無需信源數目的改進TOFS算法*

曾耀平

（西安郵電大學通信與信息工程學院，西安710121）

1 引言

最初的高分辨角度估計都是基于窄帶信號展開的，但實際中，雷達、聲納等系統收到的信息通常都是寬帶信號。對于寬帶系統而言，如果直接運用基于窄帶的MUSIC算法，對于方位估計首先往往會得到錯誤的角度估計信息；其次，寬帶信號相對于窄帶信號而言，攜帶的信息更多，充分利用這些信息往往能得到更為精準的估計結果，因此寬帶系統受到了更為廣泛的關注。最早的寬帶DOA估計算法是非相干信號子空間法[1](ISSM)，該方法原理簡單、估計結果有效，但運算量較大，相干源下估計會失效。文獻[2]提出的相干信號子空間法(CSSM)克服了ISSM的缺點，在相干源下有效，且在強噪聲下也有良好的分辨能力。經典的CSSM法有旋轉信號子空間法[3]（RSS:Rotational Signal Subspace），雙邊相關變換法[4]（TCT:Two-sided Correlation Transform）等。不過CSSM算法預先獲知寬帶信源的數目信息，這會帶來額外的運算量且會帶來累加誤差。文獻[5]提出的投影子空間正交性測試法（TOPS:Test of Orthogonality of Projected Subspaces），該算法無需事先估計信源的數目，但是需要選擇一個頻點作為估計的參照頻點，不當的參考頻點會帶來附加的估計誤差，同時也會帶來虛假譜峰；另外TOPS算法在強噪聲下也往往會失效。基于TOPS算法，文獻[6-7]提出了TOFS（Test of Orthogonality of Frequency Subspaces）算法，該算法同樣也不需要聚焦運算，且由于同時利用了多個頻點的信號和噪聲子空間的正交性，該算法的估計性能要優于TOPS算法，且避免了虛假譜峰現象。隨著技術的發展，新的正交類寬帶信號的方位估計技術層出不窮[8-9]，受到學者和科技工程人員的廣泛關注。TOPS、TOFS算法有效的前提是必須獲得信源的先驗數目，在工程應用中，信源先驗數目是需要預估的，由于背景噪聲的干擾，預估經常會出現誤差，如何在信源預估不當的條件下進行準確的角度測向是一個困擾工程科技人員的難題。為此，本研究提出一種無需信源數目的改進TOFS算法。

2 寬帶陣列信號模型

TOFS算法利用的是每個頻點的噪聲子空間；為避免噪聲子空間不準確給算法帶來的影響，改進TOFS算法利用了協方差矩陣的全部奇異值向量，同時對所有的奇異值向量進行加權，這樣就可避免信號特征向量對噪聲子空間的影響，從而獲得較為精確的噪聲子空間。

為便于描述，我們用符號(·)T、(·)*、(·)H、E{·}來代表轉置、共軛、共軛轉置、均值。觀測陣列是均勻線列陣，陣元個數為M，P個寬帶信號從遠場入射到陣列上，其入射角度分別為 θ1，θ2，...，θp，以陣列的第一個陣元作為參考陣元，陣列的輸出為

其中，X(t)為 M×1 維陣列輸出矢量，A(θ)是 M×P 維方向矩陣，S(t)是P×1維信號矢量，N(t)是M×1的噪聲矢量，其中X(t)=[x1(t),x2(t),...,xM(t)]T，S(t)=[s1(t),s2(t),...,sP(t)]T，N(t)=[n1(t),n2(t),...,nM(t)]T。

寬帶信號最常用的DOA估計方法一般都是在窄帶信號前提下進行的，如果將現有的DOA估計方法不經處理直接套用在寬帶信號中，由于帶寬的拓展將會導致陣列信號子空間的維數也會相應被擴展，進而會因此導致其譜峰的位置與信號的真實方位角度出現較大偏差，造成DOA估計失效。在寬帶DOA估計里，方向矢量中的相移由兩方面的因素決定，即方位角和頻率，所以即使來波信號的空間角度一樣，頻率不一樣，也會引起其相移不同。所以在寬帶信號下，當進行譜峰遍歷搜索時，方向矢量不能采用一個固定頻率，否則會造成DOA估計失效。所以對于寬帶信號，不能直接利用經典的窄帶信號時域模型。

此時需要對接收數據進行離散傅里葉變換，得到陣列輸出的頻域寬帶信號模型

其中

對fj的數據矢量X(fj)進行協方差運算，得到頻點fj的協方差矩陣RX(fj)

將式（8）計算得到的衛星本振頻率結果代入到式（14）即可得到頻率的穩定度。計算分析顯示，在取樣時間1 s和10 s時，穩定度約為 4.8×10-11和1.7×10-11，在取樣時間100 s和1 000 s時，穩定度約為 1×10-10和 1×10-9。分析結果表明，衛星本振短期穩定度比較好，長期穩定度會逐漸變差。

對RX(fj)進行特征分解，按照特征的大小可以得到對應的特征向量，進而可得到對應頻點的噪聲子空間和信號子空間，再利用聚焦類CSSM算法就可以獲得寬帶信號的角度估計值。

3 TOPS及TOFS算法

TOPS是一種寬帶非相干方法。該方法是利用噪聲子空間和信號子空間的正交性來進行方位估計，當信號頻率和入射角度滿足

對于某個給定的導向向量，必定存在著某個矩陣Φ(fj，θj)且同時滿足下列條件

其中，Φ(fj，θj)=diag{a(fj，θj)}為轉換矩陣，利用Φ(fj，θj)可以把某一頻率和某一角度處的導向向量轉換為另一頻率和另一角度處的導向向量。

當 θi= θj時，則 θk= θi，且滿足

式(7)表明，通過矩陣轉換，在保證信號角度不變的情形下，可將陣列導向向量從帶寬范圍內的某個頻點變換到另外一個頻點。

定義一個M×P維的矩陣Δfi=fi-f0，F0是給定參考頻點的信號子空間。利用構造如下的矩陣

其中，Ui，Uni是 fi頻點所對應的信號及噪聲子空間。當φ恰好為陣列流形的某個角度時，D(φ)會出現缺秩現象，利用D(φ)的缺秩，通過一維角度遍歷掃描即可得到寬帶源的DOA估計值。

TOPS算法性能優劣與所選的參考頻點關系密切，頻點選擇不當會使算法出現虛假的譜峰。TOFS算法利用全部子帶的噪聲子空間和信號子空間均滿足正交這一特性，即當φφ為信號的空間方位時，存在

利用J個標量J,可以構造一新矩陣

通過判斷向量D(φ)中各元素接近零的程度，就可獲得寬帶信號的DOA估計。TOFS算法綜合了多個子帶信息，其估計性能要高于TOPS算法，且不會出現虛假譜峰。

4 改進的TOFS算法（MTOFS）

公式(10)里的Uni指的是fi頻點對應的噪聲特征向量矩陣，一般來說要獲得Uni需對RX(fj)進行特征分解，根據小特征值來獲得Uni，前提條件是需要知道信源的先驗數目。由于強噪聲的干擾，在工程上精確獲得準確的估計數是非常困難的。進一步分析得知，當信源數目未知時，對RX(fj)進行特征分解后，可利用所有的特征向量，同時對所有的特征向量進行加權，這樣,不同的特征向量對譜的作用就會不同。選擇適當的加權系數，可消減信號特征向量對角度譜的影響，這就是MTOFS算法的基本思想。對RX(fj)進行特征分解獲得所有的特征向量矩陣并對所有的特征向量矩陣進行加權，構成的新矩陣

利用J個標量J，可以構造一新矩陣

通過判斷向量D'(φ)中各元素接近零的程度，就可獲得寬帶信號的DOA估計。MTOFS算法無需信源的先驗信息且綜合了多個子帶信息，無論信源是欠估計還是過估計，甚至無需對信源估計就可以實現寬帶信號的DOA估計。

5 仿真結果及分析

仿真采用的陣列是均勻線列陣，陣元個數為6，有2個遠場寬帶信號入射到陣列上；入射角度分別是 10°、20°，信號的帶寬相同，同為 30Hz；中心頻率均為90Hz。入射噪聲是零均值的平穩高斯白噪聲，且和入射的寬帶信號相互獨立。將寬帶信號分為11個窄子帶,每個子帶的數據采樣數均為256。

為了比較研究，在同樣的仿真條件下對TOPS、TOFS、MTOFS算法分別進行仿真，結果如圖1、圖2所示。

圖1 TOPS算法的角度譜

圖2 TOFS及MTOFS算法的角度譜

圖中仿真結果表明，TOPS算法由于與選擇的參考頻率有關，當參考頻率選擇不當時，算法就會出現偽峰；而TOFS算法由于利用了多個頻點的信息，可以消除偽峰。MTOFS算法在選擇合適的加權系數后，無需信源的先驗信息，也能準確地估計出信號的方位角。算法的均方根誤差曲線如圖3所示，從中可見，TOFS與MTOFS的均方根誤差區別不大，估計性能相當。

圖3 TOFS及MTOFS算法的均方根誤差曲線

6 結束語

本研究出了一種適合于寬帶信號的無需預知信源數目的DOA估計新算法。該方法對帶寬范圍內所有頻點的特征向量進行全空間加權，結合TOFS算法，解決了TOPS算法容易出現偽峰的難題，無需信源預估就可以實現寬帶信號的高分辨角度估計。仿真結果驗證了算法的有效性。

[1]WAX M,SHAN T J,KAILATH T.Spatio-temporal spectral analysis by eigenstructure methods[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1984,32(4):817-827.

[2]WANG H,KAVEH M.Coherent signal-subspace processing for the detection and estimation of angles of arrival of multiple wide-band sources[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1985,33(4):823-831.

[3]HUNG H,KAVEH M.Focussing matrices for coherent signal-subspace processing[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,2002,36(8):1272-1281.

[4]VALAEE S,KABAL P.Wideband array processing using a two-sided correlation transformation[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2002,43(1):160-172.

[5]YOON Y S,KAPLAN L M,MCCLELLAN J H.TOPS:new DOA estimator for wideband signals[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(6):1977-1989.

[6]YU H Q,HUANG Z T,LIU J,et al.TOFS:A new DOA estimator for wideband sources[J].Journal of Astronautics,2007,28(5):1304-1313.

[7]于紅旗,徐欣,黃知濤,等.一種新的寬帶DOA估計方法[J].信號處理,2009,25(1):118-121.YU Hongqi,XU Xin,HUANG Zhitao,et al.A new wideband DOA estimation method[J].Signal Processing,2009,25(1):118-121.

[8]蔡進,劉春生,陳明建,等.聚焦的子空間正交性測試寬帶DOA估計方法[J].信號處理,2018,34(2),221-228.CAI Jin,LIU Chunsheng,CHEN Mingjian,et al.A test method for wideband DOA estimation with focused subspace orthogonality[J].Signal Processing,2018,34(2),221-228.

[9]侯文林,郭英,張坤峰,等.寬帶共形陣列信源方位與極化聯合估計算法[J].上海交通大學學報,2016,50(5):764-770.HOU Wenlin,GUO Ying,ZHANG Kunfeng,et al.Joint estimation algorithm for azimuth and polarization of wideband conformal array source[J].Journal of Shanghai Jiaotong University,2016,50(5):764-770.