Lp空間中Lipschitz強(qiáng)單調(diào)算子方程解的迭代算法

楊延濤

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 延安 716000)

單調(diào)算子的概念最早可追溯到對(duì)凸函數(shù)極值問(wèn)題的研究.設(shè)Rn為n維歐式空間,f:Rn→R為正則的凸函數(shù),f在x∈Rn處的次微分?f(x)定義為

?f(x)= {x*∈Rn:f(y)-f(x)≥〈y-x,x*〉,

?y∈Rn}.

單調(diào)算子的概念與優(yōu)化、變分不等式及均衡問(wèn)題都密切相關(guān),在非線(xiàn)性橢圓型、拋物型偏微分方程邊值問(wèn)題以及Hammerstein型非線(xiàn)性積分方程的可解研究中有廣泛應(yīng)用.

自從BROWDER等于20世紀(jì)60年代初引入單調(diào)算子的概念以來(lái),經(jīng)過(guò)50多年的發(fā)展,單調(diào)算子理論已相當(dāng)成熟,成果頗豐. 1974年5月,美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)前主席BROWDER在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)舉辦的“希爾伯特問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)果”專(zhuān)題討論會(huì)上提出了下述問(wèn)題(OP)[1]:

設(shè)X是自反Banach空間,A:X→X*是連續(xù)、強(qiáng)制單調(diào)有界算子,A-1單值且有連續(xù)模,問(wèn): 是否能對(duì)方程Ax=0解的存在性給出一個(gè)構(gòu)造性證明？此問(wèn)題激發(fā)了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家的濃厚興趣，并開(kāi)展了廣泛而深入的研究.

本文的目的是改進(jìn)CHIDUME等[7]的廣義最速下降法.使用新的分析技巧，以證明改進(jìn)后的廣義最速下降法依范數(shù)收斂于方程Ax=0的唯一解.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E是賦范空間,E*為E的對(duì)偶空間.定義映射J:E→2E*為

Jx={x*∈E*: 〈x,x*〉=‖x‖·‖x*‖,‖x‖=‖x*‖},

則稱(chēng)J為E上的正規(guī)對(duì)偶映像.

注1一般來(lái)說(shuō),J是一個(gè)多值映射.若E是光滑的,則J是單值的.

設(shè)E是光滑的實(shí)Banach空間,E*為其對(duì)偶空間.定義二元函數(shù)φ:E×E→R為

φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,x,y∈E，(1)

由式(1)及Cauchy-Schwarz不等式知

(‖x‖-‖y‖)2≤φ(x,y)≤

(‖x‖+‖y‖)2,x,y∈E，

(2)

由式(1)及正規(guī)對(duì)偶映像的定義可得

φ(x,y)=‖x‖2-‖y‖2-2〈x-y,Jy〉,x,y∈E.(3)

引理1設(shè)E為光滑的實(shí)Banach空間,{xn}與{yn}為E中的2個(gè)序列,其中之一為有界的.若xn-yn→0(n→),則φ(xn,yn)→0(n→).

證明不失一般性,假設(shè){xn}是有界的,即存在正常數(shù)M,滿(mǎn)足

‖xn‖≤M, ?n≥1，

由于xn-yn→0(n→),故{xn-yn}也是有界的,即存在另一……