輪軌幾何接觸點的人工神經網絡快速計算方法

楊 光 ，楊 岳，易 兵，劉文龍，吳永軍

（中南大學 交通運輸工程學院，長沙 410075）

車輪踏面與鋼軌的接觸點計算是研究輪軌關系的基礎，是評價輪軌接觸性能的一個重要指標。跡線法[1]是計算輪軌接觸點的經典方法，并隨著部分學者對其進行不斷地改進[2-3]，現已成為計算精度高、公式推導完備的成熟算法。當運用該方法求解輪軌接觸點時，需首先對鋼軌廓形進行樣條曲線擬合，再進行復雜的數值計算，過程較為繁瑣。針對這一弊端，本文利用三層前饋反向傳播神經網絡，實現不同廓形條件下輪軌接觸點的快速計算。采用NURBS方法進行鋼軌廓形的參數化建模，通過權因子修改對鋼軌廓形精確調整。在此基礎上，構建輪軌幾何接觸點的神經網絡模型，結合跡線法對不同廓形條件下的輪軌幾何接觸點進行計算，得到鋼軌廓形與接觸點關系的樣本。對所搭建的輪軌幾何接觸點神經網絡進行訓練，獲得的神經網絡可實現不同鋼軌廓形下輪軌接觸點的快速計算。

1 鋼軌廓形的參數化建模

1.1 NURBS曲線定義

一條p次NURBS曲線[4]的定義為：

其中，di(i=0, 1, …, n)為控制頂點，將其順序相連即可構成控制多邊形；wi(i=0, 1, …, n)為權因子；Ni,p(u)為定義在非周期（且非均勻）的節點矢量U上的p次規范B樣條基函數，并且：

當節點數為m+1，控制點個數為n+1，冪次為p時，m、n、p三者的關系為m=n+p+1。在實際應用中，一般取a=0，b=1，故曲線的定義域為u∈[up,un+1]=[0, 1]，并且對所有的i，都有wi＞0。若令：

那么，式（1）則可改寫為：

在此，將Ri,p(u)稱為有理基函數，即u∈[0, 1]上的分段有理函數。

1.2 鋼軌廓形的參數化建模

通常，三次NURBS曲線即可滿足工程應用的需求。根據上述曲線建模理論，以CHN60鋼軌為實例，利用三次NURBS曲線對鋼軌廓形進行參數化表示。按圖1所示，以鋼軌軌頂中心為原點，以水平方向作為橫軸，垂直方向作為縱軸建立二維參數化建模坐標系。

圖1 標準CHN60鋼軌廓形

標準鋼軌廓形上任意的型值點坐標均可通過數值計算的方法得到。在此，以等間距取點的方法在鋼軌廓形上選擇17個點作為NURBS曲線的型值點，具體數值如下：

得到鋼軌廓形的型值點后，可采用累積弦長參數法計算曲線的節點矢量，其節點矢量U滿足：

通過該組型值點的NURBS曲線控制點可由NURBS曲線插值法反求得到[5]。經反算，鋼軌廓形三次NURBS曲線的19個控制點坐標如下：

預設各控制點處的NURBS曲線權因子wi=1（i=0, 1, …, 19）。根據NURBS曲線的定義，在得到節點矢量U、控制點d和對應的權因子w后，即可實現鋼軌廓形的參數化表示，其建模效果如圖2所示,其中折線為由NURBS控制點所構成的控制多邊形,光滑曲線為基于NURBS的參數化鋼軌廓形曲線。

圖2 鋼軌廓形的參數化表示

需要對鋼軌廓形進行微調時，可采用修改相應控制點權因子的方法對NURBS曲線進行調整。根據最優拉丁超立方抽樣方法，將NURBS曲線控制點權因子wi的變化區間設定為[0,2][6]。具體調整方法可參考文獻[7]，在此不再贅述。

2 基于BP神經網絡的輪軌幾何接觸點計算

2.1 輪軌幾何接觸點的BP神經網絡模型

BP人工神經網絡是一種模仿人類大腦神經網絡結構及功能的信息處理模型，其訓練方式為誤差反向傳播，以均方誤差最小為目標不斷修改權重和閾值[8-9]。為了實現不同廓形下輪軌接觸點的快速計算，搭建如圖3所示的三層前饋反向傳播神經網絡。

圖3 輪軌幾何接觸點的人工神經網絡結構

將控制鋼軌廓形的19個權因子作為輸入層的神經元P={p1, p2, p3, … , p18, p19}。設定隱含層神經元個數為13個，即S = {s1, s2, s3, …, s12, s13}，每個神經元的閾值為(k=1, 2, …, 13)。設定輪對橫移量的取值范圍為–12～12 mm內的整數，并將通過跡線法計算出的輪軌幾何接觸點坐標對作為輸出層神經元A = {a1, a2, a3, …, a24, a25}，每個神經元的閾值為(j=1, 2,…, 25)。在輪軌幾何接觸點神經網絡中，層與層之間的聯系，是由相應的連接權值W及激發函數f進行控制的。用，i表示輸入層第i個神經元pi與隱含層第k個神經元sk之間的連接權值；用，k表示隱含層第k個神經元sk與輸出層第j個神經元aj之間的連接權值。其中，∈[–1, 1]。設定隱含層激發函數為S型曲線傳遞函數，輸出層激發函數為線性傳遞函數，即：

在輪軌幾何接觸點的BP神經網絡中，后一層神經元的輸出值均是通過對上一層輸入的每個神經元的值進行加權求和后，結合閾值與激發函數后得到的。那么，輸出層第j個神經元的輸出值可以表示為：

2.2 BP神經網絡的訓練算法

輪軌幾何接觸點的人工神經網絡模型構建完成后，還需結合輪軌幾何接觸點樣本對各連接權值W和閾值b進行訓練。首先對W和b在其定義域[–1, 1]內進行隨機賦值，即實現神經網絡的初始化，再將規模為m的訓練樣本輸入神經網絡。在訓練過程中，應對輸出層輸出的輪軌接觸點a，與期望輸出的輪軌接觸點r進行比較，并計算全局誤差：

若計算出的全局誤差E不滿足許用誤差ε的要求，則從輸出層開始以梯度下降的方式反向調整權值，其調整公式如下：

其中，為全局誤差函數對輸出層與隱含層連接權重，k的偏導數；為全局誤差函數對隱含層與輸入層連接權重，i的偏導數。

通過上述方法即可實現對各層連接權重W的不斷修正，當全局誤差E收斂于許用誤差ε的要求時，完成BP神經網絡的訓練。輪軌接觸點計算的BP神經網絡訓練流程可歸納 ，如圖4所示。

圖4 輪軌接觸點的BP神經網絡訓練

3 計算實例與結果分析

3.1 網絡的訓練情況

設定左右車輪內側距為1 353 mm，軌距為1 435 mm，軌底坡和搖頭角均為0，輪對為標準LMA型車輪踏面，輪對橫移量l的取值為–12～12 mm內的整數。在[0, 2]內隨機調節19個NURBS曲線權因子的值，即可得到多組不同的鋼軌廓形曲線。不同廓形在橫移量范圍內的輪軌接觸點位置均可以由跡線法計算得到。

為了實現輪軌接觸點神經網絡的良好訓練，構造了2 000組不同廓形下的輪軌幾何接觸點分布情況作為訓練樣本。其中，90%的樣本用于BP神經網絡的訓練，5%的樣本作為驗證，另外5%的樣本僅用于對所訓練網絡的性能進行獨立測試，不影響訓練過程。選用MATLAB 2012b軟件作為神經網絡算法的實現平臺，PC計算機CPU為Intel(R) Pentium(R)Dual CPU E2220 @2.40 GHZ。在訓練過程中，均方誤差隨迭代次數的增加而呈下降趨勢。并且在第102次迭代時均方誤差達到收斂，在迭第96次迭代時均方誤差最小，約為4.57，訓練收斂速度快。

在神經網絡訓練完成后，需要用驗證組樣本來進行擬合優度的檢驗。其中，神經網絡的輸出值與目標值間的相關性可通過二者的相關系數R進行判斷，R越接近于1，表示二者相關性越強，差距越小。經計算，本文構建并訓練的BP神經網絡相關系數達到0.988 49，十分接近1，擬合效果理想。

3.2 計算實例及分析

為了更加直觀地對輪軌幾何接觸點在不同橫移量條件下的預測效果進行評價，另取一組未參與網絡訓練及驗證的數據進行計算的精度分析。所選取實例的輸入權因子向量為：

在上文所設定的工況下，基于BP神經網絡的輪軌幾何接觸點的計算結果見圖5a，根據跡線法計算所得到的輪軌幾何接觸點分布情況見圖5b。

圖5中，輪軌間的連線代表了某一橫移量下車輪踏面和鋼軌廓形的接觸位置。為了對預測結果進行深入的誤差分析，表1列出了部分橫移量條件下，兩種方法在鋼軌廓形上的接觸點計算結果對比。

根據表1和圖5，當橫移量在–12～5 mm和9～12 mm的范圍內時，本文所構建的BP神經網絡算法與跡線法所得到的結果十分近似，平均誤差為0.168 3 mm。由于輪軌外形特征，當橫移量在5～9 mm時接觸點對在輪軌型面上的分布間隔距離較遠，神經網絡計算所得結果與跡線法結果相比平均誤差稍大，約為0.470 5 mm。該組樣本總體預測結果的平均誤差約為0.232 5 mm，總體預測效果良好，能夠滿足工程實踐要求。另外，針對上述實例，跡線法的計算時長為14.331 2 s，BP神經網絡方法的計算時長為2.148 1 s。采用本文所提出的人工神經網絡算法能夠將計算時長縮短約7倍，明顯提升輪軌接觸點計算的效率。

圖5 輪軌接觸點位置分布對比

表1 輪軌接觸點計算結果對比

4 結束語

本文建立了一個用于計算輪軌幾何接觸點的人工神經網絡，測試樣本的網絡輸出值與目標值的相關系數為0.988 49，表明所建立的模型是可靠的。將一組未參與訓練及驗證的權因子樣本數據輸入訓練后的BP神經網絡中，其結果與通過跡線法計算所得結果的總體平均誤差為0.232 5 mm，預測精度高。另外，相較于跡線法，人工神經網絡算法的計算時長縮短約7倍，有效提升輪軌接觸點的計算效率。

：

[1] 王開文.車輪接觸點跡線及輪軌接觸幾何參數的計算[J].西南交通大學學報，1984（1）：89-99.

[2] 張衛華.空間狀態輪輪(軌)接觸點計算方法[J].中國鐵道科學， 2006（4）：76-79.

[3] 倪平濤,劉德剛,曲文強.輪軌與輪輪接觸幾何計算研究[J].鐵道機車車輛，2012（5）：5-9.

[4] 鄧培森，陳紹平，沈均成.三次NURBS曲線相關積分量的精確計算公式及其應用[J]. 武漢理工大學學報：交通科學與工程版， 2014，38（3）：652-657.

[5] 陳紹平.三次NURBS曲線的插值與應用[J].機械科學與技術， 2001，20（5）：692-693.

[6] 曾 威.鋼軌打磨廓形多目標優化設計方法研究[D].長沙：中南大學，2016.

[7] 張國華，楊興強，張彩明.基于權因子的NURBS曲線形狀調整[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報，2004，16（10）：1396-1400.

[8] 程清波.基于BP神經網絡的鐵路客運設備故障監測模型設計與研究[J].鐵路計算機應用，2016，25（2）：3-6.

[9] 汪健雄.基于大數據平臺的動態票額智能預分系統的研究與實現[J].鐵路計算機應用，2016，25（9）：31-37.