一種機械臂終端滑模控制方法*

崔 寧 王 博 毛 寧

1.珠海城市職業技術學院機電工程學院，珠海 519090 2.吉林大學珠海學院機械與汽車工程系，珠海 519041 3. 北京理工大學宇航學院，北京 100081

機械臂作為機器人最為重要的執行部分，在機器操作終端起著不可忽視的作用，其執行性能、反應速度等更是研究人員關注的焦點。

機械臂是一種具有強耦合性的非線性集成式MIMO系統，易受到外界環境干擾的影響。因此，需要設計一種具有強穩定性的機械臂控制方法。通常，機械臂可簡化為二自由度連桿機構。針對這一結構，在已公開的文獻中，有很多控制方法，例如模型預測控制[1]，離散控制[2]，線性反饋控制[3]，滑模控制等[4-13]。早期對于機械臂的控制系統通常采用開環系統進行設計，但其效果不盡人意，控制精度低且抗擾動能力差[14]。文獻[15]應用PID控制理論，所提出方法在控制器設計中對模型參數不作要求，但其魯棒性不夠好。文獻[16]應用自適應控制理論，所設計系統能夠有效降低系統的參數不確定性對機械臂控制的影響。文獻[17]考慮了機械臂控制的全狀態約束，基于神經網絡控制理論，可保證系統響應始終處于全狀態約束中。文獻[18]應用自適應神經網絡控制理論，但采用神經網絡控制的方法對參數的設計選取有較大難度。文獻[4-13,19]應用滑模變結構控制理論，由于滑模控制具有強魯棒性的特點，可有效抵御系統內部與外界干擾；通過合理的趨近律設計，亦可實現有限時間收斂的特性；結合自適應算法，可避免繁瑣的參數調試。

考慮到以機械臂作為被控對象的非線性與強耦合性的特點，本文基于終端滑動模態控制理論，設計了一種新型機械臂終端滑模控制方法。提出了一種具有有限時間收斂特性的魯棒控制器，對所設計方法的有限時間收斂性進行了驗證，并采用李雅普諾夫方法證明了其穩定性。通過對采用所設計控制方法的控制器與經典線性滑模控制器進行仿真對比，證明了所述方法能夠實現在有限時間內控制兩桿角速度與角加速度收斂至期望值。

1 機械臂結構模型與控制模型

機械臂結構模型可簡化為圖1所示的平面二自由度連桿模型。該機械臂系統由連根細桿組成，質量分別為m1和m2，長度分別為l1和l2。A和B兩點可視為銷釘，桿1可繞A點做圓周運動，桿2可繞B點做圓周運動。

圖1 二連桿機械臂平面模型

根據拉格朗日方程，可建立如下力學模型：

(1)

(2)

式中，g表示當地的重力加速度，J1和J2為繞其質心的轉動慣量，滿足以下關系：

(3)

(4)

(5)

其中，

(6)

為系統的總不確定量。由文獻[15]得，

(7)

其中，b0，b1和b2為正實數。

注1：由式(5)可以看出，該機械臂系統為一二階系統，且桿1與桿2之間存在嚴重的控制耦合，解耦控制方法相當復雜。設計一種無需考慮解耦的非線性控制器，不失為一種高效的控制方法。

2 終端滑模控制器設計

定義期望角度向量為qd=[qd1,qd2]T,控制誤差e1=q-qd, 則有

(8)

對于以上誤差系統，定義終端切換函數

(9)

其中，α>0，β>0，γ∈(0,1)為切換函數的設計參數。趨近律可選取為

(10)

定理 1：考慮誤差系統式(8), 切換函數式(9)以趨近律式(10)，式(11)所示滑模控制器可使系統式(8)在有限時間內漸進穩定且收斂至0。

(11)

式(9)～(11)中，sgn(·)為符號函數，其定義為

(12)

為進一步消除抖振，實際應用過程中，采用飽和函數代替符號函數。飽和函數的定義如下：

(13)

其中，δ>0為設計參數。不同的δ對應的飽和函數圖像曲線如圖2所示。

3 有限時間收斂性與穩定性分析

定理 2：考慮式(11)所示終端滑動模態魯棒控制器，式(8)所示誤差系統中狀態量e1和e2可在有限時間內收斂至0；即系統式(4) 可在有限時間內收斂至預期。

圖2 不同設計參數條件下的函數圖像

證明：為分析該系統的有限時間收斂性與穩定性，有必要引入以下引理.

引理1[8]：對于C1型平滑系統f(x)∈，定義李雅普諾夫函數V(x)∈，如果該函數滿足以下條件：

(14)

即式(14)不等號左側半負定于實域空間，則有

(15)

式(14)和(15)中，β1∈+,β2∈+，η∈(0,1)。

選取如下李雅普諾夫函數：

(16)

(17)

可知在此控制器作用下，該系統穩定。

另外，

(18)

由引理1可知，系統會在有限時間收斂至滑模面。

(19)

式(19)中，Treach=[T1,T2]T∈+為雙桿到達滑模面的之間，s0=[s10,s20]T為雙桿滑模面的初值。

對切換函數式(9)應用引理1，顯而易見的，切換函數式(9)可使控制誤差e1及其導數e2在有限時間內收斂至0。

4 仿真實驗與結果分析

為驗證所述控制方法的魯棒性，有限時間收斂性以及抖振抗性，將所述控制器與經典線性滑模控制器在相同初始條件、相同擾動條件下做仿真實驗。仿真試驗中，兩桿的物理特性如表1所示。

表1 兩桿的物理特性

期望的轉角軌跡向量如下式所示：

(20)

擾動量選取為

(21)

作為對照，經典線性滑模控制器如下式所示：

(22)

s=e2+k1e1, sgn(s)=[sgn(s),sgn(s)]T

(23)

各控制器設計參數如表2所示

表2 各控制設計參數

仿真結果如圖4～8所示。

圖3 兩桿期望角度與實際角度

圖4 兩桿期望角速率與實際角速率

圖5 兩桿角度控制誤差

圖6 兩桿角速率控制誤差

圖7 兩桿控制指令

由圖3～7可知，在執行機構可以完全滿足控制指令的條件下，本文所述控制器與線性滑模控制器均可滿足控制需求。由圖3可知，在2種控制器作用下，兩桿角度均可收斂于期望角度，但本文所述控制器的收斂速度明顯優于線性滑模控制器。如圖4所示，在兩桿角速率控制層面，本文所述控制器的收斂速度亦優于線性滑模控制器。圖5和6分別顯示了兩桿角度與角速率層面，實際值與期望值之間的誤差。由此二圖得知，2種控制器均可使控制誤差在一定時間之后收斂至0，但相對于線性滑模控制器，本文所述控制器收斂時間更短。

圖7顯示兩桿的控制指令，在線性滑模控制器作用下，均會出現抖振現象，這對執行機構的高頻特性要求很高，因而出現誤差與錯誤的概率較高，不利于實際應用。相對于線性滑模控制器，本文所述控制器消除了抖振，易于實施。

為進一步探究設計參數對本文所述制導律的影響，分3種情況設計仿真實驗，設計參數如表3所示。

表3 設計參數表

在兩桿角度初值、擾動、誤差和期望運動軌跡均與前文相同條件下，仿真結果如圖8～12所示。

圖8 兩桿期望角度與實際角度

圖9 兩桿期望角速率與實際角速率

圖10 兩桿角度控制誤差

圖11 兩桿角速率控制誤差

圖12 兩桿控制指令

由圖8～11可知，在不同的設計參數下，兩桿的角速度與角加速度均能迅速收斂至期望角速度與期望角加速度，角度控制誤差與角速率控制誤差均能迅速收斂至0，收斂時間小于1s，且抖振抑制效果良好，證明了所設計控制器的有限時間收斂性與魯棒性。進一步通過對比可發現，當設計參數增大時，系統收斂速度亦隨之增快。圖12為兩桿控制指令，從中可知，當設計參數增大時，控制指令波動幅度亦相對增大，從而產生更強有力的控制力。綜上所述，在3種參數條件下，所述控制器均可完成控制任務，充分體現了所述控制器的參數普遍適應性。

5 結論

基于終端滑模控制理論，設計了一種可應用于普通機器人機械臂的控制器，該控制器具有以下優點：1)有效抑制了經典線性滑模控制中存在的控制指令抖振現象；2)適用于強耦合性與非線性系統，具有強魯棒性；3)可控制系統于有限時間內收斂至期望狀態。

參 考 文 獻

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