兩共焦拋物導體柱板間的電勢和電場

賈秀敏

(河北科技大學 理學院， 河北 石家莊 050018)

如圖1所示，由于長直共軸共焦拋物導體柱板在空間產生的電場與軸無關，是垂直于軸的橫截面上的二維場問題.文獻[1-3]分別采用拋物柱坐標、高斯定理和復勢函數法對此問題進行了研究；文獻[4]采用不同坐標系的度規系數簡化求解拉普拉斯方程.本文引入導體曲面函數，將解偏微分方程問題轉化為一般的積分運算，簡便直觀地導出了共軸共焦拋物導體柱板間的電場分布.

圖1 共焦共軸拋物柱板Fig. 1 Two confocal parabolic conductor plates

1 解拉普拉斯方程

設f(x,y,z)為具有連續一、二階偏導數的函數，c為參數，則

f(x,y,z)=c

(1)

表示一空間曲面族[5].若任取2個滿足f(x,y,z)的薄導體曲面并帶電，則曲面間的電勢u滿足拉普拉斯方程，而該電勢在薄導體曲面上的取值為常量，說明電勢u是f(x,y,z)的函數.

因為

所以

積分2次得曲面間的電勢

(2)

其中，A、B為積分常數.

2 拋物板間的電勢分布

(3)

其中拋物板l1對應c=c1，電勢為u1；拋物板l2對應c=c2，電勢為u2，由于板間電勢u滿足拉普拉斯方程，故將相應參量代入式(2)，即可計算拋物板間的電勢.

(4)

所以

(5)

式(5)給出的兩拋物導體柱板間的電勢分布與文獻[1] 結果相同.

3 拋物板間的電場強度

(6)

由式(6)可得電場線滿足微分方程:

(7)

兩邊積分得

即

(8)

式(8)即為拋物柱板間的電場線方程.

由式(6)可知，柱板間電場強度大小為

(9)

故拋物板上電荷面密度為

(10)

說明拋物導體板上的電荷分布是不均勻的，越靠近拋物柱弧頂，電荷密度越大，而在較遠處，電荷密度幾乎為0.

通過導體曲面函數，利用積分導……