬二維TF/SF側邊界上各層中的場分量Ez和Hx，并通過第三項輔助得到Hy，然后在時間軸上投影并插值得到TF/SF橫邊界上的場[7]，這樣就生成了在二維FDTD計算中引入均勻平面波所需的所有場分量。

1.2 遠區散射場分析

在得到近場數據后，為避免出現復雜的Sommerfeld積分，這里用互易原理得到簡化的近-遠場外推計算過程[5]。對于TM波情況，遠區散射場可表示為式(5)。

(5)

(6)

為簡單起見，通常設置Iφ=1。對于層狀半空間，最上層媒質(編號“0”)中用式(6)計算得到遠區無限長試電流Iφ激發的入射電場的幅值為Ei，入射方向與y軸夾角(即入射角)θ的余角為φi，則各層中的電磁場分量依次表示為[4]：

(7)

其中：Am和Bm分別為入射和反射波復振幅；um和vm分別為各層中沿y和x方向的傳播常數，它們表示為：

vm=γmcosφm=γ0cosφi=v0

(8)

(9)

(10)

在確定不同角度φ時的Am和Bm[4]后，應用式(7)就可得到試電流在層狀空間任意位置處的場，結合外推邊界上等效電磁流和式(5)，可求得復雜層狀空間目標在遠區的雙站電磁散射場。TE模式的分析過程類似。

2 算例驗證及分析

2.1 算例1

計算半空間目標的散射場，來驗證近場區引入均勻平面波的算法和遠區散射場的計算理論。

圖2 半空間直角劈錐模型Fig.2 Half space rectangular Pizhui model

模型如圖 2所示，其背景是最簡單的層狀空間，上層為自由空間，下層空間的相對介電系數為εr=2.56。在介質交界面上放置一無限長介質劈錐，其相對介電系數為εw，劈錐斜面仰角為60°，直角短邊長為4 m。垂直極化的均勻平面波沿135o角斜入射于介質交界面。

此外，還計算了半空間中存在劈錐(取εw= 2.56)時近區場的情況。在相同時間步時，近區入射場與散射場疊加的混合場分布及其在監測點(0,+7.5m)與(0,-7.5m)處的時域波形分別如圖 5和圖 6所示。我們發現，由于劈錐的散射作用，使得入射、反射和透射的均勻平面波發生了畸變，這在監測到的電場時域波形中也得到體現。從圖 5可以看出，存在劈錐的半空間場值的大小超出了純半空間電場的取值范圍，最小值超出圖 4取值范圍是由于均勻平面波從光疏媒質(自由空間)進入光密媒質(下半空間和劈錐)時，半空間分界面和劈錐斜面兩次反射疊加造成的；最大取值超出范圍是電磁波從光密媒質(劈錐)進入光疏媒質(自由空間)時與入射波疊加產生。

圖3 不存在劈錐的半空間近區電場分布圖Fig.2 There is no Pizhui area near half space electric field distribution

圖4 純半空間中監測點處的電場時域波形Fig.4 In pure monitoring points in the half space of a time domain waveform

考察遠場算法，為了與文獻[3]的結果比較，在TM模式時定義如下遠區散射場：

(11)

圖5 2模型的近區電場分布圖Fig.5 Near district electric field distribution of the model 2

圖6 2模型中監測點處的電場時域波形Fig.6 In monitoring points in the model 2 of a time domain waveform

在εw=2.56和εw=5兩種情況下，300 MHz時的遠區散射場計算結果如圖7所示。由圖7可以看出，本文結果與文獻[3]結果有很好地吻合，這表明筆者計算遠區散射場算法是正確的。

圖7 劈尖遠區散射場Fig.7 Split pointed far zone scattering field(a) εw=2.56時遠區散射場；(b) εw=5時遠區散射場

2.2 算例2

計算并分析有耗多層狀空間中線電流的遠區輻射場和目標的遠區散射場。

在如圖 1所示的模型中，y>0的區域為自由空間，y<0的區域包含46層有耗介質，其中最下層無限深，其余每層厚度為0.1 m；中間45層從上至下介質的相對介電系數在2.0到4.0之間呈線性變化，電導率均為0.001 S/m，最下層的媒質參數與其上面一層媒質相同。

在距地面深1.5 m位置處設置一無限長線電流，分別采用本文的FDTD方法和如式(5)所示的解析方法計算它在上半空間的遠區輻射場。在300 MHz時計算的遠區輻射縱向電場與方位角關系如圖 8所示，圓圈和實線分別表示本文FDTD和解析方法結果，兩者吻合很好，再次證明了遠場計算方法的正確性。

圖8 有耗多層空間中線天線遠區輻射場Fig.8 Lossy multi-layered space center line antenna far area radiation field

圖9 隧道內通有金屬車體的介質層模型Fig.9 Tunnel on metal medium layer model of car body

圖10 隧道及有金屬車體時的遠區散射場Fig.10 Tunnel and far zone scattering field of the metal body

如圖 9所示的模型為遠區散射場。在介質層內有一條隧道，上部分幾何形狀為半圓的拱形結構，下部分為矩形，在隧道內通有金屬車體。隧道頂部與地面間距為h1=1.0 m，矩形結構的尺寸滿足h2=2.0 m和w=3.0 m；金屬車體尺寸為a=2.2 m，b=2.0 m，輪高h3=0.3 m，輪距c=1.4 m，輪寬d=0.1 m。垂直極化的均勻平面波沿著-y方向入射。

在300 MHz時，考慮僅存在隧道、或隧道內又存在金屬車體、以及隧道和金屬車體位于無耗層狀半空間這三種情況，采用式(11)計算它們的遠區散射場，結果分別如圖 10中實線、空心圓和實心方框所示。

由圖9可以看出，由于模型的結構和平面波入射方向的對稱性，遠區散射場沿90°方向上呈對稱狀態；由于金屬車體的存在，使得遠區散射場快速地增大，說明金屬車體對遠區散射場有很大貢獻；在后向方向上的有耗層相對最薄，導致后向遠區散射場最強；并且由于包圍隧道的層狀空間介質導電性的差異，使得有耗背景中目標相比無耗中目標的散射場要小很多。

3 結束語

筆者從均勻平面波的添加機制及用于近-遠場外推的輸出邊界兩方面入手，分析了層狀背景中目標電磁散射特性的FDTD計算方法。

從近場和遠場兩方面對本算法和計算程序的可靠性進行驗證。從算例1可以看出，采用本方法得到了很好的近區均勻平面波分布。此外，用本方法計算算例1的遠區散射場與文獻結果具有很好的一致性，并且在算例2中用本方法計算線電流的遠區輻射場與用式(5)計算的解析解結果也完全吻合。由此可以看出，本算法和程序是正確和有效的。

研究了多層空間中的隧道和隧道內通有車體的電磁散射特性。研究得出，隧道內的金屬車體對遠區散射場有著很大貢獻，并且有耗的介質層對地下目標具有很強的屏蔽能力。

參考文獻：

[1] 葛德彪, 閆玉波. 電磁波時域有限差分方法[M]. 西安: 西安電子科技大學出版社, 2005.

GE D B, YAN Y B. Finite-difference time-domain method for electromagnetic waves[M]. Xi’an: Xidian university press, 2005.(In Chinese)

[2] TAFLOVE A, HAGNESS S C. Computational electrodynamics the finite-difference time-domain method[M].London: Artech House, 2005.

[3] WONG P B, TYLER G L, BARON J E, et al. A three-wave FDTD approach to surface scattering with applications to remote sensing of geophysical surfaces[J].IEEE Trans, 1996, 44(4): 504-514.

[4] DEMAREST K, PLUMB R, HUANG ZH B. FDTD modeling of scatterers in stratified media [J]. IEEE Trans, 1995, 43(10): 1164-1168.

[5] DEMAREST K, HUANG ZH B, PLUMB R. An FDTD near- to far-zone transformation for scatterers buried in stratified grounds[J]. IEEE Trans, 1996, 44(8): 1150-1157.

[6] WINTON S C, KOSMAS P, RAPPAPORT C M. FDTD simulation of TE and TM plane waves at nonzero incidence in arbitrary layered media[J]. IEEE Trans, 2005, 53(5):1721-1728.

[7] 姜彥南，葛德彪. 層狀介質時域有限差分方法斜入射平面波引入新方式[J]. 物理學報,2008, 57(10): 6283-6289.

JIANG Y N, GE D B. New scheme for introducing an oblique incidence plane wave to layered media in finite-difference time-domain[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(10): 6283-6289. (In Chinese)

[8] JIANG Y N, GE D B, DING S J. Analysis of TF/SF boundary for 2D-FDTD with plane p-wave propagation in layered dispersive and lossy media[J]. Progress In Electromagnetics Research, PIER,2008(83): 157-172.

[9] CAPOGLU I R, SMITH G S. A total-field/ scattered-field plane-wave source for the FDTD analysis of layered media[J]. IEEE Trans, 2008, 56(1): 158-169.

[10] CHEN P H, XU X J. Introduction of Oblique Incidence Plane Wave to Stratified Lossy Dispersive Media for FDTD Analysis[J].IEEE Trans, 2012, 60(8): 3693-3705.

[11] RODEN J A, GEDNEY S D. Convolutional PML (CPML): an efficient FDTD implementation of CFS-PML for arbitrary media[J]. Microwave Opt. Tech. Lett., 2000, 27(12): 334-339.