等熵Chaplygin氣體動力學系統三片常數的黎曼問題

周 同，杜珍珍，楊漢春

（1.銅陵職業技術學院基礎教學部，安徽銅陵244000；2.云南大學數學與統計學院，云南昆明650091）

考慮等熵Chaplygin氣體動力學系統，1904年，Chaplygin[1]首次引入了以下方程組：

其中p=-1 ρ。在空氣動力學中，當計算飛機機翼上升所承受的壓力時，Tsien[2]和von Karman[3]把系統(1)作為一個合適的數學模型，(1)式還可以被視為暗物質和暗能量的統一模型[4-8]，而此暗能量模型對宇宙結構的形成有很大的影響。

對于一維情形Chaplygin氣體的歐拉系統正是Born-Infeld[9]系統，它也是Maxwell系統的一個非線性形式。對于Chaplygin氣體，Brenier[10]研究了一維黎曼問題并獲得了初值在相平面上位于某特定區域時帶有集中的解。

Serre[11]考慮了二維等熵無旋Chaplygin氣體壓力波的相互作用，證明了超音速解的存在性。最近，Guo等[12]系統地研究了等熵Chaplygin氣體的一維和二維黎曼問題，構造了14種不同的黎曼解結構，且在一些情形中出現了δ-激波和簡單波。特別地，對于系統(2)帶有初值

t=0:(ρ,u)(0,x)=的一維黎曼問題，解中一個顯著的特征是出現了δ-激波。從物理角度上講，δ-激波的形成是由于粒子的高度集中。δ-激波由波的位置、傳播的速度和權（集中粒子的質量）決定。因此，δ-激波可用來解釋宇宙中大尺寸結構星系的形成過程或粒子的集中過程。

本文考慮系統(2)帶有以下3片常值

的黎曼問題，這里ρi,ui(i=l,m,r)是常數，x01,x02是x軸上任意的固定點。關于3片常數的黎曼問題很多學者進行過研究[13-15]。(2)式和(4)式黎曼問題的研究在狄拉克激波的理論、數值計算和應用等方面具有重要意義，它也是數值方法的檢驗標準。本文主要研究δ?激波和接觸間斷的相互作用。

當考慮光滑解時，可將系統(2)改寫為

它的兩個特征根和所對應的右特征向量分別是

且△λ±·r→±≡0，這表明，系統(2)是一個嚴格的線性退化的雙曲系統。

對系統(2)求自相似解可知，除了常態解(ρ0,u0)外，該系統還有奇異解

而對有界間斷解，它僅有接觸間斷：σ=λ±=u±且這兩種間斷解曲線分別為

通過相平面分析法，文獻[12]把相平面分成5個部分，對任意給定的(u+,ρ+)，完整地解決了黎曼問題(2)和(3)，得到5種不同的解的結構，如圖1所示。

(1)當(u+,ρ+)∈ I(u-,ρ-)時，解為R←+R→；

(2)(u+,ρ+)∈ II(u-,ρ-)時，解為R←+S→；

(3)當(u+,ρ+)∈ III(u-,ρ-)時，解為S←+R→；

(4)當(u+,ρ+)∈ IV(u-,ρ-)時，解為S←+S→；

(5)當(u+,ρ+)∈ V(u-,ρ-)時，解為δ-激波。

圖1 解的相平面分析

對于前4種情況，能得到中間狀態，它連接兩種接觸間斷。對于情形(5)，δ?激波解具有如下形式：

其中，x=x(t)為間斷線，δ(x)是標準的狄拉克函數，ω(t)和σ分別為δ?激波的權和速度。其中x(t),ω(t)和σ(t)由下面方程組決定，其中，[ρ]= ρ-- ρ+,ρ-= ρ(σ-0),ρ+= ρ(σ +0)。(5)式中3個方程分別表示運動方程、質量守恒和動量守恒方程，它們描述了δ?激波的位置x=x(t)、傳播速度σ(t)和權ω(t)之間的關系。(6)式表明δ?激波兩邊所有的特征線都是進入的。

當考慮初值帶有狄拉克測度這類黎曼問題時，即對于一般情況，δ?激波從帶有下列初值中產生：

且滿足

解初值問題(5)和(7)可得

引 理 2 若 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)，則有(ur,ρr)∈ V(ul,ρl)。

下面構造(2)式和(4)式的黎曼解。根據(u+,ρ+)在(u-,ρ-)所在區域，分情況討論涉及δ?激波解的相互作用情況。

情形1(um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈V(um,ρm)。

圖2 兩個δ-激波相碰

如圖2所示，當(um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈V(um,ρm)時，由前文可知，從初始間斷(x01,0)和(x02,0)處分別發出δ1?激波和δ2?激波。由于這兩個δ?激波都滿足熵條件，有ul-，這表明δ1的傳播速度σ1比δ2的傳播速度σ2大。因此，δ1和 δ2在有限的時間處發生碰撞。此時，由于個新的黎曼問題將會形成，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度σ(t)和權ω(t)滿足：

這是由于在t=t?處滿足質量守恒和動量守恒，通過計算可知σ1＞σ?＞σ2。與前面相似，解常微分方程(5)和(11)式可獲得δ?激波x=x(t)的軌跡、質量和速度：

當ρr≠ ρl時，

因此，在條件 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)下，由引理1得到的結論是兩個δ?激波必在有限的時間內發生碰撞，它們結合后產生一個新的δ?激波，這個事實表達為δδ→δ。

情形 2 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈III(um,ρm)。當 (um,ρm)∈ III(ul,ρl)且 (ur,ρr)∈ V(um,ρm)時，解的構造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷 (x01,0)發出 δ1?激波。由 (ur,ρr)∈ III(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發出接觸間斷和，以及由確定(u?,ρ?)狀態。

由于δ1?激波滿足熵條件，有接觸間斷滿其中τ1為接觸間斷的速度，接觸間斷滿足τ2=為接觸間斷的速度。

σ1,τ1,τ2的速度可能為正，也可能為負，分為以下幾種情況：（1）σ1＞ 0,τ1＜ 0,τ2＞ 0；（2）σ1＞ 0,τ1＞0,τ2＞ 0 ，（3）σ1＞ 0,τ1＜ 0,τ2＜ 0 ；（4）σ1＜ 0,τ1＜0,τ2＞ 0 ；（5）σ1＜ 0,τ1＞ 0,τ2＞ 0 ；（6）σ1＜ 0,τ1＜0,τ2＜ 0。本文只討論情況（1），其他情況類似。

如圖3所示，由于σ1＞ τ1，所以δ1?激波的傳播速度比接觸間斷的速度大，因此，δ1和←S在有限的時間處發生碰撞。通過計算比較可知所以δ1和在t1相碰后，一個新的黎曼問題產生，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度ω(t)和權σ(t)滿足

這是由于在t=t1處滿足質量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(12)式可獲得δ2?激波的軌跡、質量和速度(x2(t),ω2(t),σ2(t))。

圖3 δ-激波與接觸間斷和R相碰

因為δ的傳播速度σ滿足熵條件可知σ ＞ τ ，所以δ和在有限的222時間t2處發生碰撞，且有x2(t2)=τ2t2+x02。因為故δ和2在t2相碰后，一個新的黎曼問題產生，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度ω(t)和權σ(t)滿足：這是由于在t=t2處滿足質量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(13)式可獲得δ3?激波的軌跡，質量和速度(x(t),ω(t),σ(t))。

因此，在條件 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且 (ur,ρr)∈III(um,ρm)下，由引理1得δ?激波和兩個接觸間斷相碰，當相互作用完成后，完全趕超中間狀態(u?,ρ?)，其中(u?,ρ?)連接兩個接觸間斷和，這

情 形 3 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈ IV(um,ρm) 。 當 (um,ρm)∈ IV(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)時，解的構造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷 (x01,0)發出 δ1?激波。由 (ur,ρr)∈ IV(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發出接觸間斷S←和S→，以及由S←和S→確定(u?,ρ?)狀態。

由于接觸間斷→S與情形2中接觸間斷R→的表達式一樣，故此種情形與情形2討論類似。

因 此 ，在 條 件 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈IV(um,ρm)下，由引理1得δ?激波和兩個接觸間斷和相碰后，完全趕超中間狀態(u?,ρ?)，其中(u?,ρ?)連接兩個接觸間斷和，這個事實表達為δ←S(u?,ρ?)→S→ δ。

情 形 4 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈II(um,ρm) 。 當 (um,ρm)∈ II(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)時，解的構造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷(x01,0)發出δ1?激波。由(ur,ρr)∈ II(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發出接觸間斷R←和→S，以及由和確定(u?,ρ?)狀態。

由于δ1?激波滿足熵條件，有，接觸間斷滿足其中τ1為接觸間斷的速度，接觸間斷滿足τ2=其中τ2為接觸間斷的速度。

由于σ1,τ1,τ2的速度可能為正也可能為負，與情形2類似，可分為6種情況，在這里只討論第1種情況：σ1＞ 0,τ1＜ 0,τ2＞ 0，其他情形可類似討論。

由于σ1＞ τ1，所以δ1?激波的傳播速度比接觸間斷 R←的速度大，因此，δ和 R←在有限的時間處發生碰撞，如圖4所示。

圖4 δ-激波與接觸間斷和相碰

這是由于在t=t1處滿足質量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(14)式可獲得δ2?激波的軌跡、質量和速度(x2(t),ω2(t),σ2(t))。

因為δ2的傳播速度σ2滿足熵條件可知σ2＞ τ2，所以δ2和在有限的時間t2處發生碰撞，且有x2(t2)=τ2t2+x02。因為故δ和2在t2相碰后，一個新的黎曼問題產生，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度ω(t)和權σ (t)滿足：

這是由于在t=t2處滿足質量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(15)式可獲得δ3?激波的軌跡、質量和速度(x(t),ω(t),σ(t))。

此時，由引理1得δ?激波和兩個接觸間斷R←和→S 發生碰撞且完全趕超中間狀態(u,ρ)，其中

??這個事實表達

與（i）情形類似，如圖5所示，δ1?激波首先與發生碰撞，形成一個新的δ2?激波并開始趕超(u?,ρ?)狀態。通過分析知 δ?激波不能完全趕超(u?,ρ?)狀態，這個事實表達為 δ(u?,ρ?)→δ(u?,ρ?)

圖5 δ-激波與接觸間斷和相碰

情 形 5 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈I(um,ρm) 。 當 (um,ρm)∈ I(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)時，解的構造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷(x01,0)發出δ1?激波。由(ur,ρr)∈ I(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發出接觸間斷，以及由確定(u?,ρ?)狀態。

由于接觸間斷與情形4中接觸間斷的表達式一樣，故此種情形與情形4討論類似。

此時，由引理1得δ1?激波和兩個接觸間斷發生碰撞且完全趕超中間狀態(u,ρ)，其

??中(u?,ρ?)連接兩個接觸間斷，這個事實表達為

此時，δ?激波不能完全趕超(u?,ρ?)狀態，這個事實表達為δ

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