空空導彈單一退化型部件可靠性建模?

楊立安 孔凡成 張百成

（1.空軍勤務學院航空彈藥保障系 徐州 221000）（2.空軍駐624廠軍代室 哈爾濱 150000）

1 引言

空空導彈被譽為“空戰之劍”，是由殲擊機、強擊機、直升機、轟炸機等攜帶發射，攻擊空中目標的導彈，對奪取制空權、保持空中優勢至關重要［1］。空空導彈在長時間的貯存中通常會出現質量問題或技術性能下降現象，進而導致故障的發生，因此，需要對空空導彈貯存可靠性進行合理的分析，建立適當的數學模型，得出詳細的研究結果。導彈的故障通常是由其內在失效機理與外部環境因素綜合作用導致的，這是一個復雜的過程，但是從故障的發展進程來看，導彈的故障可分為突發故障與退化故障兩種。退化故障［2］表現為導彈的性能狀態隨存儲時間的延長而逐漸下降，監測參數的測試數據逐漸偏離標準值并最終超出規定閾值。由于測試數據表征了導彈的性能狀態，且具有一定的規律性，因此，可以依據性能退化的基本理論，應用監測參數的測試數據對導彈退化故障進行預測分析。

2 逆高斯過程和維納過程

1968年Wasan首次發表逆高斯過程［3］，但由于當時無法在實踐工程中得到檢驗，因此逆高斯過程并沒有被重視。直到2010年，逆高斯過程才再次進入到學者視線，在實踐中得到認證。2012年，學者Ye和Chen給出了逆高斯過程物理背景的正式解釋，提出逆高斯過程是解決產品單調退化過程問題最合適的模型。

在逆高斯過程中，性能退化量{X (t);t＞0} 具有下列性質［4］：

1）X(0)=0依概率1恒成立；

2）對 于 任 意 t＞s＞u ，X(t)-X(s)≥0，X(s)-X(u)≥0，X(t)-X(s)和X(s)-X(u)相互獨立；

3） 對 于 任 意 t＞s≥0 ， X(t)-X(s)～

式中：λ是逆高斯過程的刻度參數；Λ(t)是單調增逆高斯過程的分布函數。

維納過程［5］是一個重要的獨立增量過程，在純數學中，維納過程導致了對連續鞅理論［6］的研究，是刻畫一系列重要的復雜過程的基本工具。在維納過程中，性能退化量{X (t);t＞0}具有下列性質：

1）X(0)=0依概率1恒成立；

2）對 于 任 意 t＞s＞u ，X(t)-X(s)≥0，X(s)-X(u)≥0，X(t)-X(s)和X(s)-X(u)相互獨立，服從正態分布；

3）對于任意時刻t＞0，X(t)～N(μ t，σ2t) 。

3 空空導彈部件單調退化建模

根據文獻［7］可知，基于性能退化理論的可靠性建模適用于對導彈貯存可靠性進行分析，根據逆高斯過程中性能退化量的性質，若令3）中s=0，則根據性質3）可以解得產品性能退化量在任何時刻都服從逆高斯過程。

逆高斯過程的概率密度函數為

其對應的分布函數為

其中：當 x＞0時，I(0，∞)(x)=1，x≤0時，I(0，∞)(x)=0，稱為示性函數。Φ(·)為標準正態分布函數。

由公式計算可以得出逆高斯過程的期望和方差

由期望和方差可以求得逆高斯過程的變異系數為

因為Λ(t)是單調增函數，所以逆高斯過程的變異系數隨著時間t的增加呈現出遞減的趨勢并逐步向逆高斯過程的均值曲線逼近。

為了體現一般情況，本文假設服從逆高斯過程的導彈性能退化量為單調非減的，設Λ(t)=μt，設置產品失效閥值D。根據貯存可靠性基本理論［8］，產品的貯存可靠壽命T是指產品貯存過程中首次發生失效的時間，即性能退化理論中產品性能退化量第一次超過設置的失效閾值。因為逆高斯過程為單調過程，其可靠壽命T可表示為

所以，其失效概率函數可表示為

其中，FIG(·)為逆高斯過程分布函數；ε為t的函數。

其可靠度函數為

對式（6）求導可求得累積失效概率密度函數：

其中，?(·)為標準正態分布的密度函數。

當產品符合性能退化的逆高斯過程，且其性能退化量在時刻τ仍未超過失效閥值xτ＜D，那么剩余壽命Tτ可表示為

根據逆高斯過程性能退化量的獨立性和馬爾科夫鏈［9］的前效無關性，剩余壽命Tτ可改寫為

我們無法得到部件準確的退化參量，因此對于部件貯存過程中性能退化估計只能依靠不同時刻對導彈測試獲得的參數值進行統計得到其最大似然估計。為了體現一般性，取第i個部件在ti0，ti1，…，tim時刻的性能退化量進行估計：

相鄰測試區間內，部件性能退化增量為

其 中 ， ?Xij=Xij-Xi，j-1，i=1，2，…，n; j=1，2，…，m

其中，。為了便于計算，做如下替換：

代入原似然函數得

將式（11）取對數，分別對 μ，v求偏導，令，得到極大似然值為

代入得μ，λ的最大似然估計：

將 um，λm代入獲得可靠度函數的最大似然估計：

4 空空導彈部件非單調退化建模

在工程領域，維納過程是處理非單調性能退化［10］過程應用最成熟的模型。為了體現一般性，本文假設產品在貯存過程中隨著時間的推移發生非單調性能退化，性能退化量X(t) 服從維納退化過程［11］，其表達式為

其中，μ(t ; θ )是維納過程漂移函數［12］；θ 為未知參數；σ為擴散系數 ；B(t) 為標準布朗運動［13］。

根據維納過程的性質可知，其期望和方差為

因此其變異系數為

當產品失效閾值D＞0時，產品T(D)時刻的失效概率密度函數為

對上式積分得產品T(D )時刻的失效率函數：

則產品T()

D 時刻的可靠度函數為

維納過程可靠度函數的最大似然估計可參考逆高斯過程求得：

5 結語

空空導彈貯存可靠性是衡量空空導彈武器系統性能的核心指標之一，為了明確空空導彈單一退化型部件對貯存可靠性的影響，本文結合性能退化的基本理論，利用逆高斯過程及維納過程，分別對空空導彈部件進行了單調退化建模和非單調退化建模，下一步可以繼續研究其他部件及環境因素對貯存可靠性的影響，并對已建立的模型進行仿真分析，找到提高空空導彈貯存可靠性的方法和措施。

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