基于彈流潤滑及時變載荷分配模型的直齒輪效率研究

楊劍飛，陸鳳霞，張沁薇，劉偉平

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

齒輪傳動作為一種重要的傳動形式，廣泛運用于汽車、航空等領域，其效率的計算也是國內外一直關注的熱點。齒輪傳動系統的功率損耗可分為有載荷功耗和無載荷功耗，其中有載荷功耗主要包括有載荷條件下的齒輪嚙合功耗和軸承功耗，無載荷功耗主要包括齒輪及軸承的攪油損失、風阻損失。本文主要研究齒輪的嚙合功耗。

傳統的齒輪靜態效率研究中，摩擦系數模型以及載荷分配模型對效率計算精度顯得尤為重要，摩擦系數模型可分為平均摩擦系數模型及EHL摩擦系數模型，載荷分配模型可分為傳統載荷分配模型(具有確定的載荷分配系數)以及時變載荷分配模型。

早期的學者Buckingham[1]、Merrit[2]、Niemann 和 Winter[3]基于沿嚙合線上摩擦系數不發生變化以及齒面間載荷平均分配(單齒嚙合區法向載荷Fn=2M1/(d1cosαw)，雙齒嚙合區載荷分配系數為0.5)的模型，推導了幾種齒輪嚙合效率的計算公式，這也是ISO/TR 14179-1[4]、ISO/TR 14179-2[5](以下簡稱ISO-1、ISO-2)標準中齒輪嚙合效率計算公式的來源。秦大同[6]基于平均摩擦系數模型及不同的齒輪載荷分配模型對行星齒輪嚙合效率進行了分析。T Yada[7]拋棄了傳統的齒面載荷分配模型，根據齒面摩擦系數從理論上重新推導了法向載荷的大小，得到時變載荷分配模型的齒輪效率計算公式，摩擦系數采用平均摩擦系數。文獻[8]中介紹了部分基于一定試驗的齒輪摩擦系數計算式，與早期的研究不同，這些摩擦系數隨著齒輪嚙合位置的變化也會發生變化，時變摩擦系數的出現對齒輪嚙合效率的計算提供了一種新的思路。陳辛波[9-10]分別運用混合潤滑狀態下的摩擦系數公式及Benedict 和Kelley提出的齒輪摩擦系數經驗公式，建立了直齒輪效率預測模型，模型中認為齒面間載荷平均分配。XU[11]基于彈流潤滑理論，考慮齒面微觀特性、潤滑油非牛頓流體等特性，提出了精確的齒輪摩擦系數EHL計算模型，受到廣泛的運用。

在過去的齒輪靜態效率研究中，尚未見采用齒輪時變載荷分配模型和EHL摩擦系數模型結合的方法預測齒輪的嚙合效率的文獻。本文運用XU提出的EHL摩擦系數模型，結合直齒輪得嚙合特性，考慮齒輪的法向載荷的時變性，建立一種新的直齒輪嚙合效率預測模型。

1 齒輪嚙合功耗數學模型

圖1為齒輪外嚙合的端面示意圖，N1N2為理論嚙合線，B1B2為實際嚙合線，建立沿嚙合線方向的坐標軸e，坐標原點為節點p。Ra1、Ra2為齒輪1、2的齒頂圓半徑，Rw1、Rw2為齒輪1、2的節圓半徑，Rb1、Rb2為齒輪1、2的基圓半徑，ω1、ω2為齒輪1、2的角速度，αw為齒輪1、2的實際嚙合角，x為嚙入過程中的任意點，y為齒輪嚙出過程中的任意點。

齒輪的嚙合功率損耗包括滑動功率損耗和滾動功率損耗，后者在嚙合功率損失中占的比例很小，一般可忽略。以一對齒從嚙入到嚙出為一個嚙合周期，如圖2所示，一個嚙合周期內根據單雙齒嚙合可以將嚙合線分為4段，B2C2，C2P，PC1，C1B1，其中B2C2、C1B1為雙齒嚙合區。

圖2 單雙齒嚙合示意圖

1.1 EHL摩擦系數模型

基于彈流潤滑理論，考慮齒輪副表面粗糙度、潤滑油非牛頓流體特性及熱效應，Xu提出了齒輪副的摩擦系數計算模型：

(1)

式中：ν0為潤滑油的動力粘度，單位為cps；ve為齒輪接觸點處的卷吸速度，單位為m/s；R為接觸點處的綜合曲率半徑，單位為m；S為表面粗糙度的均方根值，單位為μm。SR為滑滾比，f(SR,Ph,v0,s)可由式(2)計算得到：

f(SR,Ph,v0,S)=b1+b4|SR|Phlog10(v0)+b5e-|SR|Phlog10(v0)+b9eS

(2)

式中：b1，b2，…，b9的值依次在表1中給出。

表1 摩擦系數計算相關系數

1.2 時變載荷分配數學模型

時變載荷分配模型指的是拋棄齒面載荷分配模型，在齒輪的受力平衡方程中考慮摩擦力的影響，主動齒輪的輸入力矩由主動輪上參與嚙合的輪齒的法向壓力及摩擦力的合力承擔。一個嚙合周期內，齒輪的嚙合存在單雙齒交替的情況，假設在雙齒嚙合區，齒輪1的輸入力矩M1由參與嚙合的兩個齒平均承擔。

圖3、圖4為嚙合過程中，齒輪1在嚙入過程中點x、嚙出過程中點y的受力示意圖，μ為時變摩擦系數，根據摩擦角的定義，可知ρ=arctanμ，Fx、Fy分別為x、y點的合力，大小根據力矩平衡求得，Fn為齒面法向載荷。值得注意的是Fn值具有時變性，其大小由Fx及摩擦角ρ共同確定，μFn為時變齒面摩擦力。

圖3 嚙入過程中齒輪1載荷分配模型

圖4 嚙出過程中齒輪1載荷分配模型

嚙入過程中，根據力矩平衡，在單齒嚙合區，齒輪1的輸入力矩M1由該齒承擔，那么式(3)成立：

(3)

式中，Fx1、Fnx1為單齒嚙合區齒輪1受到的合力及法向載荷，hx是合力對齒輪1的力臂。

雙齒嚙合區，齒輪1的輸入扭矩M1由雙齒平均承擔，那么有：

(4)

式中，Fx2、Fnx2為雙齒嚙合區齒輪1受到的合力及法向載荷。

同樣，嚙出過程中，單齒嚙合區，有式(5)成立。

(5)

嚙出過程中，雙齒嚙合區，有式(6)成立。

(6)

1.3 齒輪嚙合效率的公式推導

如圖1所示，沿嚙合線方向建立坐標系，齒輪系統嚙入過程中的輸入功Wx1由式(7)得出：

(7)

式中，Tx1代表法向載荷Fnx、摩擦力μFnx對齒輪1的作用力矩。

齒輪系統嚙入過程中的輸出功Wx2由式(8)得出:

(8)

式中，Tx2代表法向載荷Fnx、摩擦力μFnx的反作用力對齒輪2的作用力矩。

齒輪系統嚙出過程中的輸入功Wy1由式(9)得出：

(9)

齒輪系統嚙出過程中的輸出功Wy2由式(10)得出

(10)

則時變載荷分配模型的一個周期的平均嚙合效率η的計算式為：

(11)

2 仿真算例及對比驗證

2.1 仿真對象的參數

為了驗證新模型的有效性，分別運用Matlab對時變載荷分配模型、ISO-1、國標ISO-2的效率計算公式進行數值仿真，仿真對象采用來自于文獻[11]，具體參數如表2所示。

表2 仿真對象及相關參數

2.2 仿真結果及對比分析

由于試驗條件有限，同樣采用文獻[11]中的試驗數據，為了與試驗數據形成對比，需要在本文的仿真結果、ISO標準中加入有載荷條件下的軸承功耗，單個軸承功耗計算公式如下：

PB=0.5μBWBdBω×10-3

(12)

式中，PB為有載荷條件下的軸承功耗，kW；μB為軸承摩擦系數，取0.001 1；WB為軸承徑向載荷，N；dB為軸承內徑(dB=30mm)，ωb為軸承角速度，rad/s。

所以最終齒輪副嚙合效率ηm為

(13)

式中，n為軸承的個數，PD為輸入功率。

將試驗結果、時變載荷分配模型嚙合效率仿真結果、ISO-1、ISO-2中齒輪嚙合效率的仿真結果進行對比分析，仿真結果如圖5所示。

圖5 時變載荷分配模型、ISO-1、ISO-2、試驗數據對比

在該齒輪參數下，若齒輪轉速超過5 000r/min，工況便超出ISO-1的計算范圍，所以圖5(a)-圖5(f)中ISO-1標準對應的仿真數據只有一部分或者沒有。

從圖5還可以明顯看出，時變載荷模型對效率的預測準確性要高于ISO-1、ISO-2。在恒轉速6 000 r/min情況下標準ISO-2對效率的預測為：隨著轉矩的增大，齒輪嚙合效率逐漸降低；時變載荷模型的預測為：隨著轉矩的增大，齒輪嚙合效率也逐漸增大，與試驗結果趨勢基本一致。

兩者的結論完全相反，原因是，在恒轉速情況下，轉矩的增大，齒輪端面上法向載荷也會增大。那么根據標準ISO-2摩擦系數公式計算得出的摩擦系數也會增大，直接導致標準ISO-2計算出的效率會減小，而圖6反映了EHL摩擦系數模型下，恒轉速6 000 r/min，轉矩分別265 N·m、540 N·m、685 N·m時，齒輪副沿嚙合線的摩擦系數分布情況，幾乎在整個雙齒嚙合區域，摩擦系數隨著扭矩的增大而減小，只有在節點附近區域，摩擦系數隨著轉矩的增大而增大。由于雙齒嚙合區域齒輪副相對滑動速度較大，嚙合損失貢獻最多，所以最終的趨勢顯示隨著轉矩的增大，嚙合機械效率也會變大。對比結果顯示，時變載荷分配模型對效率的預測具有較高的準確性，具有工程應用價值。

圖6 恒轉速6 000 r/min不同轉矩下沿嚙合線的摩擦系數分布

3 結語

提出了一種基于彈流潤滑及時變載荷分配模型的直x齒輪效率計算方法，將仿真數據、試驗數值、ISO-1數據、ISO-2數據進行對比分析，結果表明，基于該模型的計算方法與試驗數據在數值上及趨勢上均具有很好的一致性。

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[4] ISO/TR 14179-1:2001. Gears-thermal capacity-part1: rating gear drives with thermal equilibrium at 95 Csump temperature[S].

[5] ISO/TR 14179-2: 2001. Gears-thermal capacity-part2: thermal load-carrying capacity[S].

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[12] XU H. Development of a generalized mechanical efficiency prediction methodology for gear pairs[D].Columbus: Ohio State University, 2005.