基于最大速度擴展格子氣模型的單向行人流研究

費經泰，陳 喆

（安慶師范大學數學與計算科學學院，安徽安慶246133)

行人流問題的研究最早起源于交通流，近些年在研究行人流問題過程中，許多微觀仿真模型被提出來，如社會力模型、元胞自動機模型、格子氣模型等。其中格子氣模型憑借模型簡單、容易編程、適于大規模計算等優點，成為研究行人流問題的重要模型。1999年Nagatani研究小組首先將格子氣模型引入到行人流模擬中，接著他們建立了一個二維偏斜隨機行走格子氣模型來仿真開放邊界下地鐵隧道內交匯人流的運動，結果表明當行人密度超過臨界值以后將會發生阻塞相變，隨后又研究了在周期邊界條件下正方形網格上行人交通中的相變現象，并進一步討論了開放邊界條件下行人流在十字路口發生的阻塞相變[1]。2004年Kirchner首先引入多速擴展元胞自動機模型并發現最大速度vmax=3時與實測行人流基本圖相吻合[2]。姜銳等提出了在隨機順序更新下最大速度擴展格子氣模型，即在一個離散時間步內行人能走多個格子[3]。郝慶一等把元胞自動機中并行更新規則引入到格子氣模型，發現不同于隨機順序更新規則的基本圖[4]。本文在擴展格子氣模型[3]的基礎上，提出并行更新的最大速度擴展格子氣模型。

1 模型描述

格子氣模型把行人移動的寬W，長L的矩形通道劃分為W×L個網格，記每個網格長度為單位1，每個格點只允許一個人占據，行人根據一定的概率選擇向緊鄰的左側、前方、右側的格點移動，但不允許后退。通道上下邊界為墻壁，行人不能穿越墻壁，左右采用周期性邊界條件，行人到達右邊界后，從左邊界處重新進入。為了分析方便，設定通道長度方向為X軸方向，通道寬度方向為Y軸方向[5]，這樣每個行人的位置都可以用二維坐標(x,y)來表示。圖1給出了行人在格子上遇到的所有可能情形。其中叉號表示相應的位置被行人占據或上下邊界，其中Pt,y，Pt,-y，Pt,x分別表示目標行人到最近左邊鄰居、右邊鄰居、前面鄰居位子的轉移概率，這里不考慮行人后退情況。對于行人在格子上所處的情形，相應的轉移概率分別如下，

其中參數D表示偏向前的移動趨勢強度。當D=0時，對應的就是不帶后退的偏隨機行走模型，當D=1時，前方若為空，行人只向前移動，不會考慮向兩側移動。

圖1 行人在格子上遇到的所有可能情形

文獻[3]中提出的最大速度擴展格子氣模型采用了隨機順序更新的規則，為了更好地符合行人移動實際情形，本文采用并行更新方式來研究最大速度擴展格子氣模型。

初始時刻N個行人隨機分布在通道內，密度ρ=N/(WL)，這里流率定義為每個時間步內通過右邊界處的平均人數再除以寬度W。從時間步t到t+1，記每個行人n∈{1,2,…,N}的最大速度為s=vmax(n)，即行人在這個時間步內最多能走s個格子，同時把行人的行走過程劃分為s步來完成，則第i(i=1,2,…,s)步內更新規則如下：

(1)當i=1時，記每個行人n的位置為，并按照圖1所示的8種情形計算向前方、右方、左方格點轉移的概率，記更新后行人的位置為其中對于行人位置的沖突：當兩個或三個行人在某一時刻試圖移到同一空位時，按概率隨

機選擇其中一人移動到那個目標空位，其余人保持不動[4]。

(2)當i=2,3,…,s時，每個行人n的位置為關系：

(i)若，則表示行人在第i-1步內沒有移動（周圍沒有可移動的格點或行人之間沖突導致），則這個行人就在這個時間步t內停止更新，這樣做是避免出現行人在一個時間步內出現“又走又停”的現象[3]。

(ii)若，則表示行人在第i-1步內成功移動到前方格點，此時行人仍按照圖1所示的8種情形來計算移動概率。

(iv)若，則表示行人在第i-1步內成功移動到左方格點，此時情形討論同(iii)（只需將情形(iii)中的右方格點改為左方格點，并交換Pt,y和Pt,-y值）。

根據上述4種情況計算行人轉移概率，并記更新后的位置為Ti(+n)1(t)=(x(in+)1(t),yi(+n)1(t))。其中行人位置的沖突處理同i=1情形。這里通過修改格子氣模型的基本概率，令Pt,y=0或Pt,-y=0，則行人向左（右）方移動的概率為零，這樣可以避免行人在移動過程中出現“乒乓行為”[3]，即行人路徑上出現重疊（如行人在向右側行走后在下一步又向左側行走）。當更新完s步后，該時間步t結束，進入下一個時間步t+1更新。

2 模擬結果及討論

仿真參數選取模型尺寸大小W×L=100×100，模擬的總時間T=15000，其中取后5 000個時間步長用來統計數據和計算流率。

2.1 參數D對基本圖的影響

圖2表示D＜1基本圖，從圖2(a)和圖2(b)中可以看出擴展后模型的流率高于vmax=1的流率。隨著D的增大，擴展格子氣模型保持了文獻[4]中提到的并行格子氣模型的特點：密度—流率曲線在臨界密度處出現了拐點，它的右分支(擁擠分支)變成了下凸曲線。其中在圖2(c)和圖2(d)中，隨著D(D＞0.5)的增大，當密度ρ大于臨界密度后，流率會出現突降，說明行人從自由流狀態向擁擠流狀態的轉變過程中發生了相變。由于擴展格子氣模型vmax＞1，從而在一個時間步內，行人之間相互作用范圍擴大，不僅限于前左右的鄰居。根據模型的規則，行人在一個時間步內能走vmax個格子，從而很容易造成堵塞，流率突降。

圖2 不同參數D基本圖

圖3 表示參數D=1的基本圖，基本圖由兩條分支組成，上分支由初始分布為均勻狀態模擬得到，下分支是由初始分布為隨機狀態模擬得到的[4]。通過觀察基本圖可以發現，vmax＞1格子氣模型與vmax=1的格子氣模型有很大的不同，當vmax=1時，流率曲線出現了兩個擁擠分支，而vmax＞1的格子氣模型呈現出交通流基本圖中典型的反λ形狀，原因是最大速度擴展格子氣模型在模擬過程中不能維持初始均勻分布狀態[4]。同時從圖中可以看出，在臨界密度附近形成亞穩態區域(0.3±0.05≤ρ≤0.5±0.05)，在這個密度范圍內，行人的流率和分布狀態是不穩定的，這也解釋了圖2中基本圖出現流率突降現象的原因。

圖3 參數D=1基本圖

2.2 最大速度vmax對基本圖的影響

圖4 (c)顯示了在參數vmax=3下，密度—流率曲線的臨界密度ρ≈0.35，符合文獻[3]中提到的實測行人流的臨界密度ρ≈0.34。從圖4中可以看出，隨著vmax的增大，最大流率對應的臨界密度不斷減小。在圖4(a)和圖4(b)中，流率隨vmax的增大而增大。圖4(c)和圖4(d)出現了行人流中“快即是慢”的現象，如圖4(d)，當密度0.35≤ρ≤0.55時，最大速度vmax=5時的流率反而小于vmax=2,3時的流率，而在其他的密度區域上恰好相反。原因是這一段密度區域是上面提到的亞穩態區域，行人流率不穩定。當密度ρ≤0.35時，行人處于自由流的狀態，最大速度越大，流率越大，當密度ρ≥0.55時，行人分布從亞穩態轉變成高密度擁擠狀態，此時速度對流率的大小又起著較大的影響，所以最大速度越大，流率也越大。

圖4 不同參數vmax基本圖

3 總結

本文在原有的最大速度擴展格子氣模型的基礎上采用并行更新的方式，通過仿真模擬得到了行人流基本圖，并得到以下結論：擴展后vmax＞1格子氣模型在流率上有很大的提高，最大流率所對應的臨界密度小于原模型，從而更接近實際情況。基本圖中流率曲線在從自由流分支向擁擠流分支轉變過程中發生了相變，流率突降，同時出現了行人流中“快即是慢”的現象，即最大速度越大，反而流率越小。當參數D=1，行人流基本圖呈現出和車輛交通流基本圖類似的典型的反λ形狀。在今后工作中，將進一步改進模型，如將模型與博弈論、行人移動路徑的選擇等問題相結合，以更好地模擬實際行人流。

[1]MURAMATSU M,NAGATANI T.Jamming transition of pedestrian traffic at a crossing with open boundaries[J].Physica A,2000,286(1-2):377-390.

[2]KIRCHNER A,KLüPFEL H,NISHINARI K,et al.Discretization effects and the influence of walking speed in cellular automata models for pedestrian dynamics[J].Journal of Statistical Mechanics:Theory and Experiment,2004,2004(10):P10011.

[3]JIANG R,WU Q S.Pedestrian behaviors in a lattice gas model with large maximum velocity[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2007,373(36):683-693.

[4]HAO Q Y,HU M B,CHENG X Q,et al.Pedestrian flow in a lattice gas model with parallel update[J].Phys Rev E,2010,82(2):026133.

[5]李明華,袁振洲,許琰,等.基于改進格子氣模型的對向行人流分層現象的隨機性研究[J].物理學報,2015,64(1):427-438.

[6]馬佩杰.行人流綜述[J].上海理工大學學報,2012,34(2):185-203.

[7]YUAN W F,TAN K H.A novel algorithm of simulating multivelocity evacuation based on cellular automata modeling and tenability condition[J]. Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2007,379(1):250-262.