創設動態情境 發展空間觀念
——運動變化觀點下的“圖形與幾何”教學探索

□ 王小權 戴銀杏

空間觀念是課程標準提出的核心概念之一，是數學核心素養的重要組成部分。《義務教學數學課程標準（2011年版）》指出，小學生在圖形與幾何的學習過程中，能對實物及圖形的運動與變化進行適當的描述，并能把握相互間的關系。由此可見，物體及圖形的運動已經成為課堂教學中發展學生空間觀念的重要途徑之一。為此，筆者開展了運動變化觀點下的小學圖形與幾何教學的實踐，就是將物體和圖形的運動融入課堂教學中，將靜態的幾何圖形進行平移、旋轉等動態化處理，讓學生在創設的動態情境中獲得直觀體驗，從而更加精準、深刻地理解圖形的本質特征和空間關系，促進學生空間觀念的發展。

一、動態挖掘概念本質，精準理解概念內涵

小學生的思維以具體形象為主，教材在內容的編排時一般都會順應學生的思維特點，使學習素材力求體現直觀形象、易于感知。學生在學習過程中，容易被事物外部的顯性表征所吸引，使學習活動流于表層，對具有高度抽象性和內隱性的本質特征卻感而不悟。因此，在圖形與幾何的教學中，可以借助動態處理，使概念內隱的本質特征顯性化，從而促進學生對概念本質屬性的感悟與理解。

比如，“平行與垂直”一課，教材的編排意圖是讓學生任意畫兩條直線，然后通過觀察分類得出兩條直線的位置關系，并總結平行線的概念。如果就此按部就班進行教學，學生往往能熟練記住概念，但對于“兩條直線相交但還沒有交叉”的情況往往不能做出正確的判斷。筆者覺得問題的癥結在于學生對平行線的概念認知建立在兩條直線“不相交”的外在表征上，而沒有透過這一現象挖掘出“平行線之間的距離處處相等”的本質屬性。于是，筆者從動態處理的視角進行了實踐探索。

（一）動態想象，呈現素材

課始，筆者通過多媒體演示對圖形的平移和旋轉知識進行了回顧復習，然后組織學生通過空間想象創設了下面的動態情境：

師：請閉上眼睛，根據老師的描述展開想象，格子圖上有一條直線，它開始向上作平移運動，然后停下來了。想一想，這兩條直線的位置關系是怎樣的？

此時，學生根據老師的描述展開空間想象。

師：格子圖上的一條直線繞著線上的某個點開始旋轉，它不停地轉，忽然停了下來。想一想，這兩條直線的位置關系又是怎樣的？

……

學生在動態想象中，既積累了直線運動的活動經驗，又借助已有的圖形運動經驗充分感知了平面內兩條直線的空間關系，為后續的探究活動提供了研究素材，激活了相關的活動經驗，同時也促進了空間想象能力的發展。

（二）經驗遷移，挖掘本質

學生的學習是基于自身經驗的生長，創設與學生緊密聯系的平移情境,激活了學生已有的活動經驗，激發學生對平行線本質特征的挖掘。在學生完成作品后，筆者有針對性地挑選了部分作品（如下圖）進行了交流。

師：請你仔細觀察，看看哪些作品是通過圖形平移得到的，哪些作品是通過圖形旋轉得到的？

在學生進行區分后，教師繼續追問。

師：比較一下，通過平移得到的兩條直線和通過旋轉得到的兩條直線的位置關系有什么不同？

生：通過旋轉得到的兩條直線會相交，而通過平移得到的兩條直線不會相交。

師：通過平移得到的兩條直線為什么不會相交呢？

生：直線平移后，直線上的每一個點都平移了，所以每一處對應點的距離都是相等的。

師：每一處的距離都要相等嗎？相差一點點也不行嗎？

生：只要有一處不相等，就不是通過平移得到的，所以就不平行。

……

以上過程中，學生把從平移中獲得的經驗遷移到平行線的認知中，使“平行線之間的距離處處相等”這一隱性特征得以顯性化，加深了學生對概念本質的深度理解，同時也為后續平行線的應用埋下了伏筆。

(三)操作應用，內化概念

當學生理解了概念的本質屬性后，要及時引導學生通過實踐應用加深對所學知識的理解并得到內化。隨后，筆者讓學生經歷畫平行線的過程，進一步感悟“平移→平行→平移”的認知過程，即從平移現象中學習平行的本質特征，再用本質特征去解釋平移的現象，深化概念的理解。

二、動態變式概念表征，深度拓寬概念外延

小學教材中，幾何概念的本質屬性一般通過基本圖形的共性特征得到體現，因而易于被學生所感知，但也往往造成學生認知上的局限。因此，筆者通過圖形的運動變式概念表征，使學生從圖形“變”的現象中感悟“不變”的本質，從而拓寬概念外延，突破認知局限，完善認知結構。

比如，人教版五年級下冊“三角形的認識”一課中，以銳角三角形為例學習了高的概念以后，需要引導學生抓住本質特征在直角三角形和鈍角三角形中進一步認識兩類特殊的高，這也是學生認識高的一個難點，筆者從運動變化的觀點出發進行了探索。

（一）動中察變，感知規律

教學中，在學生認識了銳角三角形中的高后，筆者出示了平行線內的一個銳角三角形，并作動態演示（如下圖）：兩條平行線間的銳角三角形ABC，以BC為底畫出三角形的高，然后把頂點A沿著平行線中的一條直線向右平移，此時三角形底邊上的高也會隨著頂點A向右移動，形成了一系列同底等高的銳角三角形，然后引領學生總結圖形運動的變化規律。

師：三角形的什么在變，什么沒有變？

生：三角形的形狀在變，但底不變。

生：高隨著頂點移動，但長短不變。

師：你能說說高的位置移動與三角形的形狀變化之間有什么聯系嗎？

生：高的位置越來越靠近AC這條邊。

繼續演示：向右平移頂點A，當出現高與AC重合時停止。

師：高在什么位置？

生：三角形的高與直角邊重合了，這時直角邊AC既是三角形的邊，又可以看作是三角形的高。

……

此環節的教學，通過圖形的動態演示，讓學生在觀察圖形的變與不變中，感知圖形的形狀和高的位置在變，但三角形高的本質不變。

（二）變中求聯，拓寬外延

在學生認識了直角邊上的高，感知了三角形高的位置移動變化規律后，筆者繼續讓學生通過動態變化想象鈍角三角形鈍角邊上的高。

師：如果直角三角形的頂點A繼續向右邊平移，想象一下，會產生什么三角形？它的高又會在什么位置呢？

學生展開動態想象，大部分學生對于高的位置不置可否。此時教師繼續演示：向右平移頂點A，形成了一個鈍角三角形。

師：這是什么三角形？（鈍角三角形）它的高在什么位置？

生：在三角形的外面。

師：這還是三角形的高嗎？

生：還是三角形的高，因為這還是一條從三角形的頂點A向它的對邊BC所做的一條垂直線段。

師：通過剛才的一系列變化，你有什么發現?

生：不管哪一條高，都是頂點到它的對邊作一條垂直線段，但位置不一樣了。銳角三角形的高在三角形里面，直角三角形的高與直角邊重疊，鈍角三角形的高跑到三角形的外面了。……

以上的教學過程，筆者從運動變化的觀點出發，抓住三類三角形“同底等高”的這一聯系點，通過平移三角形的頂點，拓寬了三角形高的外延，突破了三角形高的認知局限，同時也突出了三角形高的本質屬性，促進了學生空間觀念的發展。

（三）聯中促通，突破難點

當學生完整建構了三角形高的概念后，畫高成了學生學習的重要任務，特別是畫鈍角三角形外面的高時，學生往往找不到三角板擺放的位置。筆者在實踐中采取“聯中促通、動態遷移”的方法突破了畫高難點。

師：畫這條鈍角邊上的高，你覺得三角尺放在什么位置合適呢？（出示一個鈍角三角形）

生：我們可以借助平移高的方法，讓三角板的一條直角邊與三角形的底邊重合，然后沿著三角形的底邊向頂點所在一邊平移，直到三角尺的另一直角緊靠著頂點，然后畫出高。

……

以上教學片段中，學生在畫鈍角三角形外面的高時，沒有采取從頂點向對邊作一條垂線的常規畫法，而是借助了之前因平移頂點而導致高的位置移動的活動經驗，通過平移三角板的方式找到了高的準確位置，實現了經驗的融通和方法的遷移，突破了學習的難點。

三、動態梳理概念關系，系統建立知識結構

圖形與幾何教學中，每一個概念都有著各自獨特的屬性，概念之間也有著非常密切的聯系。在動態中梳理概念之間的關系，既可以清晰地掌握概念的本質特征，同時又可以系統構建知識結構。

例如，在學生學習了五年級上冊平面圖形的面積后，在學生借助面積計算公式梳理知識后，筆者嘗試讓學生通過圖形的運動尋找多邊形間的特殊關系，構建知識網絡。

（一）變中求異，初步感知

師：平行四邊形和梯形是四邊形家族中的重要成員，它們間有什么不同的地方呢？

生：它們都是四邊形，最大的不同是平行四邊形有兩組對邊平行，而梯形只有一組對邊平行。

筆者通過動態演示：把梯形上底的一個頂點進行平移，使兩腰也平行，變成了平行四邊形。

師：通過剛才的演示，什么在變，什么沒有變？

生：當梯形的上、下底長度相等時，該梯形也就成了一個“特殊”的梯形。

……

學生在動態演示過程中，初步感知了通過改變圖形的特征，可以實現圖形間的相互轉化，從“另類”的視角打開了圖形關系梳理的一扇窗。

（二）變中求同，系統建構

當學生初步感知了梯形和平行四邊形的變與不變之后，筆者借助多媒體繼續演示：沿著梯形的上底向右平移頂點A，（如右上圖）當上下底相等時，圖形變成了上下底相等的“特殊梯形”（平行四邊形）；如果反之，當這個A點逐漸挨近B點，當上底的兩個頂點重合時，圖形變成了上底等于零的“特殊梯形”（三角形）。

在圖形的動態變化過程中，學生感悟了改變梯形上下底的長度關系，梯形可以在平行四邊形和三角形之間互相轉化，那么梯形的面積計算公式就可以將平行四邊形和三角形的面積計算方法包括其中，達到以簡馭繁、以少統多的效果，使概念間的關系在動態梳理中更加系統。

(三)變中求解，綜合應用

我們經常會碰到這樣的一類題目：比較兩條平行線之間的平行四邊形、三角形和梯形的面積大小（如下圖）。對于此類題目，我們一般的處理方法是假設出高的值，然后運用公式進行計算比較。

以上方法是建立在圖形面積公式的熟練計算的基礎上，如果我們借助圖形的動態處理，把三角形和平行四邊形分別看作上底是零、上下底相等的特殊梯形。那么在高相等的前提下，只要比較梯形上下底和的大小，就可以輕而易舉地得出三個圖形面積的大小關系，既解決了問題，又發展了學生的思維。

總之，運動變化觀點下的圖形與幾何教學，其實質是借助物體與圖形的運動，把抽象的數學知識轉化成動態的具體表象，使幾何表征更加直觀形象，空間關系更加簡潔清晰，知識結構更加完整系統，有利于促進學生空間觀念的深刻發展。

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[1]張奠宙.小學數學如何實現從直觀到抽象的飛躍[J].小學教學（數學版），2015（5）.

[2]朱樂平.談小學空間與圖形教學內容的動態處理[J].江蘇教育研究，2009（11B）.