臨界半線性波動方程解的有限時間破裂

汪海航，蔣紅標(biāo)

(1. 浙江理工大學(xué) 理學(xué)院， 浙江 杭州 310018； 2. 麗水學(xué)院 工學(xué)院， 浙江 麗水 323000)

0 引 言

(1)

其中初值滿足

(2)

且p=pc(n),pc(n)為二次代數(shù)方程:

的正根，即

該問題為以下半線性波動方程小初值Cauchy問題(Strauss猜測)的拓展：

(3)

其中，n≥2,ε>0為小參數(shù)．已知結(jié)果表明，問題(3)存在一個臨界指數(shù)p0(n),為下述二次方程的正根：

臨界指標(biāo)是指正實數(shù)p0(n)將(1,+)分成(1,p0(n)]和(p0(n),+)2個區(qū)間．當(dāng)p∈(1,p0(n)]時，問題(3)不存在整體解；當(dāng)p∈(p0(n),+)時，問題(3)對小初值有整體解．

此后，一些學(xué)者研究了問題(3)在外區(qū)域上的初邊值問題，得到次臨界情形、臨界情形的若干破裂結(jié)果、生命跨度估計及超臨界情形的整體存在性結(jié)果，相關(guān)進展可參考文獻[15-20]．

最近，李卓然[21]研究了帶次臨界指標(biāo)(1

本文主要研究帶臨界指標(biāo)p=pc(n)的Cauchy問題(1)，證明了解將會在有限時間內(nèi)破裂，主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)n≥5,且初值f與g滿足式(2)．假設(shè)問題(1)有解

(u,ut)∈C([0,T),H1(Rn)×L2(Rn)),

使得

supp (u,ut)?{(x,t): |x|≤t+R}.

文中，記號C表示常數(shù)，在不同的地方可表示不同的值．

1 預(yù)備知識

為證明本文的主要結(jié)論，需要應(yīng)用以下引理：

引理1[9]設(shè)p>1,a≥1,且(p-1)a=q-2．t≥T0>0,若F∈C2([0,T))滿足

F(t)≥K0(t+R)a,

(4)

且

F″(t)≥K1(t+R)-q[F(t)]p,

(5)

其中K0,K1,T0和R是正常數(shù)．當(dāng)固定K1,存在C0>0且C0不依賴于T0和R,使得K0≥C0,則T<,即F(t)在有限時間內(nèi)破裂．

為了敘述引理2，參照文獻[9]引入試驗函數(shù)：

(6)

且定義函數(shù)

ψ1(x,t)=φ1(x)e-t.

(7)

現(xiàn)引入2個泛函：

(8)

其中ψ1(x,t)為由式(7)定義的函數(shù),u為問題(1)的解．u所滿足的假設(shè)條件蘊含了F0(t)與F1(t)關(guān)于t連續(xù)可微．

(9)

引理3[21]設(shè)p>1，則

(10)

2 定理的證明

為了得到臨界情形的破裂結(jié)果，采用文獻[9]的方法建立一個關(guān)于非線性項的改進的下界估計．不失一般性,假設(shè)u(·,t)為徑向函數(shù)．否則可定義

由達布公式可知：

其中,ω∈Rn為單位向量[22]．引入u關(guān)于空間變量的Radon變換：

(11)

其中,dSx……