齒側間隙對嚙合力的動態影響分析

李 創，郗小鵬，吳宏宇，侯云雷

0 引 言

齒側間隙（簡稱“側隙”），是齒輪副非工作齒面之間的間隙。在精密傳動系統中，側隙是傳動系統傳動誤差產生的主要因素之一，輸入與輸出之間理想的線性關系被打破，呈現間歇的非線性特征。

文獻[1]研究表明側隙導致伺服系統速度環開環頻率特性降低；文獻[2]利用Adams建立單自由度齒輪傳動的動力學模型；文獻[3]采用描述函數法處理側隙的非線性，驗證側隙導致軸系扭轉剛度的降低；文獻[4]考慮時變嚙合剛度，提出了二級齒輪傳動的仿真實現技術與方法；文獻[5]對含時變剛度和側隙的多級齒輪傳動的非線性動力學特性進行了分析，分析了動態嚙合力隨轉速及嚙合剛度變化的影響。

在上述文獻的基礎上，本文考慮側隙及時變嚙合剛度，建立二級齒輪傳動的數學模型，利用虛擬樣機技術，建立模擬復雜工況的動力學模型，重點研究了外界高頻振動激勵與非恒定負載力矩擾動下，相應參數對齒輪嚙合力以及速度動態響應的影響，為傳動系統平穩性和精確性的設計和優化提供參考。

1 動力學模型

1.1 齒輪傳動簡化模型

本文所指齒輪傳動系統常見于機載或者車載目標跟隨伺服系統和光電穩定系統等，一般具有以下特征：

a）系統具備高定位精度和動態響應特性，伺服帶寬高；

b）適應復雜多變的隨機疊加窄帶或正弦的振動激勵；

c）機械系統為多自由度系統，系統的諧振頻率較高。

本文以某型號小型機載目標跟隨伺服系統為研究依據，建立該系統的單軸齒輪傳動模型，如圖1所示，傳動系統標準齒輪參數如表1所示。

圖1 單軸齒輪傳動模型Fig.1 Single Axis Gear Transmission Model

表1 標準齒輪參數Tab.1 Standard Gear Parameters

1.2 齒輪間隙的非線性特征

高頻率的變向、加速使齒輪副在接觸、分離、接觸反復狀態下，齒輪副等效的嚙合彈性變形量呈現強非線性特征。

忽略齒輪精度和使用環境不同所造成的側隙微小變化，對同一對齒輪副的側隙均值處理。設齒輪副的側隙為2bi，嚙合線上的直線位移為 xi，則彈性變形量d ( xi)（i=1,2,3）的數學表達式如下：

1.3 含側隙和時變嚙合剛度多級齒輪動力學模型

本文重點研究在復雜多變的外部激勵輸入條件下，多級齒輪傳動側隙對系統動態特性和伺服性能的影響。適當簡化齒輪動力學模型，采用文獻[6]中的彈簧、阻尼和間隙的扭轉-振動模型，如圖2所示，同時考慮以下簡化條件：

a）忽略軸端支撐的彈性變形和軸承游隙的影響；

b）忽略齒輪傳動摩擦力的影響；

c）忽略因齒輪精度所引入的靜態傳遞誤差；

d）相互嚙合的齒輪軸向固定，只存在扭轉變形；

e）忽略由齒輪精度、使用環境等因素所造成的側隙微小時變特征。

圖2 二級齒輪動力學模型Fig.2 Secondary Dynamic Gear Model

扭轉-振動非線性動力學數值分析，規定逆時針方向為正，采用集中質量法，建立其數學模型[6]。

式中MT，LT分別為電機的驅動力矩和負載阻力矩；J1，J2，J3，J4為齒輪 1～4 的等效轉動慣量；rb1，rb21，rb22，rb3為齒輪1、齒輪2、齒輪3和齒輪4的基圓半徑；q1，q2，q3為齒輪的角位移；d(x1)，d(x2)為齒輪副的等效嚙合彈性變形量；kt1，kt2為齒輪副的嚙合剛度；ct1，ct2為齒輪副的嚙合阻尼。

為便于扭轉-振動模型的求解分析，建立多級齒輪傳動動力學分析的矩陣形式表示為

式中 m為質量矩陣；c為嚙合阻尼矩陣；k為嚙合剛度矩陣；b為與側隙相對應的判定附加矩陣；f為負載矩陣。

由于側隙的存在，齒輪在接觸、分離和接觸狀態變換，∈ {- bi, 0,bi}，取值分別與3種狀態相對應。

1.4 時變嚙合剛度

齒輪在嚙合過程中，單對齒嚙合區和雙對齒嚙合區的周期性變化，導致齒輪副的嚙合剛度呈現典型階躍突變特性，如圖 3所示。根據李潤方、王建軍等人的研究成果，在保證齒輪精度的前提下，嚙合剛度具有明顯的周期性變化。

圖3 時變嚙合剛度簡化曲線Fig.3 Curve of Time-varying Mesh Stiffness

按照圖3所示，將齒輪嚙合剛度簡化為一個嚙合周期的矩形方波函數：

式中 ε為齒輪傳動的重合度；T為嚙合周期；in為第i個齒輪轉速；iz為第i個齒輪齒數。公式以嚙合頻率進行傅里葉級數展開，保留一階分量，則：

式中iw為第i對齒輪副的嚙合頻率；k0，a0，b0分別為展開式的常數項、一階余弦項和一階正弦項。

輪齒的嚙合阻尼可按下式計算，按照 Kasuba[7]和Wang[8]的分析計算，一般為0.03～0.17，本文ix=0.07。

1.5 側隙與傳動特性的影響分析

對于標準的漸開線圓柱齒輪傳動，側隙的存在使齒厚減小，嚙合的平均剛度降低，平均剛度與傳動角速度變化曲線如圖4所示，其中，側隙為2d，平均嚙合剛度為vK。

圖4 平均剛度與傳動角速度變化曲線Fig.4 Variation Curve of Sitiffness and Angular Velocity

在隨機振動疊加沖擊的工況環境下，系統的載荷輸出呈現高頻的交變特征，側隙附加的沖擊振蕩會導致系統動力輸入波動顯著增加，超越系統的動態適應能力，導致系統失穩。

2 系統仿真

2.1 系統仿真分析模型

根據上述理論分析，明確含側隙齒輪傳動動力學模型中剛度、阻尼以及負載的矩陣函數，利用 Adams動力學仿真軟件中的齒輪傳動仿真模塊，首先建立其與之符合的實體模型，設置齒輪副的嚙合剛度，阻尼和側隙值，基于Impact函數的接觸力計算，分析模擬載體的高頻正弦激勵和齒輪系統本身正弦激勵條件下齒輪嚙合力和齒輪輸入的力矩波動響應，為具有高動態響應的隨動系統的傳動設計提供理論支撐。仿真模型如圖5所示，簡化的二級齒輪傳動系統，包含振動載體、齒輪接觸副和邊界約束條件等。其中，接觸類型為實體接觸，剛度系數取決于碰撞物體的材料和結構形式，可近似按照文獻[9]確定，碰撞系數取值1.5，最大阻尼系數設為剛度系數值的0.5%，穿透深度取值0.1 mm，仿真參數設置中忽略齒輪傳動摩擦影響。

圖5 仿真模型Fig.5 Simulation Model

2.2 定載荷下齒輪嚙合特性仿真分析

首先分析定載荷、恒速運動工況，驗證齒輪嚙合模型的準確性和實用性。

齒輪1輸入轉速500 r/min。為避免速度突變，對仿真結果的影響，采用平滑加速函數step(t i me, 0,0,0.2,3000d)實現速度的控制。傳動輸出端齒輪 4施加恒定負載 1.5 N·m，采用平滑加速函數step( ti me , 0 , 0 , 0.2 , 15000 )施加力矩。

根據1.4節時變嚙合剛度的分析表明，齒輪1和齒輪2的嚙合呈現時變特征，嚙合頻率為1047.197 rad/s。仿真分析得到的齒輪嚙合力時域和頻域分別如圖 6和圖7所示。

總而言之,脛骨平臺合并半月板損傷患者接受早期的脛骨平臺骨折手術修復治療,對損傷半月板進行修復,能夠在一期就實現愈合,避免了骨折預后創傷性關節炎的發生,臨床中效果比較突出,值得推廣使用。

圖6 定載嚙合力的時域Fig.6 Time-Domain Chart of Fixed Meshing Force

圖7 定載嚙合力的頻域Fig.7 Frequency-Domain Chart of Fixed Meshing Force

從時域圖可以看出齒輪嚙合典型的時變特征，頻域圖得到嚙合主頻率為1046.57 rad/s，與理論分析相互吻合，驗證了齒輪嚙合模型理論分析的正確性。

2.3 側隙對嚙合力的仿真分析

a）側隙影響的仿真分析。

重點研究側隙對齒輪嚙合力和嚙合速度的影響。為簡化仿真計算量，選取末級單自由度齒輪傳動（齒輪3和齒輪4），同時增加齒輪4的偏心質量，模擬負載。齒輪3輸入速度正弦激勵，齒輪4為從動輪。齒輪系統的振動給定激勵，可以模擬隨機振動、正弦沖擊等復雜工況條件。側隙通過改變齒輪副的中心距進行側隙數值模擬，設定為0 mm、0.1 mm、0.16 mm 3個量值。兼顧計算的準確性和效率，采用 GSTIFF的剛性積分器，可以避免Jacobian矩陣病態的SI2格式。單級齒輪系統仿真模型如圖8所示。

圖8 側隙仿真模型Fig.8 Backlash Simulation Model

速度正弦激勵信號的幅值為 0.5 m/s，角頻率為1000 rad/s。齒輪輸入端（齒輪3）的輸入為速度正弦激勵信號幅值為1000 (°)/s，角頻率為10 rad/s。信號曲線如圖9所示。

圖9 激勵信號曲線Fig.9 Excitation Signal Curve

分別研究不同側隙量情況下的齒輪嚙合力的動態響應，分析時域和頻域特征。仿真結果表明，齒輪嚙合力會伴隨振動激勵出現周期性的峰值力和角速度的跳變，而且隨著側隙的增大，嚙合力呈現大幅度的增長，速度波動也愈明顯，甚至造成傳動系統的失穩。不同側隙情況下嚙合力時域對比曲線、嚙合力頻域對比曲線和角速度對比曲線分別如圖10～12所示。

圖10 不同側隙嚙合力時域對比曲線Fig.10 Time-Domain Curve of Different Meshing Force

圖11 不同側隙嚙合力頻域對比曲線Fig.11 Frequency-Domain Curve of Different Meshing Force

圖12 不同側隙角速度對比曲線Fig.12 Angular Velocity of Different Backlash

b）負載偏心影響的仿真分析。

圖13 不同偏心嚙合力對比曲線Fig.13 Meshing Force Curve of Different Eccentricity

圖14 不同偏心角速度對比曲線Fig.14 Angular Curve of Different Eccentricity

因此過大的齒側間隙，會使傳動系統振動加劇，在高頻振動激勵下，齒輪由于嚙合的沖擊震蕩導致的附加動載荷和速度的波動顯著增加，當間隙增加到一定程度，容易引起系統共振，造成驅動過載，導致系統運動失衡、隨機性的卡滯、堵轉和噪聲，影響系統的平穩性、可靠性和壽命。同時在傳動系統設計中，盡量減小偏心質量和偏心量，可以降低力矩突變。

3 結 論

本文根據齒輪的扭轉-振動理論，建立含側隙和時變嚙合剛度的二級齒輪傳動系統的數學模型，建立了高頻正弦振動激勵和往復速度給定的Adams動力學仿真模型。根據仿真分析，得出如下結論：

a）高頻振動激勵下，側隙導致齒輪嚙合的沖擊振蕩，引起額外附加動載荷，量級會隨著偏心質量和偏心量的增加呈現大幅度的增長，提高傳動系統末級減速比，消除末級齒隙，從而實現對傳動系統回差的細分，減小動載荷對輸入穩定性的影響；

b）速度輸出伴隨振動激勵頻率出現周期性的速度階躍，側隙愈大，速度波動幅值愈大，在高精度定位和精確速度控制環路中，盡量實現0側隙傳動，避免沖擊激勵下的速度階躍；

c）大慣量的偏心負載是引起齒輪傳動的振動、沖擊和噪聲的主要原因之一，減小偏心質量和偏心量可以顯著抑制齒輪傳動中嚙合力和速度的周期性階躍。

[1] 周金柱, 段寶巖, 黃進. 含有齒隙伺服系統的建模與對開環頻率特性的影響[J]. 中國機械工程, 2009(14)： 1722-1726.

Zhou Jinzhu, Duan Baoyan, Huang Jin. Modeling and effects on open-loop frequency for servo system with backlash[J]. China Mechanical Engineering, 2009(14)： 1722-1726.

[2] 洪清泉, 程穎. 基于ADAMS的多級齒輪傳動系統動力學仿真[J]. 北京理工大學學報, 2003, 23(6)： 690-693.

Hong Qingquan, Cheng Ying. Dyamic simulation of multi-stage gear train system in adams[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2003,23(6)： 690-693.

[3] 謝曉燕. 伺服系統的消隙抑振研究[D]. 南京： 南京理工大學, 2008.

Xie Xiaoyan. Study on backlash eliminator of servo system[D]. Nanjing University of Science and Technology, 2008.

[4] 唐增寶, 鐘毅芳, 劉偉忠. 多級齒輪系統的動態仿真[J]. 機械傳動,1993, 17(1)： 37-41.

Tang Zengbao, Zhong Yifang, Liu Weizhong. Dynamic simulation study on Muti-stage gear system[J]. Mechanical Transmission, 1993, 17(1)：37-41.

[5] 胡鵬, 路金昌, 張義民. 含時變剛度及側隙的多級齒輪系統非線性動力學分析[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(15)： 150-156.

Hu Peng, Lu Jinchang, Zhang Yimin. Non-linear dynamic feature analysis of a multi-stage gear system with time-varying mesh stiffness and backlash[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(15)： 150-156.

[6] 朱燕芬, 陳恩利, 申永軍, 等. 含有故障的齒輪系統扭轉振動分析[J].北京機械工業學院學報, 2007, 22(4)： 44-48.

Zhu Yanfen, Chen Enli, Shen Yongjun, et al. Analysis of torsional vibration of a spur gear system with faults[J]. Journal of Beijing Institute of Machinery, 2007, 22(4)： 44-48.

[7] Kasuba R, Evans J W. An extended model for determining dynamic loads in spur gearing[J]. Journal of Mechanical Design, 1981, 103(2)： 398-409.

[8] Wang K L, Cheng H S. A numerical solution to the dynamic load, film thickness and surface temperature in spur gears[J]. Journal of Mechanical Design, 1981, 103(1)： 177-187.

[9] 龍凱, 程穎. 齒輪嚙合力仿真計算的參數選取研究[J]. 計算機仿真,2002, 19(6)： 87-88, 91.

Long Kai, Cheng Ying. Study on parameters of gear mesh force simulation[J]. Computer Simulation, 2002, 19(6)： 87-88, 91.