一類分數階時滯神經網絡的Lyapunov穩定性判據①

蔡克珍，張海海

（安慶師范大學數學與計算科學學院，安徽安慶246133）

分數階微積分即是關于任意階微分和積分理論。近幾十年來，它在工程、物理和經濟等領域的建模中具有極為重要的應用價值[1-5]。由于分數階導數是非局部的且具有非奇異核[6]，相比較于經典的整數階模型，分數階模型能夠更好地描述系統的行為過程。

近年來，一些學者將分數階算子引入到神經網絡中，形成分數階神經網絡模型，從而更好地描述神經元的動力學行為。最近，文獻[7-9]研究了不具有時滯的分數階神經網絡的穩定性。本文考慮如下Riemann-Liouville分數階時滯神經網絡的漸近穩定性

k是一個已知正常數。

在判定Riemann-Liouville分數階時滯神經網絡的漸近穩定性時，通過構造Lyapunov泛函的方法避免了計算其分數階導數，所得結果描述為矩陣不等式，在計算上是方便可行的。

1 預備知識

本節給出分數階微積分的相關定義和引理。

定義1[3]函數f的q＞0階Riemann-Liouville分數階積分的定義為

定義3 對任意的ε ＞0，存在δ=δ(ε ,t0)＞ 0，使得對任何初始條件，系統(1)的解x(t)滿足不等式則稱系統(1)的零解是穩定的。若系統(1)的零解是穩定的且則稱它是漸近穩定的。

2 漸近穩定性判據

本節通過構造適當的函數來討論系統(1)在Lyapunov意義下的漸近穩定性條件。

定理1若存在一個正定陣P和兩個正常數β，γ使得

則系統(1)的零解是漸近穩定的，其中I是n維單位矩陣。

證明 構造如下的Lyapunov泛函

其中0＜α＜1，P，Q是正定陣。

因為P＞0，Q＞0，由定義1可知V( )xt是一個正定函數。由引理1可以得到V( )xt沿著系統

(1)軌跡的時間導數為

通過運用泛函微分方程的Lyapunov直接方法，得到系統(1)的零解是漸近穩定的。

在定理1中，令β=γ=1，可得到如下推論。

推論1 若存在正定陣P使得

則系統(1)的零解是漸近穩定的。

3 數值例子

例1考慮一個二維的Riemann-Liouville分數階時滯神經網絡：

因此滿足定理1的條件，所以系統(15)的零解是漸近穩定的。

對于數值模擬，分別考慮如下5種不同的初始狀態：

圖1和圖2分別描述了對應于這些初始值的狀態軌跡，證實了定理1是有效的和可行的。

圖1 α=0.8，τ=0.4的神經網絡在不同初始值下的軌跡

圖2 α=0.4，β=0.2的神經網絡在不同初始值下的軌跡

4 結 論

本文構造了一個適當的泛函來討論Riemann-Liouville分數階時滯神經網絡的漸近穩定性，該方法避免了計算Lyapunov泛函的分數階導數，直接計算Lyapunov泛函的一階導數來檢驗穩定性，利用矩陣不等式描述所得結果，在計算上也是方便可行的。

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