基于正則化的陸基偽衛星整周模糊度解算方法

張晨皓，孫發魚，白瑞青

(機電動態控制重點實驗室，陜西 西安 710065)

0 引言

隨著現代科技的發展，人們對全球導航衛星系統[1](GNSS)定位精度的要求越來越高。GNSS的定位精度依賴于可見星的數目及其空間幾何分布的狀況，然而在特殊的地形條件下，如“城市峽谷”、深山礦區、地下通道等地，GNSS的接收機天線受到遮擋使可見星數目減少，無法保證定位精度。為了解決GNSS可見星數目不足的問題，人們發明了陸基偽衛星定位系統，該系統可以作為GNSS的地面增強系統，也可以在GNSS完全失效的情況下代替其進行獨立定位。陸基偽衛星定位系統使用載波相位定位的方法，這種方法利用載波相位觀測量進行定位，其定位精度較高，且對環境的適應性強。然而在利用載波相位觀測量進行定位時會引入一個新的誤差：整周模糊度。想要得到高精度的位置信息，就必須妥善解決整周模糊度的解算問題[2]。

關于整周模糊度的解算問題，國內外已經進行了許多研究。傳統的解算方法是文獻[2]提出的靜態初始化法(Known Point Initialization，KPI)，這種方法技術比較成熟且系統結構簡單，然而使用此法的先決條件是在解算開始之前已知接收機的初始坐標，否則便無法完成解算，因此這種方法不適用于陸基偽衛星定位系統。文獻[3]基于GPS系統提出了最小二乘法和LAMBDA搜索算法[7]相結合的整周模糊度在線解算方法，這種方法不需要提前獲知接收機的初始坐標，能夠滿足特殊地形條件下的定位需求，適用于陸基偽衛星定位系統。然而使用最小二乘法進行在線解算的過程中，觀測方程的法方程會存在病態性問題，這會極大地影響解算精度。文獻[5]提出了用嶺估計法和截斷奇異值法代替最小二乘法的在線解算方法，此方法的解算精度雖有所提升，但仍無法滿足陸基偽衛星系統的定位需求。本文針對特殊地理環境下陸基偽衛星系統整周模糊度解算精度不足的問題，提出了基于TIKHONOV正則化方法[6]的陸基偽衛星定位系統整周模糊度在線解算的方法。

1 基于最小二乘法的陸基偽衛星整周模糊度浮點解解算方法

通常GNSS利用雙差分觀測的方式得到觀測方程[7]，然后利用雙差分觀測方程進行整周模糊度的解算。陸基偽衛星定位系統的基站位于地面，一般不會存在很大的電離層誤差，考慮到系統精度、系統復雜程度、系統成本等多方面因素，本文采用單差分觀測的方式進行觀測[2]。

先假設一個參考信號為接收機到偽衛星基站節點j的信號，再假設另一個信號為接收機到另一個節點i的同頻信號，那么這兩個信號的觀測方程如式(1)、式(2)：

(1)

(2)

將兩式相減，得出單差分觀測方程如式(3)：

ΔΦij=(Φi-Φj)=

(3)

(4)

當接收機位置坐標無法獲取時，可將坐標作為未知數進行解算[8]。假設對偽衛星系統做了n個歷元的觀測，再假設系統有m+1個偽衛星基站，那么每次觀測能得到m個單差分觀測方程，觀測量矩陣z是一個m×n×1的矩陣，其表達式如式(5)：

(5)

由于每次觀測時接收機的坐標都會產生變化，因此觀測n次就會產生3×n個未知數，m個單差分觀測方程意味著有m個單差分整周模糊度，所以未知數的數量是3×n+m個。不妨設未知數矩陣x的表達式如式(6)：

x=[xc，xN]=[xt1，yt1，zt1，xt2，yt2，zt2，…，

xtn，ytn，ztn，ΔN1，ΔN2，…，ΔNm]T

(6)

這樣就可以寫出單差載波相位定位方程如式(7)：

Δz=AccΔxc+ANNΔxN+ξ

(7)

根據最小二乘法的原理，各參數應當滿足條件式(8)：

(8)

式(8)中的系數矩陣Acc和ANN是雅可比矩陣。系數矩陣Acc的表達式如式(9)：

(9)

其中，

Acc，t1=J(xt1，yt1，zt1)=

(10)

系數矩陣ANN的表達式如式(11)：

(11)

根據式(7)可以得出載波相位定位的法方程[9]如式(12)：

N0Y=Z

(12)

式(12)中，N0為法方程系數陣，

(13)

(14)

(15)

(16)

對應的最小二乘解為：

(17)

這樣就得到了整周模糊度的浮點解ΔxN，整周模糊度在線解算的第一步也就完成了。然而當觀測時間較短(僅有幾個歷元)時，偽衛星基站和接收機之間的幾何圖形變化較小，各歷元觀測量之間有較強的相關性，導致觀測空間的多樣性嚴重不足。在這種情況下，觀測方程的法方程會呈現病態性[10]，此時解算出的整周模糊度浮點解會存在較大誤差，因此必須妥善解決這一問題。

2 基于正則化的陸基偽衛星整周模糊度在線解算方法

整周模糊度的在線解算共分為兩步，首先解算出整周模糊度的浮點解，然后利用解算出的浮點解來搜索整周模糊度的整數解，這個整數解即為整周模糊度最終的解。因此，整周模糊度浮點解的解算精度會直接影響到整周模糊度整數解的搜索精度，也就是整周模糊度的解算精度。

想要提高陸基偽衛星系統整周模糊度浮點解的解算精度，如何妥善解決觀測方程法方程的病態性問題是一個關鍵性環節。首先分析法方程的病態性對整周模糊度浮點解解算精度的影響。

法方程中的系數矩陣N0和矩陣Z實際上都分別含有微小的觀測誤差δN0和δZ，那么相應的未知數矩陣Y也會產生微小誤差δY，法方程的表達式如式(18)：

(N0+δN0)(Y+δY)=Z+δZ

(18)

相應的最小二乘解為：

(19)

將式(12)、式(17)帶入式(19)，整理得

(20)

對上式的兩端取2-范數，根據向量范數的三角不等式以及矩陣和向量范數的相容條件，將式(20)轉換為：

(21)

整理式(21)，得：

(22)

(‖δZ‖+‖δN0‖‖Y‖)

(23)

對式(12)的兩端也取2-范數，根據向量范數的三角不等式，得：

‖N0‖‖Y‖≥‖Z‖

(24)

(25)

將式(23)、式(25)左右相乘，得

(26)

通過分析可以看出，法方程的病態性問題對整周模糊度浮點解的解算精度影響很大，必須妥善解決這一問題。最直接的解決方法是增加觀測時間，但是這種方法顯然不符合定位系統“快速”的基本要求。既然這種方法行不通，那不妨通過改善整周模糊度的解算方法來提升整周模糊度浮點解的解算精度。

本文使用TIKHONOV正則化方法來削減法方程的病態性。根據TIKHONOV正則化原理，首先寫出估計準則如式(27)：

‖N0Y-Z‖2+αΩ(y)=

‖N0Y-Z‖2+αYTRY=min

(27)

式(27)中，α為正則化參數，R為正則化矩陣，Ω(y)為穩定泛函，‖·‖表示2-范數。從上式可以看出，TIKHONOV正則化方法與一般最小二乘法的不同之處在于增加了一個穩定泛函Ω(y)，并且要求該泛函極小。

解算過程的關鍵是得出α和R。換言之，解算法方程病態問題的關鍵有兩個：一是選取正則化矩陣R，二是計算正則化參數α。經過多次實驗驗證，決定采用如下數據：

其中，n為觀測歷元數，I3×3為3階單位陣。

通過此法計算得出的法方程最小二乘解如式(28)：

(28)

與式(17)相比，TIKHONOV正則化方法得出的解當中多了一個R矩陣，此時法方程系數矩陣N0的條件數大大減小，法方程的病態性也就得到了削弱，從而縮小了整周模糊度浮點解的解算誤差。

得到整周模糊度的浮點解之后，接下來要做的是搜索整周模糊度的整數解。傳統的搜索方法原理很簡單，就是利用整數最小二乘法求解差分載波相位方程。但是在經過差分運算后，各差分方程的整周模糊度之間存在一定的相關性。在本文觀測歷元較少的情況下，整周模糊度的相關性增大，整周模糊度的搜索空間也會隨之增大，這樣模糊度整數解的搜索效率就很低。

為了提高搜索效率，本文采用由Teunissen P.J.G提出的最小二乘降相關搜索法(LAMBDA)。LAMBDA算法的核心思路是從概率的角度出發，以離散的方式進行搜索。首先建立搜索準則如式：

(29)

對式(29)進行分析可以看出，它所確定的空間是一個橢球體空間，此空間以模糊度的浮點解作為圓心，其大小由門限參數χ2來決定，其方向和橢球率由模糊度協方差矩陣來決定。在利用LAMBDA算法進行運算時，首先利用Z變換，將模糊度浮點解協方差矩陣變換為整數。經過Z變換后，搜索空間將由橢球體轉變為近似球體且體積不變，這樣模糊度的候選組數將大大減小，從而提高了搜索效率。

3 仿真驗證

本文使用Matlab軟件對實驗中的偽衛星定位系統進行數據解算和仿真，這其中用到了Matlab軟件中的符號運算工具箱(Symbolic Math Toolbox)，該工具箱能夠提供包括微積分、線性代數在內的常見數學領域的函數庫。對于Matlab軟件和Symbolic Math Toolbox這里不再進行贅述。

實驗首先要做的是搭建一個陸基偽衛星定位系統，本實驗共使用五臺偽衛星基站進行組網，分為一臺主基站和四臺從基站，各基站的位置坐標如表1所示。

表1 各基站的位置坐標

Tab.1 The coordinate of each base station

基站名稱東西向坐標X/m南北向坐標Y/m高度坐標Z/m主基站000從基站1-371.166-1.883-13.921從基站2309.928493.650-12.360從基站3188.614-225.426-7.678從基站4-356.769-349.588-6.975

基站的幾何分布二維圖如圖1所示。

圖中“o”表示主基站，“+”表示從基站，各基站均搭載有信號發射機及發射天線。

我們將信號接收機和接收天線裝配在一輛電動車上。實驗開始時，這輛電動車在主基站附近做近似圓周運動，圓周的直徑約為35 m，圓心坐標約為(0，-37)。電動車行駛的大致軌跡如圖2所示。

本實驗選取運動軌跡上均勻分布的八個點作為觀測點，觀測點的分布如圖2所示。通過對這8個點的觀測，我們可以得到8個歷元的觀測數據。

為了驗證整周模糊度在線解算的精度，我們需要將模糊度的浮點解和整數解與模糊度的真值作對比。模糊度真值的計算是在已知接收機坐標的條件下進行的。我們選取主基站作為參考基站，將4個從基站的觀測數據與主基站觀測數據做差運算，再利用式(4)進行計算即可得到單差分整周模糊度，也就是模糊度的真值。

整個實驗分為兩個方案進行仿真。

方案一：不使用TIKHONOV正則化方法，僅使用最小二乘法解算整周模糊度的浮點解，然后使用LAMBDA算法搜索整周模糊度的整數解。

方案二：使用TIKHONOV正則化方法對法方程病態性進行削弱后再解算整周模糊度的浮點解，然后使用LAMBDA算法搜索整周模糊度的整數解。

對以上兩方案進行仿真，得到的仿真結果及真值的對比如表2所示。

表2 模糊度浮點解、整數解及真值

Tab.2 The float solution，integer solution and true value of carrier phase ambiguity

模糊度序號方案一的浮點解方案一的整數解方案二的浮點解方案二的整數解模糊度真值N01-152.45-152-100.17-100-100N02-534.32-534-400.49-400-400N03-673.68-673-500.52-500-500N04-1035.39-1035-800.84-800-800

表2中的仿真結果表明，在使用方案一，即不使用TIKHONOV正則化方法的情況下，模糊度浮點解的誤差有幾十甚至幾百單位，誤差很大，因此很難搜索到精確的模糊度整數解；在使用方案二，即使用TIKHONOV正則化方法的情況下，模糊度浮點解的誤差僅有不到一個單位，誤差縮小了數十倍，此時搜索到的模糊度整數解與模糊度真值相同。

綜合以上實驗結果可以得出結論，本文提出的方法能夠提高整周模糊度的解算精度。

4 結論

本文提出了基于TIKHONOV正則化的陸基偽衛星系統整周模糊度在線解算的方法。該方法根據陸基偽衛星定位系統所處的環境，使用TIKHONOV正則化方法對觀測方程的法方程進行處理，對法方程的病態性進行削弱。仿真驗證結果表明，使用TIKHONOV正則化方法削弱法方程的病態性后，整周模糊度浮點解的解算誤差縮小了數十倍，據此搜索出的整周模糊度整數解與真值相同。由此可知本文提出的方法能夠解決觀測方程法方程的病態性問題，使模糊度浮點解的精度大大提高，模糊度整數解搜索的準確性也會隨之提高，從而實現提高整周模糊度解算精度的目標。目前，基于TIKHONOV正則化的整周模糊度在線解算方法還沒有在陸基偽衛星定位系統中得到實現，因此下一步工作的重點就是將此方法在工程當中實際運用，進一步完善陸基偽衛星定位系統的整周模糊度在線解算方法。

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