基于獨立分量分析下的跳頻網臺分選?

楊蕓丞 孫雪麗 朱念斌

（1.海軍航空大學 煙臺 264001）（2.61923部隊 北京 102446）

1 引言

現代信息化戰爭中，跳頻通信由于其截獲概率低、組網方式靈活、信道衰減緩慢等優點，在軍事通信、指揮、控制和情報系統均得到了廣泛應用［1］。然而對于信號監聽一方而言，如何在不具備一切先驗條件的情況下，從混合信號中將多個跳頻電臺的信號分選出來，仍然是跳頻通信偵察中具有挑戰性的問題［2］。

傳統的跳頻網臺分選方法多依據信號的特征參數進行電臺分選。文獻［3］利用時域頻域綜合處理和高精度參數估計進行分選；文獻［4～6］通過對跳頻信號的跳周期、跳時、來波方位、功率等參數的準確估計聚類分選；文獻［7］通過對跳頻信號特征參數的估計搭建了稀疏貝葉斯模型進行網臺分選。但在戰場環境中，這些網臺特征往往不能做到實時準確的獲取，也就導致了這些算法的局限性。

本文將快速獨立分量算法［8］應用到跳頻網臺的分選中，在未知網臺特征參數的前提條件下，建立一個負熵最大化的目標函數，通過定點迭代［9］的固定點算法，以負熵最大［10］作為一個搜尋方向，順序地提取了獨立源，完成了對混疊跳頻信號的分離，從而實現了對跳頻網臺的盲分選。與傳統算法相比，該算法無需先驗了解跳頻信號的特征參數，算法簡單，實時性好。在較低的信噪比條件下，分選效果仍比較理想。

2 數學模型

2.1 跳頻信號模型

跳頻信號的數學模型可以定義為［11］

其中Tc為跳變周期，fk為第k次跳變頻率，φk為對應的初始相位，A為跳頻信號的幅值，gTc(t)是高為1，寬為Tc的閘門函數。

根據上面的數學模型，令 A=1，φk=0，采樣頻率為1kHz，跳周期為40ms，觀測時間為320ms，假設k取8，也就是共有8個跳頻頻率。令跳頻頻率集歸一 化 ，fk=[0.10，0.45，0.30，0.05，0.20，0.40，0.25，0.15]，單位為 kHz，在時域得到 320個樣本值。仿真得到該跳頻信號的時域信號如下：

2.2 獨立分量分析模型

獨立分量分析模型包括含噪線性模型和無噪線性模型［12］，本文主要使用含噪聲線性模型。觀測信號為含噪聲的源信號的瞬時線性組合，則待處理的觀測信號可表示為

其中s(t)為n維統計上相互獨立的源信號矢量，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sn(t)]T，x(t)為m（n≤m）維的觀測信號矢量，x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xm(t)]T，n(t)為m維的噪聲矢量，A為m×n維隨機矩陣。為了保證ICA是可解的，需對該模型有下列的限制：

1）源信號要具有統計獨立性。這項假設是ICA可以應用于各個不同領域的原因。用 p(s)表示源信號矢量s(t)的聯合概率密度，用p1(s1)，p2(s2)，p3(s3)，…pn(sn)表示各個源信號的邊緣概率密度，則源信號的統計獨立性可以概括為

2）所觀測矢量是非高斯分布的。若觀測矢量為高斯分布，其高階統計量為零，就無法估計ICA模型。

3）源信號數目要少于或等于觀測信號數目。當源信號數目少于觀測信號數目時，可先利用主分量分析（PCA）降低數據維數，再進行獨立分量分析。

在滿足上述三個條件的情況下，ICA的目的就是尋找一個解混矩陣W ，使得

式（5）中，y(t)是s(t)的估計矢量，當解混矩陣W 是A的逆矩陣時，即WA=I，在未加噪聲的前提下，由觀測信號x(t)恢復成統計獨立的源信號s(t)。

ICA模型的求解，本質上是一類最優化求解問題，關鍵在于建立目標函數和找到合適的尋優算法。首先，基于信息論或者統計理論，以各獨立分量的非高斯性程度作為優化判據，以解混矩陣W為自變量建立一個目標函數，找到該目標函數的極大或者極小值，即為最接近真實解的最優解W ；其次，尋找某種有效的優化目標函數的優化算法以求解W ，常見的優化目標函數的優化算法包括：基于特征矩陣的聯合近似對角化法（JADE法）梯度法、成對數據旋轉法、基于負熵的固定點算法等。本文采用基于負熵最大化的固定點算法對跳頻信號網臺進行盲分選。

3 算法原理

算法思想：首先對跳頻信號的數據進行預處理，然后基于負熵最大的優化判據建立目標函數，最后采用固定點算法迭代尋優，求解混矩陣W ，從而實現跳頻網臺的盲分選。下面詳細說明算法原理。

3.1 數據的預處理

在對觀測信號進行盲源分解［13］前，通常都需要進行一些預處理，包括中心化和白化兩部分內容。在本文中，假設各個觀察源是均值為零的隨機變量，為了能符合這一數學模型，必須預先去除信號的均值。設x為均值不為零的隨機向量，只需用x0=x-E(x)代替 x即可，對中心化的信號經過ICA分析得到解混矩陣W后，最后再在源信號的估計值上加上均值。另一方面，為了去除各觀測信號之間的相關性，簡化后續分量的提取過程，對去均值后的觀測信號進行白化處理。對觀測信號x(t)，我們應該尋找一個線性變換，使x(t)投影到新的子空間后變成白化向量z(t)，即：

其中，W0為白化矩陣，z為白化向量。利用PCA分析，我們通過計算樣本向量可以得到：

其中U和Λ分別代表協方差矩陣Cx的特征向量矩陣和特征值矩陣。可以證明，線性變換W0滿足白化變換的要求，使E[zzT]=I。白化使原來所求的解混合矩陣A退化成一個正交陣，這種預處理方法使自由度從N2降為N×( )N-1/2，且算法收斂性更好。

3.2 負熵最大的優化判據（目標函數）

設隨機變量 y的概率密度為 p(y)，則其微分熵：

由微分熵引出負熵：

根據信息理論，在具有相同方差的隨機變量中，高斯分布的隨機變量具有最大的微分熵。y的非高斯性越強，其微分熵越小，J()y值越大，所以J()

y可以檢驗隨機變量y的非高斯性，進而衡量各獨立分量的分離程度。采用負熵需要知道y的概率密度分布函數，這很困難，因此我們采用一個經典的近似公式：

其中，E[·]為均值運算；G(·)為非線性函數，可取，G2(y)=-exp(- y2/2 )或等非線性函數，a通常取1。

3.3 固定點算法

為找到一個獨立分量或者投影追蹤的方向，在WTx的方差約束為1的條件下，令WTx具有最大的非高斯性，負熵最大化目標函數如下：

根據Kuhn-Tucker條件，E{g (WTx ) }的最優值能在滿足下式的點上獲得：

則稱算法A滿足ε-差分隱私.其中，Pr[.]表示隱私被披露的概率，它是由算法A的隨機性所控制(與攻擊者的背景知識無關)；ε是隱私保護參數，表示隱私保護的力度，ε越小意味著隱私保護力度越強.定義3本質上刻畫了基于隨機算法A輸出的兩個相鄰矩陣的不可分程度.

其中，β 是一個恒定值，g(·)是G(·)的導數，β=E{xg(W0Tx ) }，W0是優化后的W 值。利用牛頓迭代法解方程。用F表示式上式左邊的函數，可得F的雅可比矩陣JF(W )如下：

由于數據被白化，E{x xTg'(WTx ) }≈E{x xT}·E{g'(WTx)}=E{g'(WTx)}I。因而雅可比矩陣變成了對角陣，得到下面的近似牛頓迭代公式：

其中，W*是W 的新值，β=E{WTg(WTx ) }，歸一化能提高解的穩定性。簡化后得到FastICA算法的迭代公式：

4 算法流程

按照上文FastICA算法原理，對觀測到的混疊跳頻信號進行盲分選，具體的算法流程如下：

步驟1：對觀測信號x進行中心化，使它的均值為0；再對中心化的數據白化處理得到z(t)。

步驟2：隨機選擇一個具有單位范數的初始權矢量Wp。

步驟3：設迭代次數 p初始值為1，設需要估計的分量個數為n。

步驟4：令Wp=E{z g (z) } -E{g ' (WpTz)} Wp，取g(y)=G'(y)=tanh(ay)。

步驟5：對Wp正交化

步驟6：對Wp歸一化：令Wp=Wp/‖‖Wp。

步驟7：若Wp收斂，加上均值得到源信號；Wp不收斂，返回步驟四。

步驟8：令 p=p+1，如果 p≤n，返回步驟3，進行下一個獨立分量的估計。

通過上述實現步驟，可以根據觀測信號估計出源信號。

5 仿真實驗

5.1 無噪聲條件下網臺分選實驗

針對上述算法，對混疊跳頻信號進行網臺分選實驗。依據前文數學模型，信號源由三組不同頻率集的同步正交跳頻網臺產生。三組跳頻信號跳頻速率同為250hop/s，采樣率同為1kHz，抽取前320個點作為實驗樣本。

三組歸一化跳頻頻率集分別為

隨機混合矩陣為

仿真后，得到圖2所示的源信號圖，圖3所示的觀測信號圖。通過固定點算法對圖三中的觀測信號進行處理，得到解混矩陣：

在未加噪聲的前提下，分離信號如圖4。由圖4可知，未加噪聲時，ICA對跳頻信號分選效果非常好。美中不足的是，分離信號的次序較源信號發生了變化；分離信號的幅度和相位也發生了變化。但這并不影響跳頻信號主要參數的獲取。三個跳頻網臺中源信號與分離信號的的相關系數分別為0.9966，0.9970，0.9968。結合四階累積量和所取的初始跳頻源信號，可以得出結論：ICA進行跳頻網臺分選，初始跳頻源信號的非高斯性越強，分離效果越好；反之，分離效果越差。

5.2 帶噪聲條件下網臺分選實驗

實際戰場上，電磁環境十分復雜，故必須要考慮噪聲干擾。原條件不變，對原仿真加以高斯白噪聲影響，做出仿真分析，仿真結果如圖5所示。在不同信噪比下，用FastICA算法和非線性PCA算法蒙特卡洛實驗500次后，源信號與分離信號相關系數的性能分析（取三組信號相關系數中的最小值）如圖6所示。

通過仿真實驗可以看出，對源信號的分離效果來看，FastICA算法明顯優于非線性PCA算法。當觀測信號的信噪比低于-3dB時，FastICA算法分選效果顯著下降，當信噪比高于-3dB時，FastICA算法可以較好地分選出不同跳頻電臺的跳頻信號。

其次是FastICA算法與非線性PCA算法運算量的比較，設定實驗次數分別為：50、100、500，將分別記錄傳FastICA算法與非線性PCA算法完成分選所需要的時間，記錄的時間如表1所示。

從表1中可以看出，非線性PCA算法完成網臺分選所需要的時間要多于FastICA算法所需要的時間，特別是當實驗次數增加后，傳統算法與新算法所耗費的時間差距更加明顯。

表1 -3dB時兩算法分選時間對照

綜合以上兩個方面，可以得出結論：在跳頻混疊信號分選中，FastICA算法分選效果明顯優于非線性PCA算法。

6 結語

本文通過建立數學模型仿真出跳頻信號，詳細推導和闡述了基于負熵最大的優化判據和固定點算法，仿真實驗證明了該算法的有效性，在較低的信噪比條件下，在-3dB的信噪比條件下，分離速度較非線性PCA算法提升45%左右，分選準確度達到95%以上。在以后的工作中，一方面，將對ICA算法的目標函數和尋優算法做出改進，提高分選結果的準確度和收斂性；另一方面，將結合ICA降維的方法，對欠定條件下的跳頻網臺進行盲分選。

［1］Lin C H，Fang W H.Joint angle and delay estimation in frequency hopping system［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2013， 49（2）：1042-1056.

［2］張東偉，郭英，齊子森，等.采用空間極化時頻分布的跳頻信號多參數聯合估計算法［J］.西安交通大學學報，2015，49（8）：17-23.

［3］陳美良，肖揚燦，朱佳偉，等.一種基于高精度參數估計的跳頻網臺分選方法［J］. 通信對抗，2017，36（2）：7-11.

［4］王斌，陳秋華，王翠柏.基于聚類的跳頻信號分選［J］.北京郵電大學學報，2009，32（2）：80-84.

［5］齊昶，王斌，丁海軍.基于KHM聚類算法的跳頻信號分選［J］.聲學技術，2011，30（6）：547-551.

［6］顧晨輝，王倫文.一種正交跳頻信號動態分選方法［J］. 宇航學報，2012，33（11）：1699-1755.

［7］郭海召，張順生.稀疏貝葉斯模型在跳頻電臺中的應用［J］. 信號處理，2016，32（6）：733-738.

［8］Hyv?rinen A，Hurri J，Hoyer P O.Independent compo?nent analysis［M］//Natural Image Statistics.Springer Lon?don，2009：151-175.

［9］蘇岐芳.五階收斂的牛頓迭代改進法［J］.河南師范大學學報（自然科學版），2009，37（4）：22-24.

［10］Sha Zhichao，Huang zhitao，Zhou Yiyu，et al.Frequen?cy-hopping signals sorting based on underdetermined blind source separation［J］.IET Communication，2013，7（14）：1456-1464.

［11］梅文化，王淑波，邱永紅，等.跳頻通信［M］.北京：國防工業出版社，2005：195-205.

［12］Kerschen G，Poncelet F，Golinval J C.Physical interpre?tation of independent component analysis in structural dy?namics［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（4）：1561-1575.

［13］翟海瑩，楊小牛，王文勇.基于盲源分離的跳頻網臺分選［J］.中國電子科學研究院學報，2008，4：398-402.