S-可數仿緊空間

孫文文，何兆容

（1.四川省攀枝花市第三高級中學，四川攀枝花617000；2.汕頭大學理學院，廣東汕頭515063）

緊空間[1]最早由Alexandroff和Urysohn提出以覆蓋性質來刻畫的一種拓撲空間，它可以看作實直線上的Heine-Borel有限覆蓋定理在一般拓撲空間中的推廣。隨后Dieudonne提出仿緊空間[2]的概念，并用加細覆蓋來描述仿緊空間。仿緊空間再進一步推廣，可以得到更多用加細覆蓋來描述的空間，這為拓撲空間的研究提供了新的方向。Levine在拓撲空間中引入半開集的概念[3]，此后又有了半閉集等概念，隨著拓撲空間中概念的不斷提出和完善，一部分學者開始對S-類空間進行研究，如Alzoubi的S-paracompact Spaces等[4]。近幾年來，國內諸多拓撲學者對S-仿緊空間再作推廣，先后定義了S-meso緊空間[5]、S-弱θ-加細空間[6]、S-亞緊空間[7-8]、S-次仿緊空間[9-10]等，并對這些空間的性質進行了相應的研究，得到一些良好的結果。本文結合仿緊空間和S-類空間的定義及其相關性質，引入了S-可數仿緊空間，并研究其覆蓋性質、正規性、映射性質和乘積性質。下面先給出相關的基本定義。

定義1[2]X是拓撲空間，若存在X的一個開集U使得U?A?Uˉ，稱X的子集A為半開集。半開集的補集X-A為半閉集。包含A的所有半閉集的交稱為A的半閉包，記作sclA。

定義2[4]若任給x∈X，存在x的一個開鄰域U使得U?A≠?只對有限個A∈A成立，則稱空間X中的集族A為局部有限的。

定義3[5]設A、B是空間X的覆蓋。若任給B∈B，存在A∈A使得B?A，則稱B為A的加細。若B是X開（閉、半開、半閉）覆蓋，則稱B為A的開（閉、半開、半閉）加細。

定義4[6]若X的任意開覆蓋有局部有限的開加細覆蓋，則稱空間X為仿緊空間。

定義5[4]若任給x∈X，x∈A只對有限個A∈A成立，則稱空間X中的集族A為點有限的。

定義6若任給閉集A，B?X，存在X中不交的半開集U，V使得A?U，B?V，則稱空間X為半正規空間。

定義7[4]若任給y∈Y，f←()y為X的緊子集，則連續閉映射f:X→Y為完備映射（或稱緊映射）。

定義8[4]若任給y∈Y，f←( )y為X的可數緊子集，則閉映射f:X→Y為準完備映射。

定義9[4]若X的每一可數開覆蓋具有局部有限的半開加細覆蓋，則空間X稱為S-可數仿緊空間。

下面是本文的主要結論。

定理1下列結論等價：

（i）X是S-可數仿緊空間；（ii）對X的每一可數開覆蓋{ }Unn∈N，存在局部有限的可數半開覆蓋{ }Vnn∈N使得Vn?Un，n∈N；（iii）對X的每一遞增的開覆蓋，存在X的半閉集序列{ }Fnn∈N使得Fn? Wn（n ∈ N）且

（iv）對X的每一遞減閉集序列{ }Fnn∈N滿足存在X的半開集序列{ }Wnn∈N，使得

證明 （i）?（ii）設U={ }Unn∈N是 S-可數仿緊空間X的可數開覆蓋，由（i）知存在局部有限半開覆蓋，存在

令是

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[7]張焰杰,吳昭鑫,楊思鑫.S-亞緊空間[J].四川理工學院學報(自然科學版),2014,27(1):98-100.

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