一種車(chē)載小直角棱鏡方位自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)誤差分析

王學(xué)根，孫 煜，賀永喜，姜 華

0 引 言

在火箭的方位瞄準(zhǔn)系統(tǒng)中，直角棱鏡作為慣性測(cè)量組合的方位敏感目標(biāo)，固連在箭體上，地面瞄準(zhǔn)設(shè)備通過(guò)對(duì)直角棱鏡方位信息的測(cè)量，完成對(duì)火箭慣性測(cè)量組合的初始方位瞄準(zhǔn)[1,2]。在車(chē)載情況下，火箭和瞄準(zhǔn)設(shè)備都安裝在一輛載車(chē)上，其相對(duì)位置大致不變，瞄準(zhǔn)設(shè)備開(kāi)機(jī)后數(shù)分鐘內(nèi)就能完成對(duì)箭上直角棱鏡方位信息的測(cè)量，不再需要設(shè)備架設(shè)及其它人為操作，這種瞄準(zhǔn)系統(tǒng)就是自動(dòng)瞄準(zhǔn)系統(tǒng)。在自動(dòng)瞄準(zhǔn)系統(tǒng)中，完成對(duì)直角棱鏡方位角信息測(cè)量的設(shè)備通常為高精度自準(zhǔn)直測(cè)角光管（簡(jiǎn)稱(chēng)“自準(zhǔn)直光管”），其光電軸代表瞄準(zhǔn)系統(tǒng)的基準(zhǔn)方位，自準(zhǔn)直光管測(cè)出箭上直角棱鏡的方位信息，然后通過(guò)解算，確定箭上慣性測(cè)量組合直角棱鏡法線的初始方位。

在上述自動(dòng)瞄準(zhǔn)系統(tǒng)中，直角棱鏡固定在火箭上，雖然火箭與自準(zhǔn)直光管等瞄準(zhǔn)設(shè)備都安裝在同一輛載車(chē)上，但直角棱鏡和自準(zhǔn)直光管的位置關(guān)系并不能認(rèn)為保持不變。原因有以下幾點(diǎn)：一是火箭和載車(chē)都不能認(rèn)為是剛體，二是火箭相對(duì)載車(chē)要進(jìn)行起豎和回收，它們之間還有相對(duì)運(yùn)動(dòng)及減震等環(huán)節(jié)，每次火箭回收到位后的位置不能完全一致。另外，為了縮短火箭測(cè)試準(zhǔn)備時(shí)間，瞄準(zhǔn)設(shè)備和箭上慣性測(cè)量組合都不進(jìn)行精確調(diào)平，隨載車(chē)停放位置的地面不水平度的不同，自準(zhǔn)直光管與箭上直角棱鏡也會(huì)有姿態(tài)的相對(duì)變化。為了適應(yīng)箭上直角棱鏡與自準(zhǔn)直光管的位置相對(duì)變化并確保直角棱鏡總能處于自準(zhǔn)直光管的有效測(cè)量范圍內(nèi)，自準(zhǔn)直光管的有效口徑相對(duì)較大；另一方面，為了減少體積和重量，箭上直角棱鏡越來(lái)越小。此種瞄準(zhǔn)系統(tǒng)可以稱(chēng)為一種小目標(biāo)直角棱鏡及大口徑自準(zhǔn)直光管的方位自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)。由于測(cè)量時(shí)自準(zhǔn)直光管不重新架設(shè)、箭上直角棱鏡不調(diào)平，其二者之間可能存在著姿態(tài)、位置變化等因素，分析小目標(biāo)直角棱鏡及自準(zhǔn)直光管的姿態(tài)及位置變化對(duì)方位測(cè)量的影響，并對(duì)其可能帶來(lái)的測(cè)量誤差[3]采取針對(duì)性的控制措施，對(duì)提高自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)的精度指標(biāo)很有必要。由于位置變化引入的誤差可以通過(guò)控制自準(zhǔn)直光管與小目標(biāo)棱鏡的相對(duì)位置變化量進(jìn)行抑制，因此本文對(duì)此項(xiàng)誤差不再分析。

1 直角棱鏡姿態(tài)對(duì)方位測(cè)量的影響

1.1 直角棱鏡棱線水平時(shí)對(duì)方位測(cè)量的影響

1.1.1 直角棱鏡棱線水平時(shí)的反射作用矩陣

圖1為直角棱鏡與自準(zhǔn)直光管組成的自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)示意。

圖1 直角棱鏡與自準(zhǔn)直光管組成的自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)示意Fig.1 Auto-measuring System Composed of the Prism and Auto Collimating Light Pipe

如圖 1所示，自準(zhǔn)直光管和直角棱鏡放置在圖 1中右手螺旋坐標(biāo)系中，直角棱鏡的棱線與 X軸平行，則直角棱鏡的兩個(gè)反射面面1、面2法線的單位矢量N1、N2可分別表示為，

根據(jù)平面鏡反射定律，平面鏡的法線矢量為，其反射作用矩陣為R，則：

把1N、2N分別代入式（1），得直角棱鏡反射面1的反射作用矩陣，直角棱鏡反射面2的反射作用矩陣 R2，所以直角棱鏡的反射作用矩陣為

1.1.2 自準(zhǔn)直光管水平測(cè)量時(shí)的影響

假設(shè)自準(zhǔn)直光管呈水平狀態(tài)對(duì)直角棱鏡法線的方位進(jìn)行測(cè)量，在圖1的右手螺旋坐標(biāo)系中，自準(zhǔn)直光管測(cè)量光束的單位矢量可記為：，測(cè)量光束照射到直角棱鏡并經(jīng)過(guò)反射面面1、面2的反射，其返回的光束單位矢量為。

可見(jiàn)自準(zhǔn)直光管的測(cè)量光束被直角棱鏡原路返回，此種情況不會(huì)引入方位測(cè)量誤差。

1.1.3 自準(zhǔn)直光管傾斜測(cè)量時(shí)的影響

假設(shè)自準(zhǔn)直光管與Y軸呈β角（β角的符號(hào)根據(jù)右手螺旋法則確定）對(duì)直角棱鏡法線的方位進(jìn)行測(cè)量，在圖1所示的右手螺旋坐標(biāo)系中，自準(zhǔn)直光管的測(cè)量光束的單位矢量可記為：，測(cè)量光束照射到直角棱鏡并經(jīng)過(guò)反射面面1、面2的反射，則其返回光束的單位矢量為11′= =A HA

可見(jiàn)自準(zhǔn)直光管的測(cè)量光束被直角棱鏡原路返回，此種情況不會(huì)引入方位測(cè)量誤差。

1.2 直角棱鏡棱線傾斜對(duì)方位測(cè)量的影響

1.2.1 直角棱鏡棱線傾斜θ角時(shí)的反射作用矩陣

直角棱鏡棱線傾斜 θ角時(shí)，相當(dāng)于直角棱鏡繞 Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ（θ角的符號(hào)根據(jù)右手螺旋法則確定）根據(jù)矢量繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角的轉(zhuǎn)動(dòng)公式[4,5]：

直角棱鏡的反射面面1的法線矢量為=；直角棱鏡的反射面面 2的法線矢量為

將、代入（1），得直角棱鏡反射面面1、面2的反射作用矩陣分別為

所以直角棱鏡棱線傾斜θ時(shí)的作用矩陣為

1.2.2 自準(zhǔn)直光管水平測(cè)量時(shí)的影響

自準(zhǔn)直光管呈水平狀態(tài)對(duì)直角棱鏡法線的方位進(jìn)行測(cè)量，自準(zhǔn)直光管的測(cè)量光束單位矢量可以記為[6]，則測(cè)量光束經(jīng)直角棱鏡反射后，其返回光束的單位矢量為，可見(jiàn)自準(zhǔn)直光管的測(cè)量光束被直角棱鏡原路返回，此種情況不會(huì)引入方位測(cè)量誤差。

1.2.3 自準(zhǔn)直光管傾斜測(cè)量時(shí)的影響

同1.1.3節(jié)，自準(zhǔn)直光管的測(cè)量光束單位矢量可記為，經(jīng)直角棱鏡反射后，其返回光束的單位矢量為。比較 A3與A3′，可見(jiàn)自準(zhǔn)直光管測(cè)量光束被直角棱鏡反射后不再原路返回。其在坐標(biāo)系XY面內(nèi)與Y軸之間的夾角為

在小角度情況下，2θ ≈sin(2θ)，tan(α)≈α，因此式（5）可簡(jiǎn)化為

式（6）即是直角棱鏡棱線傾斜且自準(zhǔn)直光管有俯仰角測(cè)量的工況下引入的方位測(cè)量誤差，誤差值大小與直角棱鏡棱線的傾斜角θ、自準(zhǔn)直光管的俯仰角的正切值tanβ成正比，誤差值的正負(fù)號(hào)取決于直角棱鏡棱線傾斜角θ的定義。

2 光管光軸不水平帶來(lái)的方位影響

自準(zhǔn)直光管隨瞄準(zhǔn)設(shè)備安置在載車(chē)上，在載車(chē)靜止后，根據(jù)地面情況對(duì)載車(chē)橫向進(jìn)行大致調(diào)平，調(diào)平精度在5′以內(nèi)，由于載車(chē)長(zhǎng)、寬尺寸都比較大，其不能作為一個(gè)剛體看待。因此自準(zhǔn)直光管總是存在俯仰和橫滾兩個(gè)方向不水平度的姿態(tài)，下面分別分析自準(zhǔn)直光管俯仰和橫滾兩種不水平姿態(tài)對(duì)方位測(cè)量的影響。

2.1 自準(zhǔn)直光管俯仰姿態(tài)對(duì)測(cè)量的影響

如圖1所示的測(cè)量系統(tǒng)，自準(zhǔn)直光管與Y軸成β角測(cè)量直角棱鏡法線的方位時(shí)，自準(zhǔn)直光管測(cè)量光束的單位矢量記為，直角棱鏡棱線水平時(shí)的情況分析如1.1.3節(jié)；直角棱鏡棱線有傾斜時(shí)的情況分析如1.2.3節(jié)。

2.2 自準(zhǔn)直光管橫滾姿態(tài)對(duì)測(cè)量的影響

自準(zhǔn)直光管橫滾工況是指自準(zhǔn)直光管繞 Y軸有個(gè)小角度Ψ轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)自準(zhǔn)直光管繞X軸存在有轉(zhuǎn)動(dòng)和無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)兩種工況，下面分別進(jìn)行分析。

2.2.1 自準(zhǔn)直光管繞X軸無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)

自準(zhǔn)直光管繞X軸無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)，僅繞Y軸有Ψ角（Ψ角的符號(hào)根據(jù)右手螺旋法則確定）轉(zhuǎn)動(dòng)，在自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下其測(cè)量光束的單位矢量記為根據(jù)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)式（3），矢量A5繞直角棱鏡坐標(biāo)系的 Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)-Ψ角后，即轉(zhuǎn)換到直角棱鏡的XYZ坐標(biāo)系，在XYZ坐標(biāo)系下其單位矢量為，可見(jiàn)A5′與Y軸平行，其水平入射到直角棱鏡。

a）直角棱鏡棱線水平時(shí)。

直角棱鏡的反射作用矩陣如式（2）所示，則 A5′經(jīng)直角棱鏡反射后的單位矢量為再經(jīng)過(guò)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)公式，變換到自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下，在自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下其單位矢量為，因此可得與A5方向相反，該工況不會(huì)引入方位測(cè)量誤差。

b）直角棱鏡棱線有θ角時(shí)。

直角棱鏡的反射作用矩陣如式（4），則 A5′經(jīng)直角棱鏡反射后的單位矢量[7]為，再經(jīng)過(guò)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)式（3），變換到自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下，在自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下其單位矢量為 A5′ = Sy,ψA5′′=， 因 此 可 得 A5′′ 與A5方向相反，該工況不會(huì)引入方位測(cè)量誤差。

2.2.2 自準(zhǔn)直光管繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)β角

在該工況下，自準(zhǔn)直光管即繞Y軸有Ψ角轉(zhuǎn)動(dòng)，又繞X軸有β角轉(zhuǎn)動(dòng)，Ψ角、β角的符號(hào)均根據(jù)右手螺旋法則確定。自準(zhǔn)直光管測(cè)量光束的單位矢量在自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下為[7]：

A6繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)-Ψ角后，轉(zhuǎn)換到小直角棱鏡所在的XYZ坐標(biāo)系后其單位矢量為

a）直角棱鏡棱線水平時(shí)。

直角棱鏡的反射作用矩陣如公式（2），則 A6′經(jīng)直角棱鏡反射后的單位矢量為， A6′′再經(jīng)過(guò)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)公式，變換到自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下，在自準(zhǔn)直光管其單位矢量為

A6′′與A6不再平行，此工況帶來(lái)的方位測(cè)量誤差為

在小角度情況下，2ψ ≈sin(2ψ)，tan(α)≈α，所以：

比較式（6）、式（7）可知，在自準(zhǔn)直光管有俯仰角情況下，自準(zhǔn)直光管橫滾工況等效于直角棱鏡棱線的相對(duì)傾斜工況，其引入的方位測(cè)量誤差公式是一樣的。

b）直角棱鏡棱線傾斜θ角時(shí)。

直角棱鏡的反射作用矩陣如式（4），則 A6′經(jīng)直角棱鏡反射后的單位矢量為

A6′′再經(jīng)過(guò)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)公式，變換到自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系下，在自準(zhǔn)直光管坐標(biāo)系其單位矢量[2]為

A6′′與A6不再平行，此工況帶來(lái)的方位測(cè)量誤差為在小角度情況下，2(θ +ψ )≈ s in2(θ +ψ)，tan(α)≈α，所以：

式（8）進(jìn)一步證實(shí)：自準(zhǔn)直光管橫滾帶來(lái)的方位測(cè)量誤差等同于直角棱鏡棱線傾斜帶來(lái)的方位測(cè)量誤差。由式（8）可知，在小角度情況下，自準(zhǔn)直光管橫滾及直角棱鏡棱線傾斜引入的方位測(cè)量誤差值大小，與直角棱鏡棱線的傾斜角θ及自準(zhǔn)直光管橫滾角Ψ的代數(shù)和、自準(zhǔn)直光管的俯仰角的正切值tanβ成正比。

3 結(jié) 論

在小角度情況下，自準(zhǔn)直光管橫滾帶來(lái)的方位誤差等效于直角棱鏡棱線不水平時(shí)測(cè)量帶來(lái)的方位測(cè)量誤差，在自準(zhǔn)直光管存在俯仰角測(cè)量時(shí)二者引入的方位測(cè)量誤差公式是一致的。通過(guò)測(cè)量出直角棱鏡的棱線不水平度、自準(zhǔn)直光管的橫滾角及俯仰角可以對(duì)這項(xiàng)誤差進(jìn)行精確補(bǔ)償。如果直角棱鏡的棱線不水平度無(wú)法給出，則自準(zhǔn)直光管仰角要接近0°測(cè)量，才能消除該項(xiàng)方位測(cè)量誤差。

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